第06讲 基本不等式（8大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第06讲基本不等式(8大考点)

考点一:基本(均值)不等式的应用

考点二:根据基本不等式比较大小

考点二:根据基本不等式证明不等关系

考点四：基本不等式求枳的最大值

基本不等式

考点五:基本不等式求和的最小值

考点六：条件等式求最值

考点七：基本不等式的恒成立问题

号点八：容积的最值问题

Q考点考向

1.均值不等式：，我

(1)均值不等式成立的条件：a2o,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)其中率称为正数a,6的算术平均数，〈还称为正数a,6的几何平均数.

2.两个重要的不等式

⑴才+启2a8(a,6GR),当且仅当a=6时取等号.

2

(2)a6W(W)(a,bGR),当且仅当a=6时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x20,y20,则

⑴如果积孙是定值P，那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是23(简记：积定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当>=y时,灯有最大值是，(简记：和定积最大).

J技巧方法

1.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常

用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好

利用均值不等式的切入点.

2.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，

例如：例《""JW"”,N,Z?>0）等，同时还要注意不等式成立

的条件和等号成立的条件.

口考点精讲

考点一：基本（均值）不等式的应用

一、单选题

1.（2022•四川宜宾•高一期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的

应用，其表述如下：设db,x,y>0,则4+0之色犯，当且仅当3=2时等号成立.根据权方和不等

xyx+yxy

291

式，函数/。）=一+」〕（0<]<7）的最小值为（）

x1-2x2

A.16B.25C.36D.49

【答案】B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

【详解】因mb,x,y>0,则包+里之担土幺，当且仅当巴=2时等号成立，

xyx+yxy

又0cxeLBPl-2x>0,

2

22（

于是得/（幻=2彳3+*22+3/=25,当且仅当2弓=』3，即x1时取"=，，，

2xi-2x21+（1-2%）2x\-2x5

291

所以函数/*）=—+「「（0<x<7）的最小值为25.

x\-2x2

故选：B

2.（2022・全国•高一专题练习）已知必〃为实数，且。为。（），则下列命题错误的是（）

A.若a>0,b>0,WJ-B.若也之而，则a>0,b>0

22

C.若〃b,则a+。>\[abD.若——>>fab,则a1h

22

【答案】C

【分析】对于A,利用基本不等式判断，对于B,由已知结合完全平方式判断，刻于C,举例判断，对于D,

利用基本不等式判断

【详解】对于A,由基本不等式可知当。>0,6>0时，彳*箍,当且仅当a=b时取等号，所以A正

确，

对于B,因为审2而,a-b^O,所以:二。，且(石-扬,20,所以a>0,b>0,当且仅当a=b

时取等号，所以B正确，

对于C,若“=—1/=-4,则竺2=9<而="=2,所以C错误，

22

对于因为岁>而，所以a+b>0.—―/厂厂\2

D,曲〉。，且〃+6—25/^>0,所以>0,

所以。>0⑦>0且标b,所以D正确，

故选：C

二、多选题

3.(2022•湖北•华中师大一附中高一期末)已知x,y>0,x+2y+刈-6=0,贝ij()

A.W的最大值为0

B.x+2y的最小值为4

C.x+y的最小值为4立-3

D.(x+2y+(y+l)2的最小值为1

【答案】BC

【分析】根据基本不等式可求A,B,D,根据判别式判断方程有根可判断C.

【详解】由x,y>0,x+2y=6—刈227^，即(7^+3夜正)40=>0<7^4应=>0<旬42,当

(。+2»

且仅当x=2,y=l时等号.故A错=6-(x+2y)K

8

进而可得：(x+2y+12)(x+2y—4)"=>x+2”4,当且仅当x=2,y=1取等号，故B正确，

令x+y=/%，则相>0,所以>=加一彳，故x+2y+肛-6=0可化为X+2(〃Z_K)+X(加一幻一6=0,整理得

x2+(1-ni)x+6-2w=0,

由A.O,得(1-〃?)2-4x(6-2"。..0,Bpm2+6m—23..0»解得利..4&-3或"4,-4及-3(舍去)，C正确,

D,(x+2)?+(y+l)2..2(x+2)(y+l)=2(孙+x+2y+2)=16,当且仅当x=2忘-2,y=2应-1时等号成立,D错

误

故选：BC.

