新教材高中数学第八章立体几何初步8-4-2空间点直线平面之间的位置关系同步课件新人教A版必修第二册

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系必备知识·自主学习1.异面直线(1)定义:不同在任何_________内,没有公共点.(2)异面直线的画法.一个平面2.空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内,有且只有_____公共点平行同一平面内,_____公共点异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点一个没有【思考】空间两条直线按照是否共面如何分类?提示:共面:相交或平行;不共面:异面.3.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=Aa∥α图形表示

【思考】可以根据公共点的个数判断直线与平面的位置关系吗?提示:可以,0个公共点时,直线与平面平行;1个公共点时,直线与平面相交;多个公共点时,直线在平面内.4.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β=l图形表示

4.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β=l图形表示

【思考】判断平面与平面相交时的理论依据是什么?提示:判断平面与平面相交时的理论依据是基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若空间两条直线没有公共点,则两条直线平行.(

)(2)若直线在平面外,则直线与平面平行. (

)(3)若直线在平面外,则该直线与平面内的直线是异面直线. (

)提示:(1)×.两直线可能是异面直线.(2)×.直线可能与平面相交.(3)×.当直线与平面相交时,直线与平面内的直线也可能是相交直线.2.异面直线是指 (

)A.不相交的两条直线B.不同在任何一个平面内的两条直线C.分别位于两个平面内的直线D.一个平面内的直线和不在这个平面内的直线【解析】选B.根据题意,依次分析选项:对于A,不相交的两条直线可以是平行直线,不一定是异面直线,不符合题意;对于B,异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线,符合题意;对于C,分别位于两个平面内的直线可以是相交直线或平行直线,不符合题意;对于D,一个平面内的直线和不在这个平面内的直线可以是相交直线或平行直线,不符合题意.3.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是 (

)

A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能【解析】选D.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,A1D1∥平面AC,有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M,N,连接MN,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,有A1B1与MN异面.关键能力·合作学习类型一利用符号语言表示位置关系(直观想象)【题组训练】1.如图所示,用符号语言可表述为 (

)关键能力·合作学习类型一利用符号语言表示位置关系(直观想象)【题组训练】1.如图所示,用符号语言可表述为 (

)A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=AB.α∩β=m,n∈α,m∩n=AC.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂nD.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n【解析】选A.平面α与平面β相交于m,所以α∩β=m;直线n在平面α内,所以n⊂α;直线m与直线n相交于A,所以m∩n=A.2.用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.【解析】图①中,a⊂α,b∩α=A.图②中,α∩β=c,a⊂α,a∥c,b⊂β,b∩c=P.【解题策略】关于用符号表示点、线、面之间的关系首先符号书写要规范、准确,其次可以按照平面与平面、直线与平面、直线与直线、点与线面的顺序依次表示,避免遗漏.【补偿训练】用符号语言表示如图所示的点、直线、平面的关系为

.【解析】用符号语言表示为:α∩β=a,P∉α,且P∉β.答案:α∩β=a,P∉α,且P∉β

类型二空间点、直线、平面位置关系的判断(直观想象)【题组训练】1.若a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位置关系是 (

)

A.平行 B.相交C.异面 D.异面或相交2.(2020·通化高一检测)下列命题正确的是 (

)A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行C.平面外的两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行D.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面3.(2020·台州高一检测)异面直线a,b和平面α,β满足a⊂α,b⊂β,α∩β=l,则l与a,b的位置关系一定是 (

)A.l与a,b都相交B.l与a,b中至少一条平行C.l与a,b中至多一条相交D.l与a,b中至少一条相交【解析】1.选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1,AB与BC相交,A1B1与BC是异面直线,AB∥A1B1,AB与AA1相交,A1B1与AA1是相交直线,所以a,b,c是空间三条直线,a∥b,a与c相交,则b与c的位置关系是异面或相交.2.选C.对于选项A:一条直线与一个平面平行,它和这个平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面,故错误.对于选项B:平行于同一个平面的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,故错误.对于选项C:平面外的两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行,正确.对于选项D:与两个相交平面的交线平行的直线,可能平行于这两个平面,也可能在平面内,故错误.3.选D.若a,b与l都不相交,即a∥l,b∥l,则必有a∥b与a,b是异面直线矛盾,即l与a,b中至少一条相交.【解题策略】关于点、直线、平面位置关系的判断(1)根据位置关系的分类,利用空间想象判断;(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;(3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断.类型三异面直线的判断与证明(直观想象、逻辑推理)角度1确定异面直线

【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1的各条棱中,棱所在直线与直线AA1异面的有

条.

【思路导引】借助正方体图形直观判断.【解析】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线BC,B1C1,CD和C1D1与直线AA1是异面直线,共有4条.答案:4【变式探究】本例中,与体对角线AC1异面的棱所在的直线有

.

【解析】与体对角线AC1异面的棱所在的直线有BB1,BC,CD,DD1,A1B1,A1D1.答案:BB1,BC,CD,DD1,A1B1,A1D1角度2异面直线的证明

【典例】A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点,求证:直线EF与BD是异面直线.【思路导引】利用反证法证明.【证明】用反证法.设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.【解题策略】关于异面直线的证明

(1)直接证明:如图,若a⊂α,b∩α=P,P∉a,则直线a与直线b是异面直线.(2)反证法证明:先假设两条直线不是异面直线,两条直线共面,即平行或相交,再推出矛盾否定假设.【题组训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与DB交于点O,则B1O与AA1是

直线.

【解析】B1O与AA1是异面直线,理由如下:假设B1O与AA1共面,所以O∈平面A1B,与已知O∉平面A1B矛盾,所以B1O与AA1是异面直线.答案:异面2.如图,已知平面α∩平面β=直线a,直线b⊂α,直线c⊂β,b∩a=A,c∥a.求证:b与c是异面直线.【证明】假设b,c不是异面直线,即b与c共面,设b与c确定的平面为γ,则γ∩α=b,γ∩β=c.因为a∥c,a⊄γ,所以a∥γ.又因为a⊂α,且α∩γ=b,所以a∥b,这与a∩b=A矛盾.因此b与c不可能共面,故b与c是异面直线.空间点、直线、平面之间的位置关系核心知识方法总结易错提醒核心素养直线、平面位置关系的判断：1.利用长方体模型2.利用现实生活中的实际物体数学抽象：三种语言之间的相互转化相交共面直线与直线直线与平面平面与平面平行平行相交异面直线在平面外直线在平面内平行相交直线、平面位置关系的画法中平行与垂直的表示形式直观想象：直线、平面位置关系的判断问题课堂检测·素养达标1.正方体的六个面中相互平行的平面有 (

)

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对【解析】选B.前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行.2.(教材二次开发:练习改编)如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是

.

【解析】①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④正确.答案:②④3.已知两条直线a,b,a∥平面α,b⊂α,则a与b的位置关系是

.

【解析】a∥α,则a与α无交点,b⊂α,则a与b无交点,所以a,b平行或异面.答案:平行或异面4.如图,点P在平面ABC外,点F在BC的延长线上,点E在线段PA上,则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有

对异面直线.

【解析】异面直线有5对,分别是AB与EF,BC与AP,AC与BP,AC与EF,EF与BP.答案:5Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.如图,点P在平面ABC外,点F在BC的延长线上,点E在线段PA上,则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有

对异面直线.

2.(教材二次开发:练习改编)如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是

.

【解析】①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④正确.答案: