新教材高中数学第八章立体几何初步8-1-1棱柱棱锥棱台的结构特征同步课件新人教A版必修第二册

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征必备知识·自主学习1.空间几何体(1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.(2)分类:(3)本质:空间中各种各样的物体抽象出来的空间图形,用数学语言加以描述、定义.多面体旋转体定义一般地,由若干个___________围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体概念面、棱、顶点轴、旋转面平面多边形定直线2.棱柱、棱锥、棱台定义相关概念棱柱一般地,有两个面互相_____,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都_________,由这些面所围成的多面体四棱柱ABCD-A′B′C′D′:

棱锥一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个_________的三角形,由这些面围成的多面体四棱锥S-ABCD:

棱台用一个_______棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体四棱台ABCD-A′B′C′D′:

平行互相平行公共顶点平行于3.特殊的棱柱、棱锥直棱柱侧棱_______底面的棱柱斜棱柱侧棱_________底面的棱柱正棱柱底面是_________的直棱柱平行六面体底面是___________的四棱柱四面体___棱锥正棱锥底面是正多边形,并且____________________________底面的棱锥垂直于不垂直于正多边形平行四边形三顶点与底面中心的连线垂直于【思考】棱柱、棱锥、棱台的分类依据是什么?提示:以底面多边形的边数为分类依据.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形,由这些面所围成的几何体一定是棱柱. (

)(2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体是棱台. (

)提示:(1)×.如图几何体就不是棱柱,故错误.

(2)×.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,故错误.提示:(1)×.如图几何体就不是棱柱,故错误.

(2)×.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,故错误.2.下列几何体中,多面体是 (

)【解析】选B.选项A中给的几何体是球,它是旋转体,故A错误;选项B中给的几何体是三棱柱,它是多面体,故B正确;选项C中给的几何体是圆柱,它是旋转体,故C错误;选项D中给的几何体是圆锥,它是旋转体,故D错误.3.(教材二次开发:练习改编)一个几何体有6个顶点,则这个几何体不可能是 (

)

A.三棱柱 B.三棱台 C.五棱锥 D.四面体【解析】选D.三棱柱,三棱台,五棱锥都是六个顶点,四面体是四个顶点.关键能力·合作学习类型一棱柱的结构特征(直观想象)【题组训练】1.下面的几何体中是棱柱的有 (

)A.3个 B.4个 C.5个 D.6个2.下列叙述中,错误的一项为 (

)A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中,至少有两个面相互平行2.下列叙述中,错误的一项为 (

)A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中,至少有两个面相互平行3.如图,将装有一半水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜5°,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是

.

【解析】1.选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面是四边形;(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合.2.选A.在A中,棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面,例如正六棱柱的相对侧面互相平行,故A错误;在B中,由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形,故B正确;在C中,由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形,故C正确;在D中,棱柱的定义是,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体是棱柱,由此得到D正确.3.由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.答案:四棱柱【解题策略】棱柱结构特征问题的解题策略

(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:①两个面互相平行;②其余各面是四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.【补偿训练】关于如图所示的4个几何体,说法正确的是 (

)

A.只有②是棱柱 B.只有②④是棱柱C.只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱【解析】选D.解决这类问题,要紧扣棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行.图①②④满足棱柱的定义,正确;图③不满足侧面都是平行四边形,不正确.类型二棱锥、棱台的结构特征(直观想象)【题组训练】1.下列关于棱台的说法,正确的个数为 (

)①所有的侧棱延长后交于一点;②只有两个面互相平行;③上下两个底面全等;④所有的侧面不存在两个面互相平行.

A.1 B.2 C.3 D.42.下列说法正确的是 (

)A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥D.底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心【解析】1.选C.由棱台的定义可知:①所有的侧棱延长后交于一点,正确;②只有两个面互相平行,就是上、下底面平行,正确;③上下两个底面全等,不正确;④所有的侧面不存在两个面互相平行,正确.2.选C.在A中,如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故A错误;在B中,把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故B错误;在C中,当棱锥的各个侧面的顶角之和是360°时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故C正确;对于D,底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,故D错误.【解题策略】判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即为底面两个互相平行的面,即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【补偿训练】下列关于棱锥、棱台的说法:①棱台的侧面一定不会是平行四边形;②棱锥的侧面只能是三角形;③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是

.