4.(2022・海南•海口一中高一期中)已知”>(),〃>0,且a+b=2,则()

C.lga+lgZ><0D.-+->3

ah

【答案】ACD

【分析】对于A选项，由不等式的性质运算可得，对于B选项，取特殊值可判断错误，对于C选项，运用

基本不等式即可，对于D选项，注意将2转化为a+方，即可用基本不等式运算.

【详解】A选项，'：a>(),b>0,：.a-b<a+b,A2fl-&<2a+/,=4.A正确

,,1121

B选项，当4=彳,力寸，a2+b21,952,B错误；

22―+―

44

C选项，lga+lg人=lgab41g(色产尸=lgl=0,C正确；

一b2ba+bba«、八，八十“

D选项，—I—=—।-------=—I1-122+1=3,D正确.

ababab

故选：ACD

5.(2022•湖北十堰•高一阶段练习)已知x,y>0,x+2y+盯一6=0,则()

A.孙的最大值为亚

B.x+2y的最小值为4

C.x+y的最小值为4夜-3

D.(x+2)2+(y+l>的最小值为16

【答案】BCD

【分析】A选项，对不等式变形为x+2y=6-孙，利用基本不等式得到6-川22A%，求出孙的最大值;

B选项，将不等式变形为勺=6—(x+2y),利用基本不等式得至lJ6_(x+2y)4^^，求出x+2y的最小

值；c选项，对不等式变形为y(l+x)=6-(x+y),利用y(i+x)w(y+：+l)求解x+y的最小值;D选项,

不等式变形为(x+2)(y+l)=8,利用基本不等式求出和的最小值.

［详解］由x+2y+_yy_6=0得：x+2y=6-xy,

因为x,y>0,所以x+2y=6-Ay>0,所以0<xy<6,

由基本不等式可得：x+2)，22四

当且仅当x=2y时，等号成立，jttBj6-xy>2y]2xy,

解得：孙218或孙42,

因为孙<6,所以回218舍去，故孙的最大值为2,A错误；

由x+2y+孙-6=0得：孙=6-(x+2y),

因为x,y>0,所以6—(x+2))>0,所以0<x+2yv6,

由基本不等式可得：2冲4包誓，当且仅当》=2)时等号成立，

即6-(x+2y)4(x+2»,解得：x+2y24或x+2y4—12,

因为0<x+2y<6,所以x+2y4-12舍去，

故x+2y的最小值为4,B正确；

由了+2〉+盯-6=0变形为》+)，+丫(1+力=6,则y(l+x)=6-(x+y),

由基本不等式得：.]+小("：+1)2，当且仅当y=l+X时等号成立，

此时6_(x+y)4(y+*+l)2,令x+y=f«>。)，则由

44

解得：d4夜-3或Y-4立-3(舍去)

所以x+y的最小值为4&-3，c正确；

由x+2y+Ay-6=0可得：(x+2)(y+l)=8,

从而(x+2)2+(y+l)b2(x+2)G+l)=2x8=16

当且仅当x+2=y+l时，即“2&-2，y=2&-1等号成立，

故(尤+2『+(>+1)2最小值为16.

故选：BCD,

三、填空题

4

6.(2022•全国•高一专题练习)若正数x、V满足x+4y-抄=0,则——的最大值为

y

【答案】］4

X

【分析】根据x+=。，可得"有,将其代入所求式子中，转化为基本不等式的形式，即可求最

值.

【详解】正数2满足x+吁孙町.••尸言〉。，解得X"

.4_4_4_4<_______4________4

'+)x+Xx+l+4x-4+—+52l(x-4)--^+5。

x-4x-4x-4⑴x-4

444

当且仅当人一4=—时，即x=6等号成立，，——的最大值为二.

x-4x+y9

4

故答案为：—

考点二：根据基本不等式比较大小

一、单选题

1.（2022.陕西安康.高一期中）若。>0,^>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是（）

A.abN>/2B.yfci+\［bW>/2

21

C.—H—>3D.a2+b2>2

ab

【答案】D

2/+\a~+b2

【分析】根据不等式串lr&v助可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等

—I—

ab

式可得C错误.

