2025届高考数学一轮复习函数与导数的综合应用专项练

Page1函数与导数的综合应用专项练一、单选题1．若不等式对随意实数x都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知函数在上有零点，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．若函数，当时，恒成立，则的取值范围（

）A． B． C． D．5．已知，函，若函数有三个不同的零点，为自然对数的底数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（

）A． B．C． D．8．设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（

）A． B．C． D．9．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知，若对随意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．11．函数在区间（0,1）内的零点个数是A．0 B．1C．2 D．312．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________.14．已知函数，，若函数只有唯一零点，则实数a的取值范围是________.15．已知函数，若对随意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．三、解答题16．已知函数．（1）探讨函数的单调性；（2）若对随意的，都有成立，求的取值范围．17．已知函数.(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)记的两个极值点为，，求证：.18．已知函数，．（1）求函数图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不等式对于随意的均成立，求实数的取值范围．19．已知函数(1)当，证明：；(2)若函数在上恰有一个极值，求a的值．20．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数有且只有一个零点，求实数k的值；21．已知.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明.22．已知函数，其中.（Ⅰ）当a=1时，求函数的单调区间：（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围．1．D【详解】,当时，，当时，，的递减区间是，递增区间是，所以取得微小值，也是最小值，，不等式对随意实数x都成立，所以.故选:D.2．B【详解】设当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减时，取得极大值当趋向于，趋向于当时，，单调递增依题意可知，直线与的图象有两个不同的交点如图所示，的取值范围为故选：B3．C【详解】由函数存在零点，则有解，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．则时取得最小值，且，所以m的取值范围是．故选：C4．D【详解】解：依题意，当时，恒成立，令，，则，又，∴在上单调递减，∴，即故选：D．5．B【详解】当时，，即，故，令，则，令，得，当时，，当时，，作出函数的图象如图所示：由图象知：当时，方程有两不等实根，当时，方程有一个实根；令，明显,所以，令，则在上恒成立，则在上递增，且，作出函数的图象如图所示：由图象知：当时，方程在恰有一个实根，即此时有三个不同的零点，综上，的取值范围是.故选：B6．A【详解】曲线与在区间上有两个公共点，即在区间上有两根，设，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，，，故在区间上有两根则故选：A7．D【详解】由题意得：，则，问题转化为y＝m和有2个交点，而，在和上，递增，在上，递减，当x趋于正无穷大时，无限接近于0，且，，，作出函数的图象，如图所示：视察图象得：函数和的图象有2个不同的交点时，实数.故选：D．8．B【详解】对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.故选：B．9．B【详解】解：，，令，明显为增函数，则原命题等价于，又令，则，所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故选：B10．A【详解】对随意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.所以在上恒成立，则而，则．故选：A．11．B【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．考点：导函数，函数的零点．12．B【详解】∃x1,x2，当时，，递减，当时，，递增，所以当x＝－1时，取得最小值；当x＝－1时取得最大值为，所以，即实数a的取值范围是故选：B．13．【详解】，故为增函数，当时，，可得为增函数.又为偶函数，故，恒成立.因为，，所以有，故答案为：14．【详解】令，得，则当时，令，所以，则在单调递减，所以函数与的图象，由图象可知，当，即时，图象有1个交点，即存在1个零点.故答案为：15．【详解】由得，令，∴∴在单调递增，又∵∴，在上恒成立，即令，则∴在单调递减，又因为，∴．故答案为：.16．（1）答案见解析；（2）.【详解】解：（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对随意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满意对随意的恒成立.所以综上所述：.17．(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）对求导得，由题设将问题转化为()恒成立，即可求a的取值范围；（2）由（1）有，是的两个根，应用根与系数关系易得，，进而可得，即可证结论.（1）的定义域为，，又单调，∴对恒成立，即()恒成立，而，当且仅当时取等号，∴.（2）由（1）知：，是的两个根，则，，且，∴，故，，而，∴，得证.18．（1）；（2）证明见解析；（3）．【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出切线的方程．（2）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x+1，利用导数探讨其单调性极值与最值即可得出．（3）∀x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．对a分类探讨，利用导数探讨其单调性极值与最值即可得出．试题解析：(1)∵，∴.又由，得所求切线：，即所求切线为.（2）设，则，令，得，得下表：1单调递增极大值单调递减∴，即.（3），，（i）当时，；（ii）当时，，；（iii）当时，设，，令，得下表：单调递增极大值单调递减+0-∴，即不满意等式.综上，.点睛：导数问题常常会遇见恒成立的问题：（1）依据参变分别，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可探讨参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.19．(1)证明见解析；(2).【解析】（1）利用导数推断的单调性，再由单调性证明结论.（2）由题意，问题转化为在上有且仅有一个解，构造并应用导数探讨函数性质，即可求a值，留意验证对应零点是否变号．（1）由题设且，则，所以在上递增，则，得证.（2）由题设在有且仅有一个变号零点，所以在上有且仅有一个解，令，则，而，故时，时，时，所以在、上递增，在上递减，故极大值，微小值，，要使在上与有一个交点，则或或.阅历证，或时对应零点不变号，而时对应零点为变号零点，所以.20．（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；【详解】（1）由得，定义域为，则，由得，由得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由题意知方程仅有一个实根，由得，令，则与有且仅有一个交点，又，由得；由得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，.又，所以要使仅有一个零点，则.21．(1)(2)证明见解析【解析】（1）利用导数的几何意义可求解；（2）将问题转化为证明成立，再分别求与的最值即可证明.（1）因为，则，，则，所以所求切线方程为，即.（2）由题意，可知，要证明，即证，令，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增.所以.令，则，因为，所以当，当，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以恒成立，即恒成立，所以当时，.【点睛】解决本题的关键一是对要证明的不等式进行变形，二是分别求两个新函数的最值.22．（Ⅰ）单调减区间为（1，+），增区间为（0,1）;（Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1【详解】（Ⅰ）当a=1时,,f′（x）=当f′（x）<0时，x>1;f′（x）>0时，0<x<1∴函数的单调减区间为（1，+），增区间为（0,1）（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x），若a≤0，则f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）递减，无极值若a＞0，则由f′（x）＝0，解得：x＝a，当0＜x＜a时，f′（x）>0，当x＞a时，f′（x）<0，此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；∴当x=a时，函数的极大值为f(a)=，无微小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数的微小值为f(a)=，令g(x)=lnx+x-1(x>0)∵∴g(x)在（0，+∞）单调递增，又g(1)=0,∴0<x<1时，g(x)<0;x>1时，g(x)>0(i)

当0<a≤1,f(a)=ag(a)≤0