西师大版数学三下统计课件之三

第三章抽样与抽样分布这一章将探讨抽样的基本概念、抽样分布以及抽样方法的选择等重要内容。我们将学习如何通过合理的抽样获得可靠的样本数据,并基于抽样分布进行统计分析和推断。thbytrtehtt3.1抽样的基本概念1总体与样本研究对象的整体称为总体,从总体中抽取的部分称为样本。2抽样方法常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样和系统抽样。3抽样误差样本数据与总体数据之间的差异称为抽样误差,是统计分析的重要考量。抽样是统计分析的基础。通过合理抽取样本,我们可以对总体的特征进行推断和估计。掌握抽样的基本概念,包括总体与样本的关系、常见的抽样方法以及抽样误差的产生,是进一步学习统计推理的关键基础。3.1.1总体和样本总体的概念总体是指研究对象的全体,是统计分析的基础。它可以是有限个体的集合,也可以是无限个体的群体。样本的概念样本是从总体中抽取的部分个体,代表总体的特征。通过对样本进行观测和分析,可以对总体的特征进行推断。总体与样本的关系样本是总体的一部分,反映了总体的基本特征。抽取恰当的样本是统计分析的关键,可以为我们提供可靠的信息。3.1.2抽样的方法1简单随机抽样从总体中任意抽取样本,每个个体被抽取的概率相等。这种方法易于操作,能最大限度地减少抽样误差。2分层抽样先将总体划分为不相交的子群体,然后从每个子群体中随机抽取样本。这样可以确保样本具有良好的代表性。3整群抽样将总体划分为若干组,然后随机抽取某些组作为样本。这种方法在总体分布广泛的情况下特别适用。4系统抽样按照固定的间隔从总体中有规律地抽取样本,如每隔10个抽取1个。这种方法操作简单,但需要注意总体存在周期性变化的可能。3.1.3抽样误差1总体参数实际总体的特征2样本统计量从样本计算得到的特征3抽样误差两者之间的差异抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。这是由于样本并不能完全代表总体造成的。抽样误差越小,样本数据就越能反映总体的真实情况。减少抽样误差是统计分析的关键目标之一。3.2抽样分布1样本统计量的抽样分布从总体中抽取的不同样本会产生不同的样本统计量,如均值、比例和方差等。这些样本统计量的分布就是抽样分布。2抽样分布的特点抽样分布反映了样本统计量在重复抽样中的变动情况,为统计推断提供理论基础。它具有期望、方差等特征。3抽样分布的应用基于抽样分布,我们可以进行区间估计和假设检验等统计分析,从而对总体特征做出可靠的推断。3.2.1样本均值的抽样分布1总体均值μ总体的真实平均值2样本均值$\bar{x}$从总体抽取的样本的平均值3抽样分布$\bar{X}$在重复抽样中,样本均值$\bar{x}$的概率分布在重复抽样的过程中,从同一个总体中抽取的不同样本会有不同的样本均值$\bar{x}$。这些样本均值的分布就是样本均值的抽样分布$\bar{X}$。抽样分布反映了样本均值在重复抽样中的变动情况,为统计推断提供理论基础。3.2.2样本比例的抽样分布1总体比例p总体中某一特征的实际比例2样本比例$\hat{p}$从总体中抽取的样本中该特征的比例3抽样分布$\hat{P}$样本比例$\hat{p}$的概率分布在重复抽样过程中,从相同的总体中抽取的不同样本会有不同的样本比例$\hat{p}$。这些样本比例的分布就是样本比例的抽样分布$\hat{P}$。抽样分布描述了样本比例在重复抽样中的变化情况,为我们进行统计推断提供了理论依据。3.2.3样本方差的抽样分布总体方差$\sigma^2$总体数据的真实方差,反映了数据的离散程度。