专题7 等时圆模型(学生版)-2025版动力学中的九类常见模型精讲精练讲义

动力学中的九类常见模型精讲精练专题7等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆（或光滑斜面）由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。由2R·sinθ＝eq\f(1,2)·gsinθ·t2，可推得t1＝t2＝t3。“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L＝eq\f(1,2)at2，a＝gsinθ，L＝eq\f(h,sinθ)可得t＝eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))，可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。第二类：同底斜面(如图2所示)由L＝eq\f(1,2)at2，a＝gsinθ，L＝eq\f(d,cosθ)可得t＝eq\r(\f(4d,gsin2θ))，可见θ＝45°时时间最短，图2中t1＝t3＞t2。【典例精析】【典例】(2023年7月浙江宁波期末).滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB、AC、AD和BD，A、B、C、D在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，D为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g，则（）A.如果小朋友在A点沿滑梯AB、AC由静止滑下，B.如果小朋友分别从A点和B点沿滑梯AC，BD由静止滑下C.若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是D.若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是【模拟题精练】1.（2024江苏泰州3月调研）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度。若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（）A.A处滑块最先到达点 B.B处滑块最先到达点C.C处滑块最先到达点 D.三个滑块同时到达点2．（2024吉林重点高中质检）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套一个小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为。下列关系正确的是（） B． C． D．3.（2024江苏新高考基地学校第三次大联考）如图所示，为圆的竖直直径，、为两条粗糙轨道，其中过圆心。在A、C两点由静止释放小滑块，使其分别沿、和运动到圆上，小滑块与轨道间的动摩擦因数相同，则（）A.滑块沿的运动时间最短 B.滑块沿的运动时间最短C.滑块沿的运动时间最短 D.滑块沿三个路径运动时间相同4.（2024湖南省华南师范大学附中质检）如图所示，竖直的圆环置于水平向左的匀强电场中，三个完全相同的带正电的绝缘小球（未画出）分别套在固定于AB、AC、AD的三根光滑细杆上，其中AB与竖直方向夹角为60°，AC经过圆心，AD竖直。现将小球无初速度地从A端释放，小球分别沿AB、AC、AD下滑到B、C、D三点。已知小球所受电场力大小与重力大小之比为，则小球在三根细杆上运动的时间关系为（）A. B. C. D.无法确定5.（2024江苏新高考基地学校第三次大联考）如图所示，为圆的竖直直径，、为两条粗糙轨道，其中过圆心。在A、C两点由静止释放小滑块，使其分别沿、和运动到圆上，小滑块与轨道间的动摩擦因数相同，则（）A.滑块沿的运动时间最短 B.滑块沿的运动时间最短C.滑块沿的运动时间最短 D.滑块沿三个路径运动时间相同6．（2024吉林重点高中质检）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套一个小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为。下列关系正确的是（）A. B． C． D．7.(2004全国理综卷2)如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、、、t2、、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则A．t1<t2<t3B．t1、>、t2、>t3C．t3>t1、>t2、D．t1=、t2、=t38.（2024重庆一中开学考试）如图所示，ab、ac为竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b两点恰为外接圆的最高点和最低点，两个带孔小球甲、乙分别从a处由静止沿两细杆滑到下端b、c时，动能恰好相等，下列说法正确的是（）A.两小球的质量相等B.两小球下滑的时间不相等C.此过程中两小球所受重力的平均功率不相等D.两小球在细杆下端bc时重力瞬时功率相等9为使雨水尽快离开房屋的屋顶面，屋顶的倾角设计必须合理。某房屋示意图如图所示，设屋顶面光滑，倾角为θ，雨水由静止开始沿屋顶面向下流动，则理想的倾角θ为()A．30° B．45°C．60° D．75°10如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它