2024中考数学全国真题分类卷 第二十四讲 图形的对称、平移、旋转与位似 强化训练(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第二十四讲图形的对称、平移、旋转与位似强化训练命题点1轴对称图形与中心对称图形1.(2023邵阳)下列四种图形中，对称轴条数最多的是()A.等边三角形B.圆C.长方形D.正方形2.(2023北京)图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为()第2题图A.1B.2C.3D.53.(2023山西)2023年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是()4.(2023福建)美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是()5.(新趋势)·数学文化(2023遂宁)下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.科克曲线B.笛卡尔心形线C.阿基米德螺旋线D.赵爽弦图6.(2022枣庄)将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是()7.(2022常州)观察所示脸谱图案，下列说法正确的是()第7题图A.它是轴对称图形，不是中心对称图形B.它是中心对称图形，不是轴对称图形C.它既是轴对称图形，也是中心对称图形D.它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形命题点2图形的对称(含折叠)及其相关计算8.(2023大庆)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为()A.108°B.109°C.110°D.111°第8题图9.(2023济宁)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是()第9题图A.eq\f(13,6)B.eq\f(5,6)C.eq\f(7,6)D.eq\f(6,5)10.(2023河北)题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝eq\r(2)，则正确的是()A.只有甲答的对B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整第10题图11.(2023金华)如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C.若eq\f(BF,GC)＝eq\f(2,3)，则eq\f(AD,AB)的值为()第11题图A.2eq\r(2)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\f(20,7)D.eq\f(8,3)12.(2023连云港)如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝eq\f(4\r(3),5)AD；③GE＝eq\r(6)DF；④OC＝2eq\r(2)OF；⑤△COF∽△CEG.其中正确的是()第12题图A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④13.(2023潍坊)小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为________．第13题图14.(2023雅安)如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为________．第14题图15.(2020安徽)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为________°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，eq\f(AB,QR)的值为________．第15题图16.(2023台州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6.折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F.当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．第16题图17.(2023无锡)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2eq\r(2)，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．第17题图18.(2023绍兴)如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B，C重合)，连接AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连接DC，记∠BCD＝α.(1)如图，当P与E重合时，求α的度数；(2)当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．命题点3图形的平移及其相关计算19.(2023广西北部湾经济区)2023北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是()20.(2023嘉兴)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为()A.1cmB.2cmC.(eq\r(2)－1)cmD.(2eq\r(2)－1)cm第20题图21.(2023福建)如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是()第21题图A.96B.96eq\r(3)C.192D.160eq\r(3)22.(2023海南)如图，点A(0，3)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是()A.