广东省东莞市东华某中学2023届高三年级上册模拟数学试题（含答案解析）

广东省东莞市东华高级中学2023届高三上学期模拟数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜卜=4-白bB=k|y=lg(2-x)},则AH8=()

A.[-2,2]B.[-2,2)C.[0,2]D.[0,2)

2.若复数z满足iz=—1+i,贝”z|=(

c.72

3.已知f(x)=-x+sinx,命题f(x)<0,则

A.。是假命题，「P：VXW(0,9J(X)*0

B.2是假命题，少:玉。£(0,3，/(%)20

C.P是真命题，R：Vxe(0,£|j(x)20

D.P是真命题，3：玉。《0,9，/(%»0

4.在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是()

A.—B.—C.—D.-

2121427

5.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这

对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由

传播时能量损耗满足传输公式：L=32.44+201g£>+201gF,其中。为传输距离，单位

是km,尸为载波频率，单位是MHz,L为传输损耗(亦称衰减)单位为dB.若传输距

离变为原来的4倍，传输损耗增加了18dB,则载波频率变为原来约()倍(参考数

据：lg2»0.3,lg3«0.5)

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

6.已知定义域为R的函数.“X)满足：对任意的xeR,有〃x+2)=2—〃x),且当

xw[0,l]时，/(x)=l+Iog2(x+l),贝4(2023)=()

A.0B.1C.2D.3

2\%<1

.已知函数,(x)=Jlog|X,x>l，则函数y=/(l—X)的图象是(

8.已知函数〃x)="(x+l)—Inx,若〃x)40有且只有两个整数解，则”的取值范围

是（）

（ln5ln2

A。鼠而B.

<ln2ln3-

,I10,12.D.

二、多选题

9.若“VxwM,|x|>x"真命题，“玉eM,x>3”为假命题，则集合M可以是()

A.{x|x<-5)B.{x|-3<x<-l}C.{x|x>3)D.{x|0<x<3)

10.若函数"x)=ln(x2-ox+l)在区间[2,«»)上单调递增，则下列实数可以作为。值

的是()

5

A.4B.-C.2D.0

2

11.已知。>0,/7>0,直线y=x+2〃与曲线y=e'T—"+l相切，则下列不等式一定成立

的是()

A.—F：29B.cib—C.\!a2+b22D.J2a+\[bW>/2

ab95

12.对于函数/(x)=乎，下列选项正确的是()

A.函数的极小值点为-e,极大值点为e

B.函数的单调递减区间为(7,-e]u6-)，单调递增区为[-e,0)50，e]

C.函数f(x)的最小值为最大值为:

试卷第2页，共4页

D.函数f(x)存在两个零点1和-1

三、填空题

13.函数y=二325的定义域为______.

ln(x-2)

14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子''的美誉，用其名

字命名的“高斯函数”：设xwR,用卜[表示不超过x的最大整数，则了=卜]称为高斯函

数，也称取整函数,例如：[-1.3]=-2,[3.4]=3,已知"x)=bT，则函数y=[”x)]

的值域为.

15.A、B、C、。四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，

若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是.(用数字

作答).

16.已知函数f(x)的定义域为R,〃2x+2)为偶函数，〃x+l)为奇函数，且当X€[O,1]

时,f^ax+b.若"4)=1,贝+图+“)=

四、解答题

17.已知定义在R上的函数/。)=三人是奇函数.

(1)求实数女的值；

(2)若对任意的xeR,不等式/(V+可+/(4-x)>0恒成立，求实数f的取值范围.

18.已知函数f(x)=log9(9*+l)-；x,xeR.

⑴判断〃x)的奇偶性并证明；

⑵若函数g(x)=9"叫+m3T，^e[0,log32],是否存在机，使得g(x)的最小值为

0.若存在，求出加的值；若不存在，说明理由.

19.有9个外观相同的同规格祛码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加，小明想

通过托盘天平称量出这个有瑕疵的祛码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量

的祛码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选

出的2个祛码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵袪的祛码在下降一侧.按此方法，直到找出

有瑕疵的祛码为止.方案二：从待称量的祛码中随机选8个，按个数平分后分别放在天

平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个祛码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的

祛码在下降一侧，每次再将该侧祛码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，L,

直到找出有瑕疵的祛码为止.