【详解】对于选项A：=HV（早J=l,当且仅当4=6时取等号，...A错误；

对于选项B：近乎4佬5=1,6+振42,，B错误；

21I,,/2n2ha］、3+20

对于选项C:ab2、（〃刈2（ah）2,

因为土吆也<3・・・C错误;

2

对于选项D：当且仅当。=b时取等号,

•*-a2+b2>2»D正确;

故选：D

二、多选题

2.（2022.广东.梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设”>0/>。，则下列不等式中一定成立的是（）

A,a+b+^=>2y/2B.f—

NabI2厂2

C.-^^->y/abD.（a+/?）f—+-^-l>4

a+b\ab）

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式，分别判断ACD,再利用做差比较法，判断B.

【详解】因为。>。，％>。，所以4+〃+，r2N2&,当且仅当。=匕且=■即a=b=

yjabsiahqab2

时取等号，故A一定成立

由做差比较法,/+从_（""）2=（"一"）->0，可知（巴士144士£成立故B一定成立.

244-I2J2

因为”+人22\/^>0.所以r—=4ai>,当且仅当a=b时取等号，所以不一定成立，故

C不成立.

因为（。+6）［'+:］=2+2+，*4,当且仅当时取等号，故D一定成立.

\ab）ab

故选：ABD

3.（2022.湖南•娄底市第四中学高一阶段练习）已知a>0,b>0,给出下列四个不等式，其中正确的不等

式有（）

1_2abf-r

C.at---->1tD.---->>/cib

〃+la+b

【答案】BC

【分析】利用基本不等式对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：对A：因为。>0,人>0,且学之士（弯J,

所以哈故选项A错误;

对B：因为a>0,b>0,所以（a+加（,+工］=2+2+@22+2、必、3=4,当且仅当时等号成立,

\ab）ab\ab

故选项B正确;

对C：因为aH—=(a+1)H—1N2、(a+1)x—!—-1=1,当且仅当。+1=，即a=0时等号成立，但。>0,

a+\a+1Va+ia+\

所以aH---->1,故选项C止确；

a+\

对D：因为a>0,b>0,所以a+所以(。+/?)7^=2",

所以驾4”石，当且仅当a=。时等号成立，故选项D错误.

a+h

故选：BC.

三、填空题

4.(2022•河北沧州•高一开学考试)设a>0,h>0,给出下列不等式：

①。2+1>”；②(“H—1]/，+石)24；③(a+8)(—④/+9>64.

其中恒成立的是(填序号).

【答案】①②③

【分析】利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论.

【详解】由于出+1—J+:>o,故①恒成立;

由于m++2MJ+2唇=4,

,1

ab=—

ab

当且仅当《即a—b—1时等号成立,故②恒成立;

ba

la=b

由于(*)(*5=2+，四2+2唇=4.当且仅当尸，

那么a=b=\时等号成立，故③恒成立;

当”=3时，a2+9—6a,故④不恒成立.

综上，恒成立的是①②③.

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属

于较易题.

5.(2022.湖南•高一课时练习)已知a>b>c,则J(a-A)(b-c)与肾的大小关系是

【答案］J(a-6)(b-c)W@

2

【分析】将『化为然后运用基本不等式比较大小.

22

【详解】•:a>b>c,a-b>0,b-c>0,

...=（"心）；（七）2gbMb-c）,当且仅当a—6=6—c，即2b=a+c时取等号，

故答案为：d（a-b）（b-c）W42c.

【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将二上化为（"_1+（'_，）是关键.

四、解答题

6.（2022・全国•高一课时练习）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为“，另一半

时间的速度为乙车一半路程的速度为“，另一半路程的速度为从若〃b,试判断哪辆车先到达5地.

【答案】甲先到达B地.

【分析】设A,B两地间的路程为s,甲、乙两辆车所用的时间分别为：山，则4=乌，L=白+白.

然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论.

【详解】设A,8两地间的路程为s,甲、乙两辆车所用的时间分别为6百，则4=々，，，=三+三.

