新教材高中数学第八章立体几何初步8-3-2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积素养课件新人教A版必修第二册

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【情境探究】1.观察下面几个几何体的侧面展开图:必备知识生成(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形?提示:它们的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与其侧面展开图的面积有何关系?提示:它们的侧面积分别等于侧面展开图的平面图形面积.2.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是什么?根据这些你猜想半球的体积是什么?提示:圆锥的体积V=πR3,圆柱的体积V=πR3,猜想半球的体积V=πR3.3.如图,以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面和高近似地看成什么?它们的体积之和近似地等于多少?提示:小棱锥的底面可近似地看成小平面四边形面,高近似地等于半径,体积之和近似地等于球的体积.【知识生成】1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱

S圆柱=2πr(r+l),r为_________,l为_______圆锥

S圆锥=πr(r+l),r为_________,l为_______底面半径母线长底面半径母线长【知识生成】1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱

S圆柱=2πr(r+l),r为_________,l为_______圆锥

S圆锥=πr(r+l),r为_________,l为_______底面半径母线长底面半径母线长几何体侧面展开图表面积公式圆台

S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl),r′为___________,r为___________,l为_______上底面半径下底面半径母线长2.柱体、锥体、台体的体积公式其中S′,S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径.名称体积(V)柱体棱柱___圆柱πr2h锥体棱锥____圆锥πr2h台体棱台__________圆台_____________Sh3.球的表面积与体积公式(1)球的体积公式:V=_____(R为球的半径).(2)球的表面积公式:S=_____(R为球的半径).πR34πR2关键能力探究探究点一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【典例1】(1)过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是 (

)A.1∶1

B.1∶6

C.1∶7

D.1∶8(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.①求圆台的母线长.②求圆台的表面积.【思维导引】利用轴截面中平行线分线段成比例求体积.关键能力探究探究点一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【典例1】(1)过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是 (

)A.1∶1

B.1∶6

C.1∶7

D.1∶8(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.①求圆台的母线长.②求圆台的表面积.【思维导引】利用轴截面中平行线分线段成比例求体积.【解析】(1)选C.如图,设圆锥底面半径OB=R,高PO=h,因为O′为PO中点,所以PO′=,因为==,所以O′A=,所以V圆锥PO′=π·

·=πR2h.V圆台O′O=·

·=πR2h.所以=.(2)①设圆台的母线长为l,则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62,所以8πl=40π,所以l=5,所以该圆台的母线长为5.②由(1)可得圆台的表面积为S=π×(2+6)×5+π·22+π×62=40π+4π+36π=80π.【类题通法】旋转体的表面积与体积求法1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【定向训练】圆台的母线长为8cm,母线与底面成60°角,轴截面的两条对角线互相垂直,求圆台的表面积.【解析】如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1,其中∠A1AB=60°,过A1作A1H⊥AB于H,则O1O=A1H=A1A·sin60°=4(cm),AH=A1A·cos60°=4(cm).设O1A1=r1,OA=r2,则r2-r1=AH=4.①设A1B与AB1的交点为M,则A1M=B1M.又因为A1B⊥AB1,所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°.所以O1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2.所以O1O=O1M+OM=r1+r2=4,②由①②可得r1=2(-1),r2=2(+1).所以S表=π+π+π(r1+r2)l=32(1+)π(cm2).【补偿训练】

1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”若圆周率约为3,估算出堆放的米约有______立方尺.(

)

A. B. C. D.

【解析】选B.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺,则×2πr=8,解得:r=,所以米堆的体积为V=××πr2×5=≈(立方尺),所以堆放的米约有立方尺.2.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后,所形成的几何体的体积是多少?【解析】由题意,所形成的几何体为两个圆锥的组合体,如图所示,两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD,且BD==,两个圆锥的高分别为AD和DC,所以V=V1+V2=πBD2·AD+πBD2·CD=πBD2·(AD+CD)=πBD2·AC=π××5=π.故所形成的几何体的体积是π.探究点二球的表面积和体积【典例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(

)A.64π B.48π C.36π D.32π(2)17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解,他们将体积公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”,创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”,其中,D为直径,类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3,其中,在等边圆柱中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长.假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1,k2,k3,那么,k1∶k2∶k3=(

)A.∶∶1 B.∶∶2C.1∶3∶ D.1∶∶【思维导引】由已知可得等边△ABC的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球截面性质,求出球的半径,即可得出结论.(2)根据球、等边圆柱、正方体的体积公式分别求出k1,k2,k3的值,即得结论.【解析】(1)选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin60°=2,所以OO1=AB=2,根据球截面性质得OO1⊥平面ABC,所以OO1⊥O1A,R=OA=所以球O的表面积S=4πR2=64π.(2)选D.球中,V=πR3=π=D3=k1D3,所以k1=;等边圆柱中,V=π·D=D3=k2D3,所以k2=;正方体中,V=D3=k3D3,所以k3=1;所以k1∶k2∶k3=∶∶1=1∶∶.【类题通法】求球的体积与表面积的策略(1)计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)球的截面特点①当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;③若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=.【定向训练】1.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为 (

)A. B. C. D.【解析】选C.因为πr2h=πR3,所以R=.2.已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π,则这两个截面间的距离为________.

【解析】若两个平行截面在球心同侧,如图①,则两个截面间的距离为

=1;若两个平行截面在球心异侧,如图②,则两个截面间的距离为+=7.

答案:1或7探究点三常见几何体与球的切、接问题【典例3】(1)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.

(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是__________.

【思维导引】(1)正方体的体对角线的长即为外接球的直径.(2)根据球的直径等于圆柱的高和圆柱的底面直径求解.

【解析】(1)设正方体棱长为a,则6a2=18⇒a2=3,外接球直径为2R=a=3,V=πR3=π×=π.答案:

(2)设球半径为r,则=.答案:【类题通法】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.(2)具体作法①内切球问题:找过切点和球心的截面.②外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何体或过球心作截面.【定向训练】1.一球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为______.

【解析】由题意可知球是正方体的内切球,因此球的半径为1,其体积为π.答案:π2.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

【解析】方法一:作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC′=a,OC=.在Rt△C′CO中,由勾股定理得CC′2+OC2=OC′2,即a2+=R2,所以R=a.从而V半球=×R3=×=a3.又V正方体=a3,因此V半球∶V正方体=a3∶a3=π∶2.方法二:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=a.从而V半球=×R3=×=a3.又V正方体=a3,因此V半球∶V正方体=a3∶a3=π∶2.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积核心知识方法总结易错提醒核心素养求圆锥的表面积应注意侧面展开图，底面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.1.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积。(1)公式法(2)等积法(3)补体法(4)分割法求几何体体积的常用方法课堂素养达标1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(

)

A. B. C. D.【解析】选A.设底面圆半径为r,母线长为h,所以h=2πr,则====.2.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为 (

)A.15π B.30 C.12π D.36π【解析】选C.圆锥的高h==4,故V=π×32×4=12π.3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 (

)A.4π B.3π C.2π D.π【解析】选C.所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.4.已知两个球的半径之比为1∶2,则这两个球的表面积之比为 (

)A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8【解析】选B.====.5.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为________.

【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图所示,设圆锥底面半径为r,高为h,则所以所以它的体积为×π×12×=π.答案:πThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远