(1)记方案一的称量次数为随机变量X,求X的概率分布；

(2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由.

|lg^|,O＜r＜10

20.已知三个函数①〃x)=|lnk-l||,②g(x)=1+3a。，③〃(x)=|4*-2].

(1)请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象(不用写作

图过程)，并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；

(2)把(1)中所选的函数记为函数8(x),若关于x的方程火x)-々=0有且仅有两个不同

的根，求实数人的取值范围；

(3)(请从下面三个选项中选一个作答)

(i)若(1)中所选①的函数时，有，(占)=八＞2)=/03)=/(匕)，且不＜工2＜用＜匕，

求占+%+当+匕的值；

(ii)若(1)中所选②的函数时，有8(%)=8(々)=8。3),且用＜々＜彳3，求X「X2“3的

取值范围；

(iii)若(1)中所选③的函数时，有〃(占)=〃(%)，且西＜刍，求4'+中的值.

21.为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，

建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于

此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报

价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他

报价共计14400元设屋子的左右两面墙的长度均为x米(34x46).

(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800。。主2元

X

(。＞0),若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求。的取值范

围.

22.已知函数〃x)=oe工一l-ln(一+“),其中且“0.

⑴当。=1时,求“X)的单调区间；

(2)若““只有一个零点，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】分别求出集合4,B,再求它们的交集.

【详解】Q^>0,i-fWO

.1.4-x2<4:.Q<yl4-x2<2

/.A={y|O<j<2}

v2—x>0:.x<2

:.B={x\x<2].•.初8=[0,2).

故A,B,C错误.

故选：D.

2.C

【分析】利用复数除法求复数z,进而求模长即可.

【详解】由2=以=牛»甘+1,则|Z|=应.

11

故选：C

3.D

【详解】试题分析：r(x)=-l+cosx,当X€(0,1o，/,U)<0,因此/(X)是减函数，所以

xe(0,^),/«</(0)=0,命题P是真命题，-P是：3x()e^0,|p-(x())>0,故选D.

考点：命题的真假，命题的否定.

4.B

【分析】根据古典概型的概率求法求解.

【详解】不超过18的素数有：2,3,5,7,11,13,17,

随机选取两个不同的数有C；=21利

和等于16的有3+13=16,5+11=16共2种,

所以和等于16的概率是

故选:B.

5.B

【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果

答案第1页，共15页

【详解】设U是变化后的传输损耗，尸是变化后的载波频率，祝是变化后的传输距离，则

D'F'

r=L+18,。=4。，18=r-L=201g£>,+201gF-201gD-201gF=201g—+201g—,

DF

F1DfF’

贝ij201g—=18-201g—=18—401g2h6,Bp1g—«0.3«lg2,从而尸土2尸，

FDF

即载波频率变为原来约2倍.

故选：B.

6.A

【分析】由题意可得函数/(x)是周期为4的周期函数，所以“2023)="3),令x=3有

/(3)=2-/(1)=0,即可求出答案.

【详解】/(x+2)=2-/(x),用x+2代换x,有f(x+4)=/(x)恒成立，

所以函数/(x)是周期为4的周期函数.

所以)(2023)=”4x505+3)=/(3).

令x=3有/(3)=2-/(1)=0,所以/(2023)=/(3)=0.

故选:A

7.C

【分析】由x=0时，y=/(l)=2和》>0时，y=/(l—x)>0排除A、B、D选项即可.

【详解】当x=0时，y=/(l)=2,故排除A、D选项；当x>0il寸，1-x<,贝U

y=/(l—x)=2J>0,排除B选项.

故选：C.

8.C

【分析】将问题化为“(x+l)4皿有且只有两个整数解，利用导数研究g")=皿的性质,

XX

并画出g(x)与y=&(x+l)的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求々的范围.