样本方差$s^2$从总体中抽取的样本数据的方差,是对总体方差的估计。抽样分布$S^2$在重复抽样中,样本方差$s^2$的概率分布,即样本方差的抽样分布。3.3正态总体的抽样分布1正态总体总体服从正态分布2样本均值分布近似正态分布3样本比例分布近似正态分布4样本方差分布卡方分布当总体服从正态分布时,样本统计量如均值、比例和方差的抽样分布会呈现一些特殊的形式。样本均值和样本比例近似服从正态分布,而样本方差服从卡方分布。这些特征为统计推断提供了理论基础。3.3.1样本均值的抽样分布1中心极限定理根据中心极限定理,当样本量足够大时,样本均值的抽样分布近似服从正态分布。2抽样分布特点样本均值的抽样分布具有与总体分布相同的期望μ,但方差为σ²/n。3统计推断应用基于样本均值的正态分布特性,我们可以进行区间估计和假设检验等统计分析。3.3.2样本比例的抽样分布1总体比例p总体中某一特征的真实比例2样本比例$\hat{p}$从总体中抽取的样本中该特征的比例3抽样分布$\hat{P}$样本比例$\hat{p}$的概率分布当总体服从正态分布时,根据中心极限定理,样本比例$\hat{p}$的抽样分布$\hat{P}$也近似服从正态分布。这种正态分布的期望为总体比例p,方差为p(1-p)/n,其中n为样本量。这一特性为我们使用样本比例进行区间估计和假设检验提供了理论基础。3.3.3样本方差的抽样分布总体方差$\sigma^2$总体数据的真实方差,反映了数据的离散程度。样本方差$s^2$从总体中抽取的样本数据的方差,是对总体方差的估计。抽样分布$S^2$在重复抽样中,样本方差$s^2$的概率分布,即样本方差的抽样分布。当总体服从正态分布时,样本方差$s^2$的抽样分布$S^2$服从自由度为n-1的卡方分布。这一特性为我们使用样本方差进行统计推断提供了理论依据,例如区间估计和假设检验。3.4非正态总体的抽样分布大样本情况当样本量足够大时,根据中心极限定理,样本统计量的抽样分布都近似服从正态分布。小样本情况当样本量较小时,样本统计量的抽样分布可能会偏离正态分布,需要采用其他分布理论进行推断。分布理论选择在小样本情况下,需要根据具体情况选择合适的分布理论,如t分布、F分布等。3.4.1大样本情况下的抽样分布1样本量较大当样本量足够大时2中心极限定理根据中心极限定理3近似正态分布样本统计量的抽样分布都近似服从正态分布即使总体分布不服从正态分布,只要样本量足够大,根据中心极限定理,样本均值、样本比例和样本方差的抽样分布都会近似服从正态分布。这为我们在大样本情况下使用正态分布理论进行统计推断提供了理论依据,极大地简化了分析的难度。3.4.2小样本情况下的抽样分布1总体分布不正态当总体分布不服从正态分布时,尤其在样本量较小的情况下,样本统计量的抽样分布可能偏离正态分布。2替代分布理论在小样本情况下,需要采用替代的分布理论,如t分布、F分布等,来进行统计推断。3分布选择依据具体使用哪种分布理论,需要根据总体分布特征和样本量大小等因素进行选择。3.5抽样分布的应用1区间估计利用抽样分布确定参数的置信区间2假设检验基于抽样分布检验参数假设是否成立3抽样方法选择选择合适的抽样方法以减少抽样误差抽样分布理论为我们提供了统计推断的理论基础。通过了解总体参数的抽样分布特征,我们可以合理地确定参数的置信区间,检验参数假设,并选择恰当的抽样方法以提高估计的精度。这些应用为我们进行概括性统计分析提供了强大的理论工具。3.5.1区间估计置信区间概念利用抽样分布理论,可以确定参数的置信区间,即包含未知参数的可信区间。