新教材2025版高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直学案新人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直课程标准1.了解直线与平面垂直的定义．2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其推断直线与平面垂直．3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简洁的线面角问题．4．能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一直线与平面垂直定义假如直线l与平面α内的随意一条❶直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直要点二直线与平面垂直的判定定理❷文字语言假如一条直线与一个平面内的________都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，________⇒l⊥α图形语言要点三直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α________，但不和平面α________，图中直线PA❸斜足斜线和平面的________，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引________，过________和________的直线叫做斜线在这个平面内的射影❹，图中斜线PA在平面α上的射影为________直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角．规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是________取值范围[0°，90°]要点四直线与平面垂直的性质定理❺文字语言垂直于同一个平面的两条直线________符号语言图形语言要点五空间中的距离1．点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段，________的长度叫做这个点到该平面的距离．2．直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．两个平行平面间的距离：假如两个平面平行，那么其中一个平面内的__________到另一个平面的距离都相等，把它叫做两个平行平面间的距离．助学批注批注❶定义中的“随意一条”与“全部直线”意义相同，但与“多数条直线”不同，即定义说明这条直线和平面内的全部直线都垂直．批注❷(1)定理中有三个条件：两个线线垂直和一个相交，三个条件缺一不行．(2)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的．批注❸斜线上不同于斜足的点P的选取是随意的．批注❹斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．批注❺线面垂直性质定理的推论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(2)假如一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个．夯实双基1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若直线l与平面α内的多数条直线垂直，则l⊥α.()(2)假如一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的全部直线．()(3)假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．()(4)假如直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.()2．下列说法中可以推断直线l⊥平面α的是()A.直线l与平面α内的一条直线垂直B.直线l与平面α内的两条直线垂直C.直线l与平面α内的两条相交直线垂直D.直线l与平面α内的多数条直线垂直3．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l、m的位置关系是()A.相交B．异面C．平行D．垂直4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1直线与平面垂直的判定例1如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.题后师说证明线面垂直的方法巩固训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1题型2直线与平面垂直的性质定理例2如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.题后师说证明线线平行的方法巩固训练2如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F是EB的中点，求证：DF∥平面ABC.题型3直线与平面所成的角例3如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)求证：PA⊥平面PCD；(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．题后师说求直线与平面所成角的步骤巩固训练3在正三棱柱ABC­A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．8．6.2直线与平面垂直新知初探·课前预习[教材要点]要点一垂线垂面垂足要点二两条相交直线a∩b＝P要点三相交垂直交点垂线垂足斜足AO直角0°的角要点四平行a∥b要点五1．垂线段2．随意一点3．随意一点[夯实双基]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：依据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；依据线面垂直定义：直线垂直平面内的随意一条直线，此时强调随意一条，不是多数条，因为这多数条直线可能是平行的，D不正确．故选C.答案：C3．解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m.故选D.答案：D4．解析：如图所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.答案：45°题型探究·课堂解透例1证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，即△SDB与△SDA三边对应相等，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又∵AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，AC，SD⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC巩固训练1证明：如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1∴A1C⊥平面BC1D.例2证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.巩固训练2证明：设AB中点为M，连接FM，CM.∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC，∵F，M为EB，AB中点，∴EA∥FM.∵EA＝2FM，EA＝2DC，∴CD綊FM，∴CDFM为平行四边形，∴DF∥CM，又DF⊄平面ABC，CM⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC.例3解析：(1)证明：取棱PC的中点N，连接DN，由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD则PA⊥平面PCD；(2)连接AN，由(1)可知，DN⊥平面PAC，则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又AN⊂平面PAC，即DN⊥AN，在Rt△DAN中，sin∠DAN＝DNAD＝3故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33巩固训练3解析：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C