无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷含答案解析中考数学试卷分析

2017年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.4的倒数是（）

A.4B.-4C.—D.--

44

2.下列各式运算中，正确的是（）

_____396

A.（a+b）2=a2+b2B.二3C.a3«a4=a12D.（-）卢0）

a

3.式子G在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.B.xWlC.x>0D.x>l

4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

5.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65ncm2,扇形的弧长为lOncm,则

圆锥母线长是（）

A.5cmB.10cmC.12cmD.13cm

6.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

7.下列说法中，你认为正确的是（）

A.四边形具有稳定性

B.等边三角形是中心对称图形

C.等腰梯形的对角线一定互相垂直

D.任意多边形的外角和是360。

8.有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加

决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知

道这9名同学成绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.极差

9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题："如图，已知直线I和I外一点P,

用直尺和圆规作直线PQ,使PQ_LI于点Q."分别作出了下列四个图形.其中作

法错误的是（）

10-如图'A、B、C是反比例函数y=”<0）图象上三点，作直线L使A、B、

C到直线I的距离之比为3：1：1,则满足条件的直线I共有（）

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程

11.3月无锡市商品房平均每平方价格为7500元，7500元用科学记数法表示为

元.

12.命题"对顶角相等”的逆命题是—命题（填"真"或"假"）.

13.分解因式：a3-4a=.

14.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是.

15.如图，点。是。0的圆心，点A、B、C在。。上，AO〃BC,ZAOB=38°,则

NOAC的度数是度.

16.如图，在4ABC和ABAD中，BC=AD,请你再补充一个条件，使AABC之A

BAD.你补充的条件是(只填一个).

17.如图，在平面直角坐标系中，点A(a,b)为第一象限内一点，且aVb.连

结0A,并以点A为旋转中心把0A逆时针转90。后得线段BA.若点A、B恰好都

在同一反比例函数的图象上，则卜的值等于—.

a

18.如图,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,

点E为边BC上的动点，将aCEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边

AB距离的最小值是—.

三、解答题：(本大题共10小题，共84分.)

19.计算:

(1)I-2-(I+5/2)°+V4；

2

(2)(a』

20.(1)解方程:+-^—=4

2x-33-2x

(x-2<C0

（2）解不等式组:[x+5<3x+7

21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD,相交于点0,EF过点。且与AB、

CD分别相交于点E、F,求证：AE=CF.

22.小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选

题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有

一个“求助"没有用（使用"求助"可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.

（1）如果小明第一题不使用“求助"，那么小明答对第一道题的概率是—.

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利

通关的概率.

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用"求助”.（直接写出答案）

23.学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生"平均每天参加体育活动的时

间"进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

下

请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：

〜1小时”部分的扇形统计图的圆心角为一度;

（2）本次一共调查了名学生；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若该校有2000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活

动的时间在0.5小时以下.

24.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道

路EF行走，当行走到点C处，测得NACF=45。，再向前行走100米到点D处，测

得NBDF=60。.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离.

25.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，

空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,

已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500

元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的

欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降

价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，

在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B

型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为

多少元？

26.如图，在平面直角坐标系中，RtZXABC的顶点A,C分别在y轴，x轴上，Z

ACB=90°,OA=M，抛物线y=ax2-ax-a经过点B（2,除），与y轴交于点D.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED〃AC的理由.

27.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（xi,yi）,点Q的坐标为（X2,丫2）,

且X1#X2,yi#y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标

轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形"，如图为点P,Q的“相关矩形”示意

图.

（1）已知点A的坐标为（1,0）,

①若点B的坐标为（3,1）,求点A,B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）。。的半径为我，点M的坐标为（m,3）,若在。。上存在一点N,使得

点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围.

------------1----1-------1---------1-----

o12345X

28.问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，NACB=NADB=90。，AD=BD,探究线段AC,BC,CD

之间的数量关系.

小吴同学探究此问题的思路是：将4BCD绕点D,逆时针旋转90。到4AED处，

点B,C分别落在点A,E处（如图②），易证点C,A,E在同一条直线上，并且

△CDE是等腰直角三角形，所以CE=&CD,从而得出结论：AC+BC=V2CD.

简单应用：

（1）在图①中，若AC=圾，BC=2«,则CD=.

（2）如图③，AB是。0的直径，点C、D在。上，AD=BD'若AB=13,BC=12,

求CD的长.

拓展规律：

(3)如图④，ZACB=ZADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的

长(用含m,n的代数式表示)

(4)如图⑤，ZACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点，若点E满足AE=：AC,CE=CA,

点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是.