(7，2)B.(7，5)C.(5，6)D.(6，5)第22题图23.(2023金华)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm.把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为________cm.第23题图24.(2023益阳)如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝eq\f(1,3)AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是________．第24题图命题点4图形的旋转及其相关计算25.(2022苏州)如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是()26.(2023南充)如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为()A.90°B.60°C.45°D.30°第26题图27.(2023包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于()第27题图A.3eq\r(3)B.2eq\r(3)C.3D.228.(2023天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是()A.AB＝ANB.AB∥NCC.∠AMN＝∠ACND.MN⊥AC源自人教八上P33第5题第28题图29.(2023苏州)如图，点A的坐标为(0，2)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，若点C的坐标为(m，3)，则m的值为()第29题图A.eq\f(4\r(3),3)B.eq\f(2\r(21),3)C.eq\f(5\r(3),3)D.eq\f(4\r(21),3)30.(2023贺州)如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为________．第30题图31.(2023娄底)如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点(与B，C不重合)，将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′.给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有________(填结论对应的序号).第31题图32.(2023柳州)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为________．第32题图33.(2023随州)如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF.如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ(0°＜θ＜90°)，使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H.则∠BHD的度数为________，DH的长为________.第33题图34.(2022绵阳)如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC＝6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN.(1)作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH＝∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，NC∥AB，求以MC、MN为邻边的正方形的面积S.第34题图35.(2023山西)综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．第35题图命题点5图形的位似及其相关计算36.(2023梧州)如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知eq\f(OA,OA′)＝eq\f(1,3)，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是()A.4B.6C.16D.18第36题图37.(2023成都)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是________．第37题图命题点6网格作图及其相关计算38.(2023陕西)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－3，0)，C(－1，－1).将△ABC平移后得到△A′B′C′，且点A的对应点是A′(2，3)，点B、C的对应点分别是B′、C′.(1)点A、A′之间的距离是________；(2)请在图中画出△A′B′C′.第38题图39.(2023湘潭)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－4，0)，C(－2，2).将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1.(1)请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1______，B1______，C1______；(2)求点B旋转到点B1的弧长．第39题图40.(2023河池)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2).(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．