专题06勾股定理综合应用(一)(原卷版+解析)-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练(北师大版)

专题06勾股定理综合应用（一）题型一与倍长中线结合1．如图中，点为的中点，，，，则的面积是．2．如图，，，，，，取的中点，连结，则．题型二存在性问题3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为．4．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把三角形折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若三角形的面积为，那么折叠三角形的面积为．5．中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．题型三旋转问题6．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至△的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为．7．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的长为．8．如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得△，当点恰好落在线段上时，则．

9．如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．（1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．10．已知和都是等腰直角三角形，．（1）如图1，若为内部一点，请判断与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若为边上一点，，，求的长．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求的长．

11．已知中，．（1）如图1，在中，，点在线段上，，连接，请写出：①和之间的位置和数量关系为、；②、和之间的数量关系为．（2）如图2，在中，，连接、，若，于点，，，求线段的长；（3）如图3，点是等边外一点，，若，，则的长为，请简要写出解答过程．

12．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边，是外一点，连接、、，若，，，求的长．该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．解：如图3所示，以为边作等边，连接．、是等边三角形，，，．，，，．，，．，．【尝试应用】如图4，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长．

【拓展创新】如图5，在中，，，以为边向外作等腰，，，连接，求的最大值．13．在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．（1）求证：；（2）求线段、、之间的数量关系．（3）若，，求．

14．已知，在中，，，．（1）如图1，若，且点在的延长线上时，求证：；（2）如图2，若，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；（3）如图3，若，，，求的长．

15．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，、求度数的大小和等边三角形的边长．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接，可得△是等边三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而，进而求出等边的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数的大小和正方形的边长．

16．如图1，在中，，、是斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接．（1）试说明：；（2）当，时，求的度数和的长；（3）如图2，和都是等腰直角三角形，，是斜边所在直线上一点，，，求的长．专题06勾股定理综合应用（一）题型一与倍长中线结合1．如图中，点为的中点，，，，则的面积是6．【解答】解：延长至，使，连接，在和中，，，，，，，为△，，的面积等于的面积为：．故答案为：6．2．如图，，，，，，取的中点，连结，则．【解答】解：延长交于点，，，在与中，，，，，，，，故答案为：．题型二存在性问题3．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为1或7．【解答】解：作于，在中，，，，，①如图1，当点在上时，，．．．．②如图2，当点在上时，，．．，综上所述，的长为1或7．故答案为：1或7．4．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把三角形折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若三角形的面积为，那么折叠三角形的面积为16.9．【解答】解：三角形的面积为，，，在中，，，，又，在中，，，，．5．中，，，，过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8．【解答】解：在中，，，，，．沿过点的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当时，如图①所示，；②当，且在上时，如图②所示，作的高，则，，，；③当时，如图③所示，；④当时，点在线段的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理得点是的中点，是斜边上的中线，，此时也是等腰三角形，不符合题意，舍去．综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．故答案为3.6或4.32或4.8．题型三旋转问题6．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至△的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为．【解答】解：，是的中点，，△由旋转得到，，，，是等边三角形，，，，，，垂直平分，，，，，，故答案为：．7．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到△，若点在线段的延长线上，则的长为．【解答】解：如图，过点作，将绕点逆时针旋转，得到△，，，，在中，，在中，，，，，，，故答案为：．8．如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得△，当点恰好落在线段上时，则．【解答】解：如图，连接，、都是等腰直角三角形，，，，，，，将绕点逆时针方向旋转后得△，，，，，在和中，，过作于，在中，，在中，，，故答案为：．9．如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．（1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：，，，，，在和中，，，；（2）证明：如图3中，根据题意：，，，在和中，，，，，且，，，，，，，，，，，是线段的垂直平分线；解法二：通过计算证明，，可得结论．（3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图4中：，，，于，，，，，的面积的最大值为：，旋转角．10．已知和都是等腰直角三角形，．（1）如图1，若为内部一点，请判断与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若为边上一点，，，求的长．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求的长．【解答】解：（1）如图1中，结论：．理由如下：，都是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，；（2）如图2中，连接．，，，，，；（3）如图3中，在的上方作等腰直角，使得，．，，在和中，，，，，，，，，，，．11．已知中，．（1）如图1，在中，，点在线段上，，连接，请写出：①和之间的位置和数量关系为、；②、和之间的数量关系为．（2）如图2，在中，，连接、，若，于点，，，求线段的长；（3）如图3，点是等边外一点，，若，，则的长为，请简要写出解答过程．【解答】解：（1）①和之间的位置和数量关系为：，，理由如下：，，，，，即，又，，，，，，，故答案为：，；②由①得：，，，，又，，是等腰直角三角形，，，故答案为：；（2）连接，如图2所示：，，是等边三角形，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，；（3）以为边向上作等边，连接，过点作交延长线于，如图3所示：、都是等边三角形，，，，，即，，，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，，故答案为：．12．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边，是外一点，连接、、，若，，，求的长．该小组在研究如图2中中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．解：如图3所示，以为边作等边，连接．、是等边三角形，，，．，，，．，，．，．【尝试应用】如图4，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，求的长．【拓展创新】如图5，在中，，，以为边向外作等腰，，，连接，求的最大值．【解答】解：【问题背景】如图3所示，以为边作等边，连接．、是等边三角形，，，．，，，．，，．，；故答案为：，，4；【尝试应用】以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，，，，，，，；【拓展创新】以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，，当、、三点共线时，最大，此时最大，，，，，的最大值为．13．在中，，，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，过作交于，连接．（1）求证：；（2）求线段、、之间的数量关系．（3）若，，求．【解答】（1）证明：将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，，，，在和中，，，；（2）解：；理由：如图，连接，，是等腰直角三角形，是的垂直平分线，，又，，，，在中，，；（3）解：，是等腰直角三角形，，，，，，设，则，，在中，，解得，．14．已知，在中，，，．（1）如图1，若，且点在的延长线上时，求证：；（2）如图2，若，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；（3）如图3，若，，，求的长．【解答】（1）证明：，，为等边三角形，，，，，，，，，，；（2）解：．理由：如图1中，将绕点顺时针旋转得到，连接．，，是等边三角形，，，，，，，，，，．（3）解：如图2，过作，使，连接、，由勾股定理得：，，，，，，，，即，，，，，在中，，．15．请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形内有一点，且，，、求度数的大小和等边三角形的边长．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接，可得△是等边三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而，进而求出等边的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数的大小和正方形的边长．【解答】解：（1）如图，将绕点逆时针旋转，得△，则△．，；连接，在△中，，，，；（2分）在△中，，，，，即；△是直角三角形，即，，．（2）过点作，交的延长线于点；则是等腰直角三角形，，，；在中，由勾股定理，得；，正方形边长为