2024中考数学复习 重难题型分类练 题型八 阅读理解题 (含答案)

2024中考数学复习重难题型分类练题型八阅读理解题类型一定义新运算1.阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a.例如：min|－1，3|＝－1；min|－1，－2|＝－2.第1题图完成下列任务(1)①min|(－3)0，2|＝________；②min|－eq\r(14)，－4|＝________；(2)如图，已知反比例函数y1＝eq\f(k,x)和一次函数y2＝－2x＋b的图象交于A、B两点，当－2＜x＜0时，min|eq\f(k,x)，－2x＋b|＝(x＋1)(x－3)－x2.求这两个函数的解析式．2.对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷(2＋4＋7)＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷(2＋1＋4)＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c.在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A).若eq\f(F（A）＋G（A）,16)为整数，求出满足条件的所有数A.类型二新概念的理解与应用3.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)，N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1，1)，点N在线段OM的延长线上．若点P(－2，0)，点Q为点P的“对应点”，第3题图①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T.求证：NT＝eq\f(1,2)OM；(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t(eq\f(1,2)<t<1).若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).4.小东在做九上课本123习题：“1∶eq\r(2)也是一个很有趣的比．已知线段AB(如图①)，用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP∶AB＝1∶eq\r(2).”小东的作法是：如图②，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点，小东称点P为线段AB的“趣点”．(1)你赞同他的作法吗？请说明理由；(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连接CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB.①如图③，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数；②如图④，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时(CD＜AD)，猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．第4题图5.若关于x的函数y，当t－eq\f(1,2)≤x≤t＋eq\f(1,2)时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝eq\f(M－N,2)，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．(1)①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)，求函数y的“共同体函数”h的解析式；(2)若函数y＝eq\f(2,x)(x≥1)，求函数y的“共同体函数”h的最大值；(3)若函数y＝－x2＋4x＋k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．6.在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．(1)正方形________“等形点”(填“存在”或“不存在”)；(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4eq\r(2)，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；第6题图(3)在四边形EFGH中，EH∥FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求eq\f(OF,OG)的值．类型三解题方法型7.阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(－eq\f(b,2a)，eq\f(4ac－b2,4a))和一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac，分别从a>0和a<0两种情况进行分析：(1)a>0时，抛物线开口向上．①当Δ＝b2－4ac>0时，有4ac－b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标eq\f(4ac－b2,4a)<0.∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图①).∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．②当Δ＝b2－4ac＝0时，有4ac－b2＝0.∵a>0，∴顶点纵坐标eq\f(4ac－b2,4a)＝0.∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图②).∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．③当Δ＝b2－4ac<0时，…(2)a<0时，抛物线开口向下．…图①图②第7题图任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是_____________(从下面选项中选出两个即可)；A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为___________________________．源自北师九下P52议一议8.阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).第8题图①证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝asinB，在Rt△ACD中，CD＝bsinA，∴asinB＝bsinA，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)第8题图9.