第40题图参考答案与解析1.B2.D3.B4.A5.A6.D7.A8.C【解析】由题意得，2∠ABD＝∠1＝56°，∴∠ABD＝28°，∴∠A＝180°－∠ABD－∠2＝180°－28°－42°＝110°.9.A【解析】∵在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，由折叠的性质，得∠ADB＝∠B，∠CDE＝∠C，AD＝AB，DE＝CE，∴∠ADE＝180°－(∠ADB＋∠CDE)＝90°.设AE＝x，则CE＝DE＝3－x，在Rt△ADE中，AD＝AB＝2，根据勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2，即22＋(3－x)2＝x2，解得x＝eq\f(13,6)，∴AE＝eq\f(13,6).10.B【解析】如解图，过点C作CD⊥BM于点D，如解图①，当点A与点D重合时，∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，BC＝2，∴AC＝eq\r(2)，当d＝eq\r(2)时，△ABC为唯一三角形；如解图②，当点A在线段BD上，点A关于线段CD的对称点A′在射线DM上，∴当d＝1.6时，存在△ABC和△A′BC两个三角形；如解图③，当点A运动至AC⊥BC时，点A关于CD的对称点A′与点B重合，∵∠B＝45°，∠BCA＝90°，BC＝2，∴∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝2，当d＝2时，△ABC为唯一三角形；当点A向M运动时，点A′不在射线BM上，即d>2时△ABC为唯一三角形，综上所述，当d＝eq\r(2)或d≥2时，△ABC为唯一三角形，故甲、丙答案合在一起才完整．第10题解图11.A【解析】如解图，连接BE，B′E，CE，∵点E为AD的中点，∴根据矩形的轴对称性可知BE＝CE，由折叠可知BE＝B′E，∴B′E＝CE.∵EA′⊥B′C，∴点A′为B′C的中点，A′C＝A′B′＝AB＝eq\f(1,2)B′C.∵A′G∥B′F，∴G为CF的中点．由折叠可知BF＝B′F，∵eq\f(BF,GC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).设A′G＝x，则B′F＝BF＝2x，CG＝FG＝3x，AD＝BC＝8x，在Rt△CB′F中，B′C＝eq\r(CF2－B′F2)＝eq\r(（6x）2－（2x）2)＝4eq\r(2)x，∴AB＝2eq\r(2)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(8x,2\r(2)x)＝2eq\r(2).第11题解图12.B【解析】由折叠的性质得，∠GEO＝∠GEA，∠OEC＝∠BEC，∴∠GEC＝∠GEO＋∠CEO＝90°，同理可得，∠FGE＝90°，∴∠FGE＋∠GEC＝180°，∴GF∥EC，①正确；∵OE＝EA＝EB，GO＝DG＝GA，∴点E，G分别为AB，AD的中点，设AB＝2a，AD＝2b，则OE＝EA＝EB＝a，GO＝DG＝GA＝b，∵OC＝BC＝2b，∴GC＝GO＋OC＝3b，在Rt△GDC中，DC2＋DG2＝GC2，即(2a)2＋b2＝(3b)2，∴a2＝2b2.∵a，b均大于0，∴a＝eq\r(2)b，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(2a,2b)＝eq\r(2)，即AB＝eq\r(2)AD，②错误；∵∠FGE＝90°，∴∠FGD＋∠AGE＝90°.∵∠AGE＋∠GEA＝180°－∠A＝90°，∴∠DGF＝∠AEG.∵∠D＝∠A＝90°，∴△DGF∽△AEG，∴eq\f(DF,AG)＝eq\f(DG,AE)＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝eq\f(\r(2),2)b.∵GE＝eq\r(AG2＋AE2)＝eq\r(b2＋a2)＝eq\r(b2＋（\r(2)b）2)＝eq\r(3)b，∴GE＝eq\r(6)DF，③正确；∵OF＝DF＝eq\f(\r(2),2)b，OC＝2b，∴OC＝2eq\r(2)OF，④正确；∵CE＝eq\r(BC2＋EB2)＝eq\r(（2b）2＋a2)＝eq\r(（2b）2＋（\r(2)b）2)＝eq\r(6)b，∴eq\f(CE,GE)＝eq\f(\r(6)b,\r(3)b)＝eq\r(2)，∵eq\f(OC,OF)＝2eq\r(2)，∴eq\f(OC,OF)≠eq\f(CE,GE)，∴△COF与△CEG不相似，⑤错误．综上所述，正确的是①③④.13.eq\r(2)【解析】由第②次折叠知，AB＝AB′，设AD′＝AD＝x，由第①次折叠知，∠B′AB＝45°，∴△AD′B′是等腰直角三角形，∴AB′＝eq\r(2)AD′，∴长AB与宽AD的比值为eq\r(2).14.eq\f(15,2)【解析】由折叠的性质可得，BC＝BE，∠DBC＝∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠E＝∠C＝90°，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FDB＝∠DBF，∴FD＝FB，设FD＝FB＝x，则FE＝BE－BF＝9－x，在Rt△FED中，由勾股定理得，FD2＝FE2＋ED2，即x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴FD＝5，∴S阴影＝eq\f(1,2)FD·AB＝eq\f(1,2)×5×3＝eq\f(15,2).15.