674-/?2a2b

方法-因为4_弓=且_（£+2]=''[4"匕-9+"）[__s（a_"〔<0，即乙<%所以甲先到达8地.

12a+b12a2b）2ab（a+b）2ab（a+b）

方法二：=因为标b，所以（a+»2>4H,从而><1,即小明所以甲先到达B地.

【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.

考点三：根据基本不等式证明不等关系

一、单选题

1.（2022•黑龙江•佳木斯一中高一期末）已知a>0,h>0,al+b2-ab=4,下列不等式正确的个数有（）

©—+7^1,②出?44,③@a2+b2<S.

ab

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由于储+从="。+422/7,得时44,根据基本不等式对选项一一判断即可.

22

【详解】因为。>0,b>09a+b-ab=4.

所以a?+62=出?+422〃?，得而W4,当且仅当。=8时取等号，②对：

由泊22G22&1,当且仅当。=6时取等号，①对；

由〃2+〃2一〃人=4得（4+8）~=3ab+4w[e+〃）~+4,所以a+Z?W4,当且仅当a=b时取等号，③对;

由a?+〃=必+4<4+4=8,当且仅当。=6时取等号，④对

故选：D

二、多选题

2.（2022•湖南衡阳•高一期末）已知。、b、ceR,若方>0,则（）

A.dd>*|B.-y=<--^-C.ac>bcD.a+.v+"）

【答案】BD

【分析】A、C特殊值法，令c=0即可排除：B由不等式性质判断：D应用基本不等式判断即可.

【详解】A：当c=0时，a|d=Md，错误;

11

B：由。>匕>0,则右〉扬〉0,故。<正确;

C：当c=0时，ac=be,错误;

D：由2(/+〃)之/+/?2+2劭=3+»2,又。>匕>0,贝)a+/?vJ2(/+/),正确;

故选：BD

三、填空题

3.（2022・全国•高一专题练习）已知Q+/?+C=2,则。匕+Z?C+CQ与2的比较.

【答案】ab+bc+ca<2

4

【分析】由基本不等式得到/+从+°22时+秋+必，进而求得H+A+caKg,即可得到答案.

【详解】因为a+b+c=2,

可得(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4,

2

且/+/+<?>ab+bc+ca,当且仅当。=b=c=§时.，等号成立,

4

所以3(。/?+Z?c+cd)<4,可得ab+bc+caWg

所以ab+bc+ca<2.

故答案为：ab+bc-st-ca<2

四、解答题

4

4.(2022•江苏•图一0已知。>3,求证：-+a>l.

a-3

【分析】由题知\4+a=4」\+m-3）+3,进而根据基本不等式求解即可.

a-3a-3

【详解】解：因为。>3,所以。-3>0,

所以-^+。=，^+(。-3)+322它亍(。-3)+3=2/+3=7,

4

当且仅当」7=。-3即。=5,等号成立，

。一3

4

所以--+a>7,证毕.

。-3

5.(2022・湖南•高一课时练习)证明不等式：

⑴若。，b,c,d都是正数，求证：(ab+cd)(ac+bd)24abed；

(2)若。，b,c是非负实数，贝仅2+/)+6((?+/)+《〃+62)26abc；

(3)若“，b是非负实数，则。+〃+222(&+扬)；

(4)若“，beR,则立产9J.

【分析】(1)利用均值不等式及不等式的性质可证得结论；

(2)利用均值不等式及不等式的性质可证得结论；

(3)利用均值不等式及不等式的性质可证得结论；

(4)利用作差法可证得结论；

(1)由“，b,c,d都是正数，利用基本不等式可知，

ab+cd>2>Jabcd,当且仅当昉=4时，等号成立；

ac+bd>2\[acbd)当且仅当ac=6”时，等号成立；

所以(ab+cd)(ac+bd)>abed-2>Jacbd>4abcd

^(ab+cd)(ac+bd)>4abcd,当且仅当a=d/=c时，等号成立.

(2)由。，b,c,d都是正数，利用基本不等式可知，

b2+c2>2bc，当且仅当b=c时，等号成立；

c2+a2>2ac,当且仅当”=c时，等号成立；

a2+b2>2ab,当且仅当a=b时，等号成立；

所以a(/?2+,2)+〃(,2+6,Na.2bc+b-2ca+c-2ab=6abc

当且仅当a=8=c时，等号成立.