2017年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.4的倒数是（）

A.4B.-4C.—D.-v

44

【考点】倒数.

【分析】乘积是1的两数互为倒数，据此进行计算即可.

【解答】解：由题可得，4的倒数是劣.

4

故选：C.

2.下列各式运算中，正确的是（）

._____

A.（a+b）2=a2+b2B.Q"3）2=3C.a3»a4=a12D.=~y（a#0）

a

【考点】二次根式的性质与化简.

【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数累的乘法法则，平方等概

念分别判断.

【解答】解:A、（a+b）2=a2+2ab+b2,错误；

B、寸（.3）2=«=3,正确；

C、a3*a4=a12,错误；

D、（色）2=今，错误.

aa

故选B.

3.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.xNlB.xWlC.x>0D.x>l

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,解不等式即可.

【解答】解：根据题意得：X-120,即时，二次根式有意义.

故选：A.

4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.0B.6C,窃D.（g）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这

个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180。,

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，

这个点叫做对称中心.进行分析即可.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选:B.

5.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65ncm2,扇形的弧长为lOncm,则

圆锥母线长是（）

A.5cmB.10cmC.12cmD.13cm

【考点】圆锥的计算.

【分析】圆锥的侧面积=弧长X了线长,把相应数值代入即可求解.

【解答】解：设母线长为R，由题意得：6571=半2，解得R=13cm.

故选D.

6.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

【考点】中点四边形.

【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的

四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形.

【解答】解：如图，AC=BD,E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点,

则EH、FG分别是AABD、aBCD的中位线，EF、HG分别是aACD、aABC的中

位线，

根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=yBD,EF=HG=yAC,

VAC=BD,

/.EH=FG=FG=EF,

...四边形EFGH是菱形.

故选：C.

7.下列说法中，你认为正确的是（）

A.四边形具有稳定性

B.等边三角形是中心对称图形

C.等腰梯形的对角线一定互相垂直

D.任意多边形的外角和是360。

【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质；多边形；等腰梯形的性质.

【分析】根据四边形、等边三角形，等腰梯形的性质，结合各选项进行判断即可.

【解答】解：A、四边形不具有稳定性，原说法错误，故本选项错误；

B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误；

C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误；

D、任意多边形的外角和是360。，说法正确，故本选项正确；

故选D.

8.有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加

决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知

道这9名同学成绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.极差

【考点】统计量的选择.

【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入

前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数,

要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.

故选B.

9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题："如图，已知直线I和I外一点P,

用直尺和圆规作直线PQ,使PQL于点Q."分别作出了下列四个图形.其中作

法错误的是（）

P

【考点】作图一基本作图.

【分析】A、根据作法无法判定PQJ_I；

B、以P为圆心大于P到直线I的距离为半径画弧，交直线I,于两点，再以两点

为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；

C、根据直径所对的圆周角等于90。作出判断；

D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.

【解答】解：根据分析可知，

选项B、C、D都能够得到PQ_U于点Q；选项A不能够得到PQL于点Q.

故选：A.

10.如图，A、B、C是反比例函数y=K（x<0）图象上三点，作直线I,使A、B、

X

C到直线I的距离之比为3：1：1,则满足条件的直线I共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【考点】反比例函数的性质.

【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，

符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条

件的有两条，如图中的直线c、d.

【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程.）

11.3月无锡市商品房平均每平方价格为7500元，7500元用科学记数法表示为

X103元.

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中1W|a|<10,n为整数.确

定n的值是易错点，由于7500有4位，所以可以确定n=4-1=3.

【解答】X103.

X103.

12.命题“对顶角相等"的逆命题是0命题(填"真"或"假").

【考点】命题与定理.

【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判

断.

【解答】解：命题"对顶角相等"的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命

题.

故答案为假.

13.分解因式：a?-4a=a(a+2)(a-2).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解:原式=a(a2-4)

=a(a+2)(a-2).

故答案为：a(a+2)(a-2)

14.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是-2.

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据根与系数的关系，即可求得答案.

【解答】解：设一元二次方程x2+x-2=0的两根分别为a,B，

aP=-2.

，一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是-2.

故答案为：-2.

15.如图，点。是。。的圆心，点A、B、C在。。上，AO〃BC,ZAOB=38°,则

NOAC的度数是19度.

【考点】圆周角定理.

【分析】先根据圆周角定理，求出NC的度数，再根据两条直线平行，内错角相

等，得NOAC=NC.