【详解】由题设，/(划定义域为(。,+8),则可得%(x+l)4*,

人/、\nxEI，/、Jinx

令g(x)=----,则g(x)=——,

Xx~

所以0<x<e时g'(x)>0,即g(x)递增，值域为(—,3;

答案第2页，共15页

x>e时g'(x)<0,即g(x)递减，值域为(0,-);

e

而y=Z(x+l)恒过(-1,0),函数图象如下：

要使k(x+1)<—有且只有两个整数解，则y=/+1)与g(x)必有两个交点,

X

若交点的横坐标为X,<X2,贝lj1<%42<34%<4,

3*<—

2

47,In3In2,,ln3

所以4k<——,HnrPl——<k<——.

31012

「In4

5k>——

4

故选：C

【点睛】关键点点睛：首先转化为攵(x+l)«*有且只有两个整数解，导数研究函数性质,

x

Inx

再应用数形结合法判断g(x)=W、y=k(x+l)交点横坐标范围，即可求参数范围.

X

9.AB

【分析】根据假命题的否定为真命题可知"VxeM,X43”是真命题，又“VxeM,|x|>x是

真命题，求出命题成立的条件，进而求交集即可知M满足的条件.

【详解】'：u3xeM,x>3”为假命题,

:;‘PxwM,x<3”为真命题，可得Mq{x|xM3},

又“WxeM,|x|>x"为真命题,可得Afu{尤|x<0},

所以Mu{x|x<0},

故选：AB.

10.CD

【分析】设g(x)=d-以+1,由复合函数单调性可确定g(x)单调性和g(x)>0在［2,a)上

恒成立，结合二次函数性质可构造不等式组求得。的范围，结合选项可得结果.

答案第3页，共15页

【详解】设g(x)=x2—or+i,要使〃力=111卜2_奴+1)在区间［2,e)上单调递增，

则需g(x)在［2,+»)上单调递增，且g(x)>0在［2,+oo)上恒成立，

a-

—K25

2,解得：a<1,则选项中可以作为。的值的是2和0.

g(2)=5-2a>02

故选：CD.

II.ACD

【分析】先求导，根据切线方程可得切点横坐标，进而可得。、b关系.妙用1可判断A；直

接使用基本不等式可判断B；换元转化为二次函数最值问题可判断C；利用不等式

匕土之(史骂2可判断D.

22

e&T=1

【详解】设切点为(为,%)，因为y'=e*T,所以<%=Xo+2a,

%=e&T_b+l

解得%=1,\+2a=2-b,即2a+%=l,

对于A,2+1=(2+；|(2a+勿=5+竺+半N5+24=9,当且仅当〃=匕=:时，等号成

ah\ah)ab3

立，故A正确；

对于B,1=24+22展区，所以必4：,当且仅当a=J,匕=:时，等号成立，故B不正

842

确；

对于c,yja2+b2=J/+(1-202_J5a2_4(7+1=>手，当且仅当«=-|>

6=(时，等号成立，故C正确：

对于D,由右叵邛］=而+直4&可知D正确.

故选：ACD

12.AD

【分析】求出函数.f(x)的导数，利用导数探讨函数的性质判断选项A,B,C；利用方程求

出函数零点判断D作答.

【详解】当x<0时，/(x)=吐2，求导得：尸")=1一旷,当x>0时，/(x)=—,

答案第4页，共15页

求导得：/3=上学，

X-

当x<-e或x>e时，f'(x)<0,当一e<x<0或0<x<e时，f'(x)>0,

因此函数/(x)在(e,-e］」e,+8)上单调递减，在［r,O),(O,e］上单调递增,

函数/")在工=-6处取得极小值，在X=e处取得极大值，A正确;

函数/(x)的单调递减区间、增区间都是两个不连续的区间，不能用并集符号连接，B不正

确；

函数“X)的极小值为极大值为当x<0时，〃x)的取值集合为一5内)，

当x>0时，“X)的取值集合为/孙/，则/(x)在定义域上无最大、最小值，C不正确;

由f(x)=O,即幽=0得：|x|=l,解得》=±1,因此函数/(x)存在两个零点1和-i,D

正确.