(3)a+/?+2=(a+1)+(/>+1)>2\[a+2>Jb=2(A/«+\/b)

当且仅当a=b=l时，等号成立.

小/+〃(a+b>\2a24-2b2a1+b?+2aba2+b2-lab^a-b)~

(4)------------=-----------------------=-----------=------->。

2V2J4444

当且仅当a=匕时，等号成立.

6.(2022・湖南•高一课时练习)下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例.

(1)若ab>0,则a+b22\[ab;

(2)若ab>0»贝！JN2；

(3)若灿<0,则2+f«-2.

【答案】(1)不成立，理由见解析；(2)成立，理由见解析；(3)成立，理由见解析；

【分析】取特殊值判断(1),由均值不等式判断(2)(3).

(1)取〃=-1，匕=-2满足而>0,此时a+b>14ab不成立；

(2)访>0,

a,、b门

二.一>0,—>0,

ba

由均值不等式可知的+聆2聆=2,当a=b时等号成立.

⑶ab<0,

7.(2022.湖南•高一课时练习)证明下列不等式，并讨论等号成立的条件:

(1)若a>0,贝！]“+°322.2；

(2)若"=4,贝IJ/+Z/N8;

⑶若一IVxVl,则、俣(1")42；

72

(4)若ab^O,则2+£22

ab

(5)对任意实数。和匕，cr+6~+?23.

/?+从+1

【答案】(1)证明见解析，当且仅当4=1时等号成立;

(2)证明见解析，当且仅当。=/?=±2时，等号成立.

(3)证明见解析，当且仅当》=土也时，等号成立.

2

(4)证明见解析，当且仅当片时，等号成立.

(5)证明见解析，当且仅当片+/=1时等号成立.

【分析】(1)直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果.

(2)利用基本不等式的应用求出结果.

(3)利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果.

(4)利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果.

(5)利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果.

⑴证明：由于0*-2/+a=(/-/)_(。2-q)=a(a_])2,当。>。时，(a-1)2>0,所以即

a3-2a2+a>0,所以“+/±2〃，当且仅当“=1时，等号成立.

(2)证明：因为,力=4,所以a?+从22,出=8,当且仅当a=6=±2时，等号成立.

(3)证明：因为一14x41,所以Owfn,]_/20,所以向匚匚5与正用也=，当且仅当必=1-/，

即x=±也时，等号成立.

2

(4)证明：因为时W0,当而>0时，R+*=2+g.2陌=2,当且仅当a=bHO时，等号成立.

\ab\abNab

当"<0时，I-+T|=(--)+(-7).-2.l(--)(-)=2.当且仅当a=时,等号成立.

\ab\ab\ab

综上可得而WO,则g+当且仅当/=廿*0时，等号成立.

\ab

(5)证明：对任意实数。和b,/+从+121所以

a2+h2+z*=a2+h2+l+，：，-1..2除+吗1)x(一：，)-1=4-1=3.当且仅当/+〃=]时等号成

a2+Z?-+1a-+h~+1Va2+Z?­+1

立.

8.(2022・全国•高一课时练习)(1)已知。、力、CER,求证：曲豆+后升+庐得之母(a+b+c)；

(2)若Ovxvl,67>0,b>0,求证：—+——>(a+b\.

x\-xv7

【解析】(1)由月尹2岁可得7?寿2贤=*(a+b),三次利用上述结论相加即可得证.

(2)将不等式左边利用乘“1”法，再利用基本不等式即可得证.

【详解】证明⑴^±<

2

..・，/+从之鬻=5(a+劝(当且仅当。=6时，等号成立);

同理，y/b2+c2>y-(*+c)(当且仅当匕=c时，等号成立)；心十寸考(“+C)(当且仅当。=C时，等

号成立)

三式相加得以+/+扬+。2+&+。2士曰,+3+日伊+C)+孝(a+C)=&(〃+b+C)(当且仅当

a=b=c时，等号成立).