【解答】解：VZAOB=38°

.,.ZC=38°4-2=19°

VAO^BC

.,.Z0AC=ZC=19°.

16.如图，在4ABC和4BAD中，BC=AD,请你再补充一个条件，使△ABC^A

BAD.你补充的条件是AC=BD(或NCBA=NDAB)(只填一个).

【考点】全等三角形的判定.

【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件.已

知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得.

【解答】解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD,AB=AB,

所以补充两边夹角ZCBA=ZDAB便可以根据SAS证明；

补充AC=BD便可以根据SSS证明.

故补充的条件是AC=BD(或NCBA=NDAB).

故答案是：AC=BD(或NCBA=NDAB).

17.如图，在平面直角坐标系中，点A(a,b)为第一象限内一点，且aVb.连

结0A,并以点A为旋转中心把0A逆时针转90。后得线段BA.若点A、B恰好都

在同一反比例函数的图象上’则匏值等于上塞

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转.

【分析】过A作AE，x轴，过B作BDLAE,利用同角的余角相等得到一对角相

等，再由一对直角相等，且AO=AB,利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全

等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b,AD=OE=a,进而表示出ED及。E+BD

的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标

乘积相等，列出关系式，变形后即可求出卜的值.

a

【解答】解：过A作AELx轴，过B作BDLAE,

VZOAB=90°,

，NOAE+NBAD=90",

,/ZAOE+ZOAE=90°,

/.ZBAD=ZAOE,

在aAOE和aBAD中，

'NA0E=/BAD

<ZAE0=ZBDA=90°.

A0=BA

/.△AOE^ABAD(AAS),

，AE=BD=b,OE=AD=a,

，DE=AE-AD=b-a,OE+BD=a+b,

贝ijB(a+b,b-a)；

•.,A与B都在反比例图象上,得到ab=(a+b)(b-a),

整理得：b2-a2=ab,即(k)2---1=0,

aa

■:△=1+4=5,

.b__1±V5

••---------------，

a2

•.,点A(a,b)为第一象限内一点,

，a>0,b>0,

则且4叵

a2

故答案为坦1

18.如图，在ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,

点E为边BC上的动点，将4CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边

AB距离的最小值是1.2.

【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】如图，延长FP交AB于M,当FP_LAB时，点P到AB的距离最小，利

用△AFMs^ABC,得到空•=必求出FM即可解决问题.

ADBC

【解答】解：如图，延长FP交AB于M,当FP_LAB时，点P到AB的距离最小.

VZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,

/.△AFM^AABC,

.AFFM

••-II■-一，

ABBC

VCF=2,AC=6,BC=8,

22=10)

.•.AF=4,AB=7AC+BC

.4FM

・・----=----，

108

AFM=3.2,

VPF=CF=2,

*

••

点P到边AB距离的最小值是1.2.

故答案为1.2.

三、解答题：(本大题共10小题，共84分.)

19.计算：

(1)|-2-(1+J^)

2

(2)(a--)4-a-2a+1.

aa

【考点】分式的混合运算；绝对值；算术平方根；零指数累.

【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意负指数为正指数的倒数；任何非0

数的0次基等于L

【解答】解:(1)原式=2-1+2=3.

(2)原式=且巨+如亚=色垃_@2'―~^再~.

2a-1

aaa(a-l)

20.(1)解方程：+—^—=4.

2x_33-2x

lfx-2<0

(2)解不等式组:

Ix+5<3x+7

【考点】解分式方程；解一元一次不等式组.

【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值,

经检验即可得到分式方程的解；

(2)首先解每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集.

【解答】解：(1)去分母得：x-5x=4(2x-3),

解得：x=l,

经检验x=l是分式方程无解；

⑵0-2<0①,

[x+5<3x+7②

♦.,由①得，x<2,

由②得，X》-1,

...不等式组的解集是：-1WXV2.

21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD,相交于点。，EF过点。且与AB、

CD分别相交于点E、F,求证：AE=CF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB〃CD,OA=OC,继而证得AAOE

g△COF,则可证得结论.

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,OA=OC,

AZOAE=ZOCF,

在△OAE和△OCF中，

fZ0AE=Z0CF

・0A=0C,

ZA0E=ZC0F

.'.△AOE^ACOF（ASA）,

/.AE=CF.

22.小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选

题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有

一个“求助"没有用（使用"求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）.

（1）如果小明第一题不使用"求助"，那么小明答对第一道题的概率是

（2）如果小明将“求助"留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利

通关的概率.