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)第9题图公式①：(a＋b＋c)d＝ad＋bd＋cd公式②：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd公式③：(a－b)2＝a2－2ab＋b2公式④：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2图①对应公式____，图②对应公式______，图③对应公式____，图④对应公式______；(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的方法，如图⑤，请写出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)(3)如图⑥，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点(不与端点重合)，过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2.①若E为边AC的中点，则eq\f(S1,S2)的值为________；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．图⑤图⑥第9题图10.【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等，在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为点E，F.∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF.∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF.又S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE，S△DBC＝eq\f(1,2)BC·DF，∴S△ABC＝S△DBC.【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF.请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．第10题图参考答案与解析1.解：(1)①1；②－4；【解法提示】∵(eq\r(14))2＜42，∴eq\r(14)＜4，∴－eq\r(14)＞－4，∴min|－eq\r(14)，－4|＝－4.(2)∵当－2<x<0时，min|eq\f(k,x)，－2x＋b|＝(x＋1)(x－3)－x2＝－2x－3，且由图象得，当－2<x<0时，min|eq\f(k,x)，－2x＋b|＝－2x＋b，∴b＝－3，∴一次函数的解析式为y2＝－2x－3，∴A(－2，1)，∴反比例函数的解析式为y1＝－eq\f(2,x).2.解：(1)357不是“和倍数”，441是9的“和倍数”．理由如下：∵357÷(3＋5＋7)＝23……12，∴357不是“和倍数”．∵441÷(4＋4＋1)＝49，∴441是9的“和倍数”；(2)∵三位数A是12的“和倍数”，∴a＋b＋c＝12.∵a＞b＞c，∴F(A)＝10a＋b，G(A)＝10c＋b.∵eq\f(F（A）＋G（A）,16)为整数，∴eq\f(10a＋b＋10c＋b,16)＝eq\f(8a＋8c＋2a＋2b＋2c,16)＝eq\f(8a＋8c＋24,16)＝eq\f(8a＋8c＋8,16)＋1＝eq\f(a＋c＋1,2)＋1，∴eq\f(a＋c＋1,2)是整数，∴a＋c为奇数．当a＋c＝3时，b＝9，不符合题意；当a＋c＝5时，b＝7，不符合题意；当a＋c＝7时，b＝5，则a＝6，c＝1或a＝5，c＝2(舍去)；当a＋c＝9时，b＝3，则a＝8，c＝1或a＝7，c＝2或a＝6，c＝3(舍去)或a＝5，c＝4(舍去)；当a＋c＝11时，b＝1，不符合题意；∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝5,c＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8,b＝3,c＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝7,b＝3,c＝2)).∵A能被12整除，∴满足条件的所有数A为516，156，732，372.3.(1)①解：画出点Q如解图①；②证明：如解图②，连接PP′由题意可知P′(－2＋1，0＋1)，即P′(－1，1).∵P(－2，0)，M(1，1)，N(2，2)，∴PP′∥OM，PP′＝OM，又∵N为P′Q的中点，∴NT为△PP′Q的中位线，∴NT＝eq\f(1,2)PP′＝eq\f(1,2)OM；(2)解：4t－2.第3题解图【解法提示】如解图③，由题意可知将点P移动到点P′与将点O移动到点M的方式相同，∴PP′＝OM＝1.设OM的中点为C，首先，考虑两种极端情况，当点N运动到点M时，此时M，N重合，点P′关于点N的对称点为点B，当点N运动到点C时，点P′关于点N的对称点为点A，显然PP′∥BA，PP′＝BA，∴四边形PP′BA为平行四边形．∴AB＝PP′＝1.一般情况下，当点N在线段CM上运动时(不与点C，M重合)，点Q也在BA上运动(不与点A，B重合)，同理②可得MN为△P′BQ的中位线，∴BQ＝2MN＝2(1－t)＝2－2t，∴AQ＝AB－BQ＝1－(2－2t)＝2t－1，易知A，P关于原点对称，∴当点P固定时，点A是个定点，∴当ON为t，点M运动时，点Q的轨迹为以点A为圆心，AQ为半径的圆，∴PQ的最大值为PA＋AQ，最小值为PA－AQ，其差为2AQ＝4t－2.第3题解图③4.解：(1)赞同，理由如下：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,\r(2))，∵AC＝AP，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(1,\r(2))，∴点P为线段AB的“趣点”；(2)①由题意可得∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴∠ACP＝∠APC＝eq\f(1,2)×(180°－45°)＝67.5°，∴∠BCP＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°－45°－22.5°＝112.5°，∵△DPE∽△CPB，点D，A重合，∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，∴∠CPE＝∠DPE＋∠CPB－180°＝45°；②点N是线段ME的“趣点”，理由如下：当点D为线段AC的“趣点”时(CD＜AD)，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,\r(2))，而AC＝AP，∴eq\f(AD,AP)＝eq\f(1,\r(2))，∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,\r(2))，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴∠ADP＝∠ACB＝90°，∴∠APD＝45°，DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，∴DM＝PM，∴∠MDC＝∠MCD＝90°－22.5°＝67.5°，∴MD＝MC，同理可得MC＝MN，∴MP＝MD＝MC＝MN，∴∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，∴∠EMP＝45°，∴∠MPE＝90°，∴eq\f(MP,ME)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(MN,ME)，∴点N是线段ME的“趣点”．