【解析】①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;③错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案:①②类型三多面体的分类及侧面展开(直观想象、逻辑推理)角度1几何体的分类

【典例】下列说法正确的是 (

)A.四棱柱是平行六面体B.底面是矩形的四棱柱是长方体C.直平行六面体是长方体D.六个面都是矩形的六面体是长方体【思路导引】根据几何体的定义判断.【解析】选D.在A中,当四棱柱的底面是梯形时,则不是平行六面体,故A不对;在B中,当四棱柱的侧棱与底面不垂直时,四棱柱不是长方体,故B不对;在C中,根据直平行六面体的定义和长方体的结构特征知,直平行六面体的底面有可能是菱形,此时不一定是长方体,故C不对;在D中,由长方体的定义得六个面都是矩形的六面体是长方体,故D对.

【变式探究】

(1)长方体是平行六面体吗?(2)正四棱柱是长方体吗?【解析】(1)长方体的底面是矩形,也是平行四边形,因此长方体是平行六面体.(2)正四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,因此是长方体.角度2多面体的展开

【典例】1.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形为灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①,②,③处可依次写上 (

)A.乐、新、快 B.快、新、乐C.新、乐、快 D.乐、快、新2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4cm,高为10cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面,绕行两周到达点A1的最短路线的长为 (

)

A.16cm B.12cmC.24cm D.26cm【思路导引】1.将展开图还原成四棱锥后判断.2.将侧面展开,利用两点之间线段最短求值.【解析】1.选B.根据四棱锥图形,正好看到“新年快乐”的字样,顺序可为②年①③.2.选D.将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,如图所示,

最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的长度,即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值.由已知,拼成的矩形的长等于6×4=24(cm),宽等于10cm,所以最短路线长为=26(cm).【解题策略】1.多面体的分类问题2.多面体的展开涉及多面体面上的问题,可以将多面体的面展开到一个平面上,将空间的问题转化为平面上的问题,借助平面几何知识解题.【题组训练】1.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是 (

)A.①③ B.②④ C.③④ D.①②2.如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是

cm.

【解析】1.选C.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.2.由题意,若以BC为轴将面BCC1B1展平,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是cm.若以BB1为轴展开,则A、M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.答案:棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；2.逻辑推理：从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3..直观想象：棱柱、棱锥、棱台的分类；方法总结核心知识易错提醒核心素养注意概念中的特殊字眼，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，弄清它们的内涵和外延。多面体棱柱棱锥棱台直棱柱斜棱柱正棱柱其他直棱柱正棱锥其他棱锥课堂检测·素养达标1.三棱锥的顶点个数是 (

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.如图,显然A,B,C,D为三棱锥的顶点,共四个.2.如图所示的几何体是 (

)A.五棱锥B.五棱台C.五棱柱D.五面体【解析】选C.几何体中,有两个面是全等且互相平行的五边形,另外五个面是平行四边形,且相邻两个侧面的交线互相平行,所以该几何体是五棱柱.3.(教材二次开发:练习改编)面数最少的棱台为

棱台;共有

个面.

【解析】由棱台的定义得:面数最少的棱台为三棱台,共有5个面.答案:三54.下列结论中,正确的是

.(将正确结论的序号全填上)

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②正四棱锥的底面为正方形;③一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.【解析】对于①,有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱,如斜放的一摞书,所以①错误;由正棱锥的定义知,正四棱锥的底面是正方形,所以②正确;对于③,如图所示,PA⊥AB,PA⊥AC,PB⊥BC,AB⊥BC,则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形,所以③正确.综上,正确的结论是②③.答案:②③Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而