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用"求助（直接写出答案）

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案;

（2）首先分别用A,B,C表示第一道单选题的3个选项，a,b,c表示剩下的

第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果

与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；

（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：如果在第二题使

O

用“求助"小明顺利通关的概率为：即可求得答案.

【解答】解：（1）•••第一道单选题有3个选项，

...如果小明第一题不使用“求助"，那么小明答对第一道题的概率是：4；

故答案为：专；

（2）分别用A,B,C表示第一道单选题的3个选项，a,b,c表示剩下的第二

道单选题的3个选项,

画树状图得：

开始

/N/N/1\

•.•共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况,

二小明顺利通关的概率为：

（3）•.•如果在第一题使用“求助"小明顺利通关的概率为：如果在第二题使

O

用“求助"小明顺利通关的概率为：

建议小明在第一题使用“求助

23.学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生"平均每天参加体育活动的时

间"进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

0.5小时以下

下

请你根据统计图提供的信息，解答以下问题:

~1小时"部分的扇形统计图的圆心角为小£度;

（2）本次一共调查了200名学生;

（3）将条形统计图补充完整；

（4）若该校有2000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活

动的时间在0.5小时以下.

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图.

【分析】（1）圆心角的度数=360。乂该部分所占总体的百分比；

（2）0.5小时以下的有10人，所占百分比为5%,则可求得其调查总人数；

（3）0.5-1小时人数为总人数乘以其所占百分比，1-1.5小时人数为总人数乘

以其所占百分比；

（4）用全校学生数X每天参加体育活动的时间在0.5小时以下所占百分比即可.

【解答】解：（1）360°X（1-50%-30%-5%）=54°；

(2)104-5%=200A;

(3)200X15%=30人，200X30%=60人;

X5%=100(人).

下

24.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道

路EF行走，当行走到点C处，测得NACF=45。，再向前行走:LOO米到点D处，测

得NBDF=60。.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离.

【考点】解直角三角形的应用.

【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN

的长，由于AB=CN-CM,从而可以求得AB的长.

【解答】解：作AM_LEF于点M,作BNLEF于点N,如右图所示，

由题意可得,AM=BN=60米,CD=100米，ZACF=45°,ZBDF=60°,

.••CM=—黑。=?°=60米,

tan451

DN=詈.=*=2附米,

tan60V3""

，AB=CD+DN-CM=100+20«-60=(40+2073)米，

即A、B两点的距离是(40+2073)米.

25.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视,

空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,

已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500

元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的

欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降

价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，

在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B

型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为

多少元？

【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用.

【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据

用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量

相同，列方程求解；

（2）根据总利润=单件利润X销量列出一元二次方程求解即可.

【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，

解得：x=1200,

经检验x=1200是原方程的根，

则x+300=1500,

答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；

（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x-1200）（4+呼干）

50

=3200,

解得：x=1600,

答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应

将B型空气净化器的售价定为1600元.

26.如图，在平面直角坐标系中，RtaABC的顶点A,C分别在y轴，x轴上，Z

ACB=90°,0A=«,抛物线y=ax2-ax-a经过点B(2,四)，与y轴交于点D.

3

(1)求抛物线的表达式；

(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；

(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED〃AC的理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】方法一：

(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.

(2)通过△AOCs^CFB求得0C的值，通过△OCD丝^FCB得出DC=CB,ZOCD=

ZFCB,然后得出结论.

(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过

解三角函数求得结果.

方法二：

(1)略.

(2)利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B，坐标，并得出B，

与点D重合.

(3)分别求出点A,C,E,D坐标，并证明直线ED与AC斜率相等.

【解答】方法一:

得^=aX22-2a-a,

解：(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式,

解得a=*,

抛物线的表达式为

(2)连接CD,过点B作BF_Lx轴于点F,则NBCF+NCBF=90°

VZACB=90",

，ZACO+ZBCF=90°,

/.ZACO=ZCBF,

VZAOC=ZCFB=90°,

.'.△AOC^ACFB,

•.•A0­_0—~C~~«

CFBF

设OC=m,贝UCF=2-m,贝I」有逅=而，

2in%

o

解得mi=m2=l,

AOC=CF=1,

当x=0时，y=-—,

_3

；.OD=Ji,

3

BF=OD,

VZDOC=ZBFC=90°,

/.△OCD^AFCB,

，DC=CB,ZOCD=ZFCB,

.,.点B、C、D在同一直线上，

，点B与点D关于直线AC对称，

...点B关于直线AC的对称点在抛物线上.