(1)30；(2)eq\r(3)【解析】(1)由折叠的性质得，∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA＋∠QRP＝180°，∴∠D＋∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B＋∠DAB＝180°，∵∠DQR＋∠CQR＝180°，∴∠DQA＋∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°；(2)由折叠的性质可得，AD＝AR，CP＝PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD＝PC，∴AR＝PR，又∵∠AQP＝90°，∴QR＝eq\f(1,2)AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB＝eq\r(3)PB，∴PB＝QR，∴eq\f(AB,QR)＝eq\r(3).16.3eq\r(3)；6－3eq\r(3)【解析】如解图①，此时点M与点B重合，根据折叠的性质，对应点的连线垂直于折痕，可知DE⊥AB，∵∠A＝60°，AB＝6，∴EF＝AD·sin60°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)；如解图②，过点D作DH⊥BC于点H，∵DF＝AD－AF，∴当AF长最小时，DF长最大，根据折叠的性质，AF＝MF，∴当MF的长最短时，DF长最大，而MF⊥BC时最短，∵四边形ABCD为菱形，∴DH＝FM，∠C＝∠A＝60°，DC＝AB＝6，∴此时AF＝FM＝DH＝DC·sin60°＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，∴DF的最大值为AD－AF＝6－3eq\r(3).第16题解图17.解：(1)设BE＝x，则CE＝BC－BE＝4－x，∵CE＝AE，∴∠ACE＝∠CAE，AE＝4－x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABE中，有AE2＝BE2＋AB2，∴(4－x)2＝x2＋(2eq\r(2))2，解得x＝1，即BE＝1，∴CE＝AE＝4－1＝3，由折叠的性质可得，∠AFC＝∠B＝90°，∠ACE＝∠ACF，AB＝AF＝2eq\r(2)，∴∠CAE＝∠ACF，∴CF∥AE，∴∠EAF＝90°，∴EF＝eq\r(AF2＋AE2)＝eq\r(（2\r(2)）2＋32)＝eq\r(17)；(2)如解图，过点C作CH⊥EF于点H，则∠CHF＝90°，由(1)知CF∥AE，∠EAF＝90°，第17题解图∴∠CFH＝∠AEF，∵∠EAF＝∠CHF＝90°，∴△HFC∽△AEF，∴eq\f(CH,FA)＝eq\f(CF,FE)，由折叠的性质可得，CF＝BC＝4，AF＝AB＝2eq\r(2)，∴eq\f(CH,2\r(2))＝eq\f(4,\r(17))，解得CH＝eq\f(8\r(34),17)，∴sin∠CEF＝eq\f(CH,CE)＝eq\f(\f(8\r(34),17),3)＝eq\f(8\r(34),51).18.解：(1)∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°，∵P与E重合，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝90°－25°＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；(2)①如解图①，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如解图②，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD＋α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°.综上所述，当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°.图①图②第18题解图19.D20.D【解析】由题意得，BD＝2eq\r(2)cm，由平移性质得BB′＝1cm，∴点D，B′之间的距离为DB′＝BD－BB′＝(2eq\r(2)－1)cm.21.B【解析】∵AB＝8，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)AB＝8eq\r(3)，由点A对应的刻度为12，点A′对应的刻度为0，可知平移距离AA′＝12，∴S四边形ACC′A′＝AA′·BC＝12×8eq\r(3)＝96eq\r(3).22.D【解析】由平移的性质可知，四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵A(0，3)，B(1，0)，∴OA＝3，OB＝1，如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，∴∠DEA＝∠AOB＝90°，∴∠OAB＋∠OBA＝90°，∵∠OAB＋∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠OBA，∴△EAD∽△OBA，∵BC＝2AB，∴eq\f(EA,OB)＝eq\f(AD,BA)＝eq\f(ED,OA)＝eq\f(2,1)，∴EA＝2，ED＝6，∴OE＝5，∴点D的坐标为(6，5).第22题解图23.8＋2eq\r(3)【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，∴AB＝4cm，AC＝2eq\r(3)cm.∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A′B′C′，∴四边形AB′C′C的周长为AB＋BB′＋B′C′＋C′C＋AC＝4＋1＋2＋1＋2eq\r(3)＝8＋2eq\r(3)(cm).24.4【解析】由题意可知重叠部分的图形为正方形，∵正方形的边长为3，∴AC＝3eq\r(2)，∵AA′＝eq\f(1,3)AC，∴A′C＝eq\f(2,3)AC＝2eq\r(2)，∴重叠部分正方形的边长为2，∴重叠部分正方形的面积为4.25.B【解析】A选项是原图形的对称图形，故A不正确；B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；C选项旋转后的形状发生了改变，故C不正确；D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确．