(2)0<x<1,i-x>0,

(a2b2

左边=(x+l-x)一+---

、x\-x\~XX

>a2+b2+2小/—〃=cr+/?2+2。/?=(〃+〃『=右边.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，分析法证明不等式，属于中档题.

9.(2022・全国•高一单元测试)设a,b,c均为正数，且a+b+c=l,证明:

(I)ab+bc+ac<；；

zTTxa~b~c.

(11)—+—+——>1.

bca

【详解】(I)由4+从之2必，c2+b2>2bc,之2"得:

a2+/+c2>ab+bc+ca，

即/+/+/+2ab+2bc+2ca=\，

所以3("+bc+ca),即ab+bc-\-ca<^.

2i2,2

(II)因为幺+方22〃，\-c>2b—+a>2c»

b

2.22

所以幺+乙+1+(。+6+。)22(a+Z?+c),

bca

日na2b1c2.

bca

21

abc，2

bca

本题第(I)(II)两问，都可以由均值不等式，相加即得到.在应用均值不等式时，注意等号成立的条件:“一

正二定三相等”.

【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

考点四：基本不等式求积的最大值

一、多选题

1.（2022.福建・福州三中高一期末）已知a>0,b>0,且。+»=1,则下列说法正确的是（）

A.Y+从的最小值为!B.必的最大值为:

C.一二的最大值为；D.,+：的最小值为4>回

a-vb3ab

【答案】AB

【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.

【详解】解：对于A：由。>0,b>0,a+2b=1,则a=l—2匕,

~（l-2b>0&,1

所以八0,解得0<b<],

所以加2+人2=5人2一48+1=5[一]）+1,

21

所以当6=（时，/+从有最小值g,故A正确.

对于B：由。>0,/?>0,l=a+2bN242ab,BPtz/?<1,当且仅当。=3,即。=：,时等号成立，

o24

所以他的最大值是:，故B正确；

O

对于C：由〃>0,6>0,a+2b=\,则a=l—2b,所以〈，解得0<方<7，

[b>02

所以」v=,」「=工，因为0<6<《，所以

a+b]-2b+bb-\22

i_i1

所以一2<乙<-1,所以1<一<2,即1<--<2,故C错误；

b-\b-\a+h

“丁门11a+2ba+2h2ba12ba/z

对于D：—+-=----+-----=1+—+2+—>3+2/-----=3a+2o。2,

ahabab\ah

当且仅当§即6=生箸，”=应_1时取等号，故D错误；

故选：AB

二、双空题

2.（2022.全国•高一专题练习）己知“，beR+,如果而=1,那么。+匕的最小值为;如果。+6=1,

那么ab的最大值为.

【答案】21

4

【分析】根据均值不等式求解即可.

【详解】因为〃，6eR+，所以等之功，

所以〃+b22\[ab=2，

故当必=1时，。+力取最小值2,此时〃=匕=1；

又当。+。=1时，疯w*w=L所以

224

故当。+力=1时，油的最大值为一，此时a=〃=l.

4

故答案为：2；—

4

三、填空题

则片+方2方+4的最大值为.

3.（2022・全国•高一专题练习）己知实数且而>0,

【答案】7

O

,,ab_1

【分析】化简得到，工，小，土,：工”,进而得到漏=一;TIT1-，结合基本不等式，

a'+b'+a'b'+42ab+a'b'+42+ab+—~

ab

即可求解.

【详解】由心心2">。，所以齐力"

一1

又由2ab+a2b2+4c,4-6,

2+"+,2+2

ab

当且仅当叫b时,等号成立’所以户诉年.

故答案为：—.

6

4.（2022・全国•高一专题练习）已知x,yeR）,若x+y+孙=8,则孙的最大值为

【答案】4

【分析】利用基本不等式x+y22而，代入方程中，即可求解.

【详解】,正数x,y满足x+y+^=8,

:.8-xy=x+y>2y[xy,B|Jxy+2y/j^-8<0,

解得0<7^«2,

故孙44,当且仅当x=y=2时取等号.

，孙的最大值为4,

故答案为：4

5.（2022•安徽池州♦高一期末）已知则函数/（x）=x30p3）的最大值为.

【答案】7

4

【分析】由基本不等式即可求出答案.