（3）过点E作EG，y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则«

.2k+b

解得k=-哼，

.*.y=-哼x+T，代入抛物线的表达式-冬+b=争2-冬-冷.

解得x=2或x=-2,

当x=-2时y=-遮x+«=-遮义（-2）+存殳应，

333

二点E的坐标为（-2,空），

2

•••tanZEDG普班,后=零

Uv---+"1"10

.\ZEDG=30°

••+/CA_OC_1_',/3

•tanz_0AC——{------,

OAV33

/.ZOAC=30°,

AZOAC=ZEDG,

，ED〃AC.

方法二：

（1）略.

（2）设C点坐标为（t,0）,B点关于直线AC的对称点为夕,

VZACB=90",

/.AC±BC,

，KACXKBC=-1,

VOA=V3»-A(0,«),B(2,乎)，C(t,0),

V3

••x3="1'

0-t2-t

At(t-2)=-1,

.\t=l,C(1,0),

Bx+BXBy+B'Y

~~2-20'

z

.Bx=0,B"=-退,

3

...B关于直线AC的对称点即为点D.

(3)VA(0,V3),B(2,返)，

3

rV3R

打蓝-x+V3

J低2Ma'

V------Y—,-----Y-------

r333

解得：xi=2(舍),X2=-2,

AE(-2,-^S),D(0,-叵，A(0,折，C(1,0),

33v

二川56-0

••KED=KAC，

，ED〃AC.

27.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（xi,yD,点Q的坐标为（x2,y2）,

且xi#X2,yiWy2,若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标

轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形"，如图为点P,Q的“相关矩形”示意

图.

（1）已知点A的坐标为（1,0）,

①若点B的坐标为（3,1）,求点A,B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A,C的"相关矩形〃为正方形，求直线AC的表达式；

（2）。。的半径为证,点M的坐标为（m,3）,若在。。上存在一点N,使得

点M,N的“相关矩形"为正方形，求m的取值范围.

4

3

2

1

F123452

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必

为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出

该矩形的面积；

②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45,设直

线AC的解析式为；y=kx+b,由此可知k=±l,再（1,0）代入y=kx+b,即可求

出b的值；

（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即

直线MN与x轴的夹角为45。，由因为点N在圆。上，所以该直线MN与圆。一

定要有交点，由此可以求出m的范围.

【解答】解：（1）①..2（1,0）,B（3,1）

由定义可知：点A,B的“相关矩形"的底与高分别为2和1,

.,.点A,B的“相关矩形”的面积为2X1=2；

②由定义可知：AC是点A,C的“相关矩形”的对角线，

又•••点A,C的"相关矩形"为正方形

二直线AC与x轴的夹角为45°,

设直线AC的解析为：y=x+m或y=-x+n

把（1,0）分别y=x+m,

m=-1,

二直线AC的解析为：y=x-1,

把（1,0）代入y=-x+n,

••n=l,

:・V=-x+1,

综上所述，若点A,C的〃相关矩形〃为正方形，直线AC的表达式为y=x-l或y=

-x+1；

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b,

•••点M,N的"相关矩形"为正方形，

,由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45。，

k=±1,

•.•点N在。。上，

二当直线MN与。。有交点时，点M,N的"相关矩形”为正方形，

当k=l时，

作。0的切线AD和BC,且与直线MN平行，

其中A、C为。。的切点，直线AD与y轴交于点D,直线BC与y轴交于点B,

连接OA,OC,

把M(m,3)代入y=x+b,

b=3-m,

直线MN的解析式为：y=x+3-m

VZADO=45°,ZOAD=90°,

.•.OD=V2OA=2,

AD(0,2)

同理可得：B(0,-2),

令x=0代入y=x+3-m,

.*.y=3-m,

-2W3-mW2,

・・・lWmW5,

当k=-1时，把M(m,3)代入y=-x+b,

b=3+m,

直线MN的解析式为:y=-x+3+m,

同理可得：-2W3+mW2,

-5WmW-1；

综上所述，当点M,N的"相关矩形"为正方形时，m的取值范围是：lWm<5或

-5WmW-1

28.问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，NACB=NADB=90。，AD=BD,探究线段AC,BC,CD

之间的数量关系.

小吴同学探究此问题的思路是：将4BCD绕点D,逆时针旋转90。到4AED处，

点B,C分别落在点A,E处(如图②)，易证点C,A,E在同一条直线上，并且

△CDE是等腰直角三角形，所以CE=«CD,从而得出结论：AC+BC=V2CD.

简单应用：

(1)在图①中，若AC=5BC=2«,则CD=3.

(2)如图③