26.B【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°，由旋转的性质可知△ABC≌△AB′C′，∴∠BAC＝∠B′AC′＝60°，又∵C，A，B′三点共线，∴∠BAC′＝180°－∠BAC－∠B′AC′＝60°.27.C【解析】如解图，连接AA′，过点A作AD⊥A′C于点D，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝eq\f(BC,tan30°)＝2eq\r(3)，∠B＝60°，由旋转的性质得，BC＝B′C，AC＝AC′，∴△BCB′为等边三角形，∴∠BCB′＝∠ACA′＝60°，∴△ACA′为等边三角形，∴∠CAD＝30°，∴AD＝AC·cos30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.第27题解图28.C【解析】∵△ACN是由△ABM绕点A逆时针旋转得到的，∴△ACN≌△ABM，∴AN＝AM，∵AM与AB不一定相等，∴AB与AN不一定相等，故选项A不一定正确；AB，NC平行的理由不充分，故选项B不一定正确；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝∠ACN，∴∠BAM＋∠MAC＝∠CAN＋∠MAC，即∠BAC＝∠MAN，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM＝eq\f(180°－∠MAN,2)，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(180°－∠BAC,2)，∴∠AMN＝∠ABC，∴∠AMN＝∠ACN，故选项C一定正确；MN，AC垂直的理由不充分，故选项D不一定正确．29.C【解析】如解图，连接BC，过点C作AB，x轴的垂线，垂足分别为D，E，过点D作x轴的平行线，分别交y轴，CE于点M，N，则四边形MOEN为矩形．∵AC由AB绕点A逆时针旋转60°得到，∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴点D为AB的中点，eq\f(CD,AD)＝tan60°＝eq\r(3)，∴点M为AO的中点，∵A(0，2)，∴AM＝MO＝NE＝1，∵C(m，3)，∴CN＝CE－NE＝2，∵∠ADC＝90°，∴∠CDN＋∠ADM＝90°，∵∠DAM＋∠ADM＝90°，∴∠CDN＝∠DAM，∴△CDN∽△DAM，∴eq\f(CN,DM)＝eq\f(DN,AM)＝eq\f(CD,DA)，即eq\f(2,DM)＝eq\f(DN,1)＝eq\r(3)，∴DM＝eq\f(2\r(3),3)，DN＝eq\r(3)，∴MN＝DM＋DN＝eq\f(5\r(3),3)，即m的值为eq\f(5\r(3),3).第29题解图30.(－4，8)【解析】如解图，过点B作BC⊥x轴，BD⊥y轴，过点B′作B′C′⊥y轴，B′D′⊥x轴，∵AB＝5，BC＝4，∴CA＝3，∴A′C′＝3，又∵B′C′＝BC＝4，∴D′O＝B′C′＝4，B′D′＝OC′＝5＋3＝8，∴点B′的坐标为(－4，8).第30题解图31.①②③【解析】由旋转性质可得∠BAC＝∠DAD′＝θ，AD＝AD′，∴∠BAC－∠DAB＝∠DAD′－∠DAB，即∠CAD＝∠BAD′，∵AC＝AB，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AD′)＝1，∵∠BAC＝∠DAD′，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；如解图，过点D作DH⊥AD′于点H，则∠AHD＝90°，∴sinθ＝eq\f(DH,AD)，∴DH＝AD·sinθ，∴S△ADD′＝eq\f(1,2)AD′·DH＝eq\f(1,2)AD2·sinθ，∴当AD取得最小值时，即AD⊥BC时，△ADD′的面积最小．∵AB＝AC，∴当BD＝DC时，△ADD′的面积最小，故③正确．综上所述，正确的结论是①②③.第31题解图32.2eq\r(5)－2【解析】如解图，连接AE，AG，∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴∠EDF＝90°，DE＝DF，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵AD＝CD，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，AE＋EG≥AG，∴AE≥AG－EG，∵AG＝eq\r(AB2＋BG2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，EG＝2，∴AE≥2eq\r(5)－2，∴CF长的最小值为2eq\r(5)－2.第32题解图33.90°，eq\f(4\r(5),5)【解析】如解图，设AD分别交BH，EF于点M，N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝4，AF＝eq\f(1,2)AD＝3，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(4,3)，由旋转的性质得∠BAE＝∠DAF，∴△ABE∽△ADF，∴∠ABE＝∠ADF，∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMH，∴∠ADF＋∠DMH＝90°，∴∠BHD＝90°.在Rt△AEF中，EF＝eq\r(AF2＋AE2)＝5，S△AEF＝eq\f(1,2)AF·AE＝eq\f(1,2)EF·AN，解得AN＝eq\f(12,5)，∴DN＝AD－AN＝eq\f(18,5)，tan∠AFE＝eq\f(AN,NF)＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(4,3)，解得NF＝eq\f(9,5)，∴DF＝eq\r(DN2＋FN2)＝eq\f(9\r(5),5)，∴cos∠DFN＝eq\f(FN,DF)＝eq\f(FH,EF)，解得FH＝eq\r(5)，∴DH＝DF－FH＝eq\f(4\r(5),5).第33题解图34.解：(1)点N在直线AB上．理由：∵MH⊥BC，∴∠B＋∠BMH＝90°，∵∠B＝∠CMH，∴∠BMC＝∠CMH＋∠B