故选：AD

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出段)=0的解；(2)图象法：

作出函数人幻的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出

这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

13.g,3)u(3,+8)

【分析】根据函数解析式列出不等式组求解即可.

2X2-3X-5>0

即产产"I解得x*且xx3,

［详解】因为“2>0

ln(x-2)*0x>2且工工3

所以函数的定义域为g,3)u(3,+8).

故答案为：川53,+8).

14.{-1,0}

【分析】根据指数函数的性质分析/(x)的值域，进而得到'=［/(力］的值域即可

【详解】V/(x)=^-p3'e(0,-w)),

4-r=3'>0,则〃x)=g(r)=

z4-1JI55J

答案第5页，共15页

故函数y=[/(x)]=[g(f)]的值域为{TO},

故答案为：{-1,0}

15.30

【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除A和8

参加同一科的情况即可得答案.

【详解】根据题意，若AB、C、。四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能

参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有C；A；=36种情况，

若AB、C、〃四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这

三科都有人参加，A和8参加同一科的有=6种情况；

所以，满足题意的情况共有C；A；-C；A；=30种.

故答案为：30.

16.0

【分析】根据题意可得了(x)关于x=2对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4,再求

出。力的值，最后可求出了a加即咽的值.

【详解】解：因为/(2x+2)为偶函数，

所以〃一2%+2)=/(2x+2),即〃T+2)=/(x+2),

所以函数关于x=2对称，所以f(—x)=〃x+4),

又因为/(x+1)为奇函数，

所以〃—x+l)=—/(x+l),

所以函数/(%)关于(1,0)对称,/(-%)=-/(x+2)=-/(-x+2),

即f(x)=-〃x+2),

所以/(x+2)=-/(x),/[(x+2)+2]=-/(x+2)=/(x),

即〃x+4)=〃x),

答案第6页，共15页

所以/(X)的周期为4,

在/(-x+l)=-/(x+l)中令x=0,得/•⑴=-7•⑴，所以/(1)=0,即a+b=O,

又因为"4)=1,所以"0)=1,即八1,所以。=-1,

所以当xe[0,l]时，/(x)=-x+l,

所以/。=-；+1=；，

所以“[=川+；)=-/(1-；)=-/(；)=]，

同=，%)=〃2一如〃|)一,

/(务/叫)=/*)=心弓,

佃=〃4+；)=小；，

所以则喝+喝+/图+/前。.

故答案为：0.

17.(1)4=一1

⑵(-3,5)

【分析】(1)利用奇函数/(())=(),并作检验即可;

(2)利用函数的单调性和奇偶性解不等式，再转化为一元二次不等式的恒成立问题.

(1)

•••函数，(幻=上4”'+k是定义域R上的奇函数，

/(0)=0,即〃0)=1+%=0,解得女=7.

此时/("=2、_2、贝ijf(_x)=2一*_2'=_(2工_2_。=_/(力，符合题意；

(2)

因为/(力=2*-2-',且y=2,在定义域R上单调递增，》=2一、在定义域R上单调递减，所

答案第7页，共15页

以f(x)=2、-2T在定义域R上单调递增,

则不等式/(f+比)+〃4-x)>0恒成立,

即比)>/(%-4)恒成立,

即丁+加>了一4恒成立，

即f+«-l)x+4>0恒成立，

所以A=(f-l)2-4x4<0,解得-3<f<5,即re(-3,5).

18.(1)偶函数，证明见解析

(2)存在，m=-\

【分析】(1)根据偶函数的定义判断；

(2)将g(x)转化为二次函数，分类讨论求函数的最值.

(I)

证明：：f(x)=logg(9*+1)-gx定义域为R,

I0'+11AA1

/(-x)=log,(9'+l)+-x=log9-^―+-x=log9(9+l)-log99+-x

=log9(9'+l)-^x=/(x)

所以f(x)为偶函数；

(2)

g(x)=9/U，+5+m-y-\=9'^<9，+1)+m-3V-1=(3')2+m•3,，

当xw[0,log32]时，3xe[l,2],

令3*=f,则旷=『+，加，

当-^41时，即机2,y=『+〃"在[L2]上单调递增，

所以7=1时，Jmi„=m+l=0,解得根=_1；

2

当1<一竺<2时即Tvmv-2,，=一'时，ymin=--=0,

224

解得机=0不成立；

答案第8页，共15页

当一^22时，即〃?4-4,y=r+〃”在［1,2］上单调递减，

所以『=2时，ymin=2w+4=0.