置信水平确定通过选择合适的置信水平,如95%或99%,可以控制区间估计的精度。区间计算公式根据总体分布和样本特征,使用相应的公式计算置信区间。3.5.2假设检验1提出假设根据研究问题和目标,提出相应的参数假设。2确定检验统计量选择合适的样本统计量作为检验依据。3确定检验分布根据样本特征和总体分布,选择合适的检验分布。4计算检验值将检验统计量的样本值带入公式计算得到检验值。5做出判断根据检验值和显著性水平做出是否拒绝原假设的决定。假设检验是统计推断的重要工具。我们首先根据研究目标提出相应的参数假设,然后选择合适的检验统计量和检验分布。计算检验值后,与显著性水平进行比较,做出是否拒绝原假设的判断。这一过程为我们提供了有力的理论依据,有助于做出更加科学和可靠的决策。3.6抽样方法的选择1简单随机抽样每个样本单位被选中的机会都是相等的,抽样过程完全随机,适用于总体较小且分布均匀的情况。2分层抽样将总体划分为不同层次,再从每一层中随机抽取样本,可以提高抽样的代表性。3整群抽样先随机选择一些大的整体单位,再全面调查这些整体单位内部的所有样本单位,适用于总体分散的情况。4系统抽样根据总体的顺序或规律,有规律地选取样本,可以更好地覆盖总体,适用于总体较大且分布均匀的情况。3.6.1简单随机抽样1完全随机每个样本单位被选中的机会相等2无偏性能够充分反映总体特征3简单易行操作灵活,适合于小规模总体简单随机抽样是最基本的抽样方法。在这种方法中，每个样本单位被选中的概率都是相等的，抽样过程完全随机。这种抽样方法能够确保样本具有无偏性，真实地反映总体的特征。同时由于操作简单灵活，在总体规模较小且分布较为均匀的情况下很容易实施，因此广泛应用于各类统计调查中。3.6.2分层抽样1划分层次将总体划分为不同层次2分层选样从每一层中随机抽取样本3提高代表性可以更好地反映总体特征分层抽样是一种常用的抽样方法。在这种方法中，我们首先根据某些特征将总体划分为不同的层次，然后再从每一层中随机抽取样本。这种做法可以提高样本对总体的代表性，使得统计推断更加精准可靠。分层抽样特别适用于总体内部存在明显差异的情况，通过充分考虑各个层次的特点,能够更好地反映总体的整体特征。3.6.3整群抽样随机选择整体首先随机选择总体中的若干个较大的整体单位,这些整体单位也被称为"集群"。调查整体内部然后对选定的这些集群内部的所有样本单位进行全面调查和数据收集。提高效率这种抽样方法能够提高调查效率,适用于总体分散的情况。3.6.4系统抽样1有序选择根据总体的顺序或规律,有规律地选取样本单位。2覆盖全面能够更好地覆盖整个总体,提高抽样的代表性。3适用范围适用于总体较大且分布较为均匀的情况。3.7抽样误差的计算1标准误差量化样本统计量的离散程度2置信区间确定参数的可信区间3评估精度分析结果的可靠性抽样误差是指由于抽样造成的与总体真实值的偏差。其中,标准误差可以量化样本统计量的离散程度,反映抽样精度。而置信区间则进一步利用标准误差为参数估计提供可信区间,为统计推断提供依据。通过对抽样误差的分析,我们能够全面评估统计结果的精度和可靠性,为数据解释和决策提供重要依据。3.7.1标准误差1统计量离散量化样本统计量的波动程度2抽样精度指标反映抽样结果的代表性3计算公式根据样本特征确定标准误差公式标准误差是用来量化样本统计量离散程度的重要指标。它反映了样本统计量与总体参数之间的差异程度,从而为评估抽样结果的代表性和精度提供依据。通过计算标准误差,我们可以了解样本统计量的变异性,为后续的统计推断奠定基础。具体计算公式因样本特征的不同而有所差异,需要根据实际情况确定。3.7.2置信区间基于标准误差以样本统计