【详解】解：由基本不等式可得==；,

当且仅当x'=l-d,即》=电时，等号成立，即最大值为]

V24

故答案为：—.

4

四、解答题

6.（2022四川成都•高一期末）已知x+2y=5.

⑴若以》£（0,包），求利二个的最大值；

⑵若无、y求〃+y2的取值范围.

【答案】⑴弓25;⑵自£[5号25.

84

【分析】（1）由己知条件，利用基本不等式求得〃2=盯〈925，即可确定最大值，注意取值条件.

o

（2）由x=5-2ye[-5,2]flye[-5,2]得到”写,2],并代入目标式，应用二次函数性质求范围.

25

（1）由X、yw（0,+oo）,则x+2y=5N27^，故〃?=孙〈方，

8

当且仅当x=2y=15时等号成立，即桃=孙的最大值为25

2o

⑵由x=5-2ye[-5,2],则ye弓,5],又ye[-5,2],

3

所以），€弓,2],

由〃=》2+丁=5y2-20y+25=5（y-2）2+5,

25

所以“e[5,二].

4

7.（2022•四川甘孜•高一期末）已知集合A={x|x（x-2）＜0}.

⑴求集合A

(2)若函数/(x)=W^(xeA),求/(x)的最大值.

【答案】(1)A={X|04X42}；(2)2

【分析】(1)解不等式x(x-2)40即可求得；

(2)利用均值不等式即可求得

(1)解不等式x(x-2)<0,得04x42,所以A={x|04x42}

(2)0<x<2,.\4-x>0,

由均值不等式得：小)="(4_》)"+尸=2(当且仅当x=2时取等)，故f(x)的最大值为2.

考点五：基本不等式求和的最小值

一、单选题

1.(2022•云南红河・高一期末)函数〃x)=d(x>0)的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得函数f(x)的最小值.

【详解】当x>0时，/(力=/+：+1=旧+122^^+1=3,

当且仅当x=l时，等号成立，故的最小值为3.

故选：B.

2.(2022•贵州遵义•高一期末)负实数x、y满足x+y=-2,则的最小值为()

y

A.0B.-1C.-41D.-y/3

【答案】A

【分析】由已知可得x=-2-y,再利用基本不等式可求得x-L的最小值.

y

［详解］因为负实数X、y满足x+y=_2,则x=_2_y<0,可得—2<y<0,

由基本不等式可得x-：=-2-y-1?2+2^(-y)?-y0,

当且仅当-y=-；(y<0)时，即当y=T时，等号成立.

故X-L的最小值为0.

y

故选：A.

3.（2022.贵州遵义.高一期末）负实数x,y满足x+y=-2,则的最小值为（）

A.0B.-1C.-V2D.

【答案】A

【分析】根据题意有x=-y-2,再代入x-L根据基本不等式求解最小值即可

y

【详解】根据题意有x=-y-2,故x-,=-y-；-2=（-y）+,-2?2j（y）?*2=0,当且仅当y=-l,

x=-l时取等号.

故选：A

二、填空题

］4

4.（2022・全国•高一专题练习）已知0<avl,则；一十一的最小值是_____.

\-aa

【答案】9

【分析】根据题意，得到丁1二4+?=（丁」1+42）［（1-。）+。］=5+二。+型4（一1一丝，结合基本不等式，即可求解.

\-aa\-aal-aa

1414a4（1一

【详解】因为Ovavl,则；一+-=（--+—）［（1一公+0=5+=+

\-aa\-aal-aa

、广-4（1-a）「A八

25+21-----x----------=5+4=9,

Nl-aa

当且仅当二="二%寸，即时，等号成立，

l-aa3

14

所以;+2的最小值是9.

l-aa

故答案为：9.

5.（2022•全国•高一专题练习）函数y=『+x—5（x>2）的最小值为.

x-2

【答案】7

【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.

【详解】令L2=/,r>0；则

%24-x—5（/+2厂+1+2—5/+51+11

------------=---------------------=------------=/+-+5>7

x-2ttt

（当且仅当，=1,即x=3时，等号成立），

故函数〃同二丁+%,无«2,+8）的最小值为7

故答案为：7

6.（2022・四川资