解得机=-2不成立.

故存在满足条件的，〃=-1

19.(1)分布列见解析：

(2)小明应选择方案一可使称量次数的期望较小，理由见解析.

【分析】(1)由题可知X可取123,4,然后利用古典概型概率公式求概率，进而即得；

(2)由题可得E(X),设方案二的称量次数为随机变量为丫，求其期望，然后与E(X)比较

即得.

(1)

由题知：X=l,2,3,4,

P（X=1）=普q，P（X=2）=^L；

唳=3)=告*|,尸(X=4)=型端

3

（2）

设方案二的称量次数为随机变量为y,则y=i,3,

叩=】/=>(y=3)=ij］,

E(y)=lxl+3x^^>E(X),

所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.

答案第9页，共15页

20.（1）答案见解析

（2）答案见解析

⑶⑴4；(ii)(10,15)；(iii)4

【分析】（1）根据函数的类型和基本性质作出图象；

（2）方程9（x）-k=0根的问题转化为函数产研力与y=Z图象交点的问题，借助图象求解

即可；

（3）结合函数的图象和基本性质分析知々，的分布情况，得出满足的关系式求解即可.

（1）

若选①，函数图象如下图所示：

由图象可知函数的单调减区间为：（T,0）和（1,2）；

由图象可知函数的单调减区间为：（0,1）和（10,+e）；

若选③，函数图象如下图所示：

答案第10页，共15页

(2)

关于x的方程s(x)-k=O有且仅有两个不同的根oy=*(x)与y=k的函数图象有两个不同

的交点，

若选①，根据函数/⑴图象可知，若y=S(x)与)'=%的图象有两个交点，此时k=0；

若选②，根据函数g(x)图象可知，若尸夕(x)与、=上的图象有两个交点，此时k=0或左=1；

若选③，根据函数〃(x)图象可知，若y=e(x)与y=A的图象有两个交点，此时04<2；

(3)

设/(再)习(w)寸(再)寸"伍)="2(帆>0),因为y=e(x)的图象关于x=l对称,

所以士,凡关于X=1对称，々，工3关于X=1对称，

所以X+W+W+Z=(4+玉)+(电+£)=2+2=4；

(ii)若选②，如图所示：

答案第II页，共15页

y

设g(%)=g(々)=g(W)=加d(o,1),

由图象可知：|lgxl|=|lgx2|=-^x3+3e(0,l),0<XI<1<X2<10<^3<15,

所以-lgX|=lg%2,x,e(10,15),所以1第占=0,x,e(10,15),

所以用占=1,x,e(10,15),所以占々X3e(10,15)；

设贻)=/z(x2Ame(0,2),由图象可知：|4._2卜产_2|,且x1Vo.5%,

所以2-4*=4*—2，所以4'i+44=4.

21.(1)4米,28800元

(2)0<a<12.25

【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的

取值范围.

(1)

设甲工程队的总造价为y元,

贝ljy=3(300x2x+400x*)+14400=1800(%+—)+14400(3<x<6)

XX

1800(x+—)+14400>1800x2xk—+14400=28800.

xVx

答案第12页，共15页

当且仅当X=，,即X=4时等号成立.

X

即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.

(2)

由题意可得，1800(x+9)+14400>1800,+')对任意的xe[3,6]恒成立.

即(x+4)一>幺空。,从而*+4尸>一恒成立,

XXX+1

2

人(X+4)2(Z+3)9/,"F

令x+l=f,----—=-———=/+-+6,?e[4,7J

x+1tt

9

又>=/+3+6在re[4,7]为单调增函数，故"1s=12.25.所以0<。<12.25.

t

22.