5.解：(1)①当t＝1时，eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)，∵4044＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝eq\f(3,2)时，M＝6066，当x＝eq\f(1,2)时，N＝2022，∴函数y的“共同体函数”h＝eq\f(M－N,2)＝2022；②若k＞0，则y随x的增大而增大，∴当x＝t＋eq\f(1,2)时，M＝k(t＋eq\f(1,2))＋b，当x＝t－eq\f(1,2)时，N＝k(t－eq\f(1,2))＋b，∴h＝eq\f(M－N,2)＝eq\f(k,2)；若k＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝t－eq\f(1,2)时，M＝k(t－eq\f(1,2))＋b，当x＝t＋eq\f(1,2)时，N＝k(t＋eq\f(1,2))＋b，∴h＝eq\f(M－N,2)＝－eq\f(k,2)，∴函数y的“共同体函数”h的解析式为h＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，k＞0,－\f(k,2)，k＜0))；(2)∵y＝eq\f(2,x)(x≥1)，∴在t－eq\f(1,2)≤x≤t＋eq\f(1,2)范围内，y随x的增大而减小，∴M＝eq\f(2,t－\f(1,2))，N＝eq\f(2,t＋\f(1,2))，∴h＝eq\f(M－N,2)＝eq\f(M,2)－eq\f(N,2)＝eq\f(1,t－\f(1,2))－eq\f(1,t＋\f(1,2))＝eq\f(1,t2－\f(1,4))，∵t－eq\f(1,2)≥1，∴t≥eq\f(3,2)，∴t2－eq\f(1,4)≥2，∴函数y的“共同体函数”h的最大值为eq\f(1,2)；(3)存在．∵y＝－x2＋4x＋k＝－(x－2)2＋k＋4，∴函数的开口向下，对称轴为直线x＝2，y的最大值为k＋4，①当t＋eq\f(1,2)≤2，即t≤eq\f(3,2)时，y随x的增大而增大，∴M＝－(t－eq\f(3,2))2＋k＋4，N＝－(t－eq\f(5,2))2＋k＋4，∴h＝eq\f(M－N,2)＝－t＋2；②当2＜t＋eq\f(1,2)≤eq\f(5,2)，即eq\f(3,2)＜t≤2时，M＝－(2－2)2＋k＋4＝k＋4，N＝－(t－eq\f(5,2))2＋k＋4，∴h＝eq\f(M－N,2)＝eq\f(1,2)(t－eq\f(5,2))2；③当eq\f(5,2)＜t＋eq\f(1,2)≤3，即2＜t≤eq\f(5,2)时，M＝－(2－2)2＋k＋4＝k＋4，N＝－(t－eq\f(3,2))2＋k＋4，∴h＝eq\f(M－N,2)＝eq\f(1,2)(t－eq\f(3,2))2；④当t＋eq\f(1,2)＞3，即t＞eq\f(5,2)时，y随x的增大而减小，M＝－(t－eq\f(5,2))2＋k＋4，N＝－(t－eq\f(3,2))2＋k＋4，∴h＝eq\f(M－N,2)＝t－2.∴h＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t＋2，t≤\f(3,2),\f(1,2)（t－\f(5,2)）2，\f(3,2)＜t≤2,\f(1,2)（t－\f(3,2)）2，2＜t≤\f(5,2),t－2，t＞\f(5,2)))，画出h关于t的函数图象如解图，第5题解图∴当t＝2时，h有最小值，最小值为eq\f(1,8)，∴k＋4＝eq\f(1,8)，解得k＝－eq\f(31,8).6.解：(1)不存在；【解法提示】∵当点O在正方形ABCD的边BC上时，∠OAB＜∠DAB＝90°，∠OCD＝90°，∴∠OAB≠∠OCD，∴△OAB≌△OCD不成立，∴不存在“等形点”.(2)如解图①，过点A作AE⊥BC于点E.第6题解图①∵点O是四边形ABCD的“等形点”，∴△OAB≌△OCD，∴OA＝OC＝5，AB＝CD＝4eq\r(2)，∴BO＝BC－OC＝7，设BE＝x，则EO＝BO－BE＝7－x，在Rt△ABE和Rt△AOE中，由勾股定理得AB2－BE2＝AO2－OE2，即(4eq\r(2))2－x2＝52－(7－x)2，解得x＝4，∴OE＝3，AE＝4，∴CE＝8，∴在Rt△ACE中，由勾股定理得AC＝4eq\r(5)；(3)如解图②，∵点O是四边形EFGH的“等形点”，∴△OEF≌△OGH，∴OE＝OG，OF＝OH，∠EOF＝∠GOH，∵EH∥FG，∴∠HEO＝∠EOF，∠EHO＝∠GOH，∴∠HEO＝∠EHO，∴OE＝OH，∴OF＝OG，∴eq\f(OF,OG)＝1.第6题解图②7.解：(1)AC；(2)a>0时，抛物线开口向上．当Δ＝b2－4ac<0时，有4ac－b2>0.∵a>0，∴顶点纵坐标eq\f(4ac－b2,4a)>0，∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点(如解图).第7题解图∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根；(3)可用函数观点认识二元一次方程组的解．(答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式解集等)8.(1)证明：如解图①，过点A作AN⊥BC于点N.在Rt△ABN中，AN＝csinB，在Rt△ACN中，AN＝bsinC，∴csinB＝bsinC，∴eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；第8题解图(2)解：∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.如解图②，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，AH＝AC·sin60°＝80×eq\f(\r(3),2)＝40eq\r(3)米．又∵eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即eq\f(80,0.8)＝eq\f(BC,0.9)，∴BC＝90米，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×90×40eq\r(3)＝1800eq\r(3)平方米．9.(1)解：①，②，④，③；(2)证明：由题图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK＝DB＝a－b，故S矩形AKLC＝S矩形DBFG＝a(a－b)，(a＋b)(a－b)＝S矩形AKHD＝S