考点15菱形-2022四川中考数学试题分类汇编(原卷版+解析)

考点15：菱形1.(2023自贡）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（）

A. B. C. D.2.(2023广安）如图，菱形ABCD边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）

A.2 B. C.1.5 D.3.(2023绵阳）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（）

A. B. C. D.4.(2023乐山）已知菱形的对角线相交于点，，，则菱形的面积为__________．5.(2023达州）如图，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的周长是________．6.(2023成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．7.(2023南充）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，分别与交于点M，N．求证：（1）．（2）．8.(2023遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：≌；（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．9.(2023广元）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．10.(2023德阳）如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结．（1）求证：四边形是矩形．（2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．11.(2023凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．考点15：菱形1.(2023自贡）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（）

A. B. C. D.答案:B解析：分析：根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，∴A、C坐标关于原点对称，∴C的坐标为，故选C．【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．2.(2023广安）如图，菱形ABCD边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）

A.2 B. C.1.5 D.答案:A解析：分析：取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图，

∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，如下图，G、P、F三点共线，连接FG，

∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四边形AGFD是平行四边形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．3.(2023绵阳）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（）

A. B. C. D.答案:C解析：分析：根据点F的坐标，可得MB=1，AB=2，连接AC，CM，交BD于点N1，连接AN1，此时MN+AN的最小值=MN1+AN1=CM，根据菱形和直角三角形的性质可得CM=，DN1=，进而即可得到答案．【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是AB的中点，∴BD=，MN+AN=AB+MB=3MB=3，∴MB=1，AB=2，连接AC，CM，交BD于点N1，连接AN1，此时MN+AN的最小值=MN1+AN1=CM，∵在菱形ABCD中，∠C＝120°，∴∠ABC=60°，∴是等边三角形，∴CM⊥AB，∠BCM=30°，∴BC=2×1=2，CM=，∵AB∥CD，∴CM⊥CD，∵∠ADC=∠ABC=60°，∴∠BDC=30°，∴DN1=CD÷cos30°=2÷=，∴E的坐标为，故选C．

【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数的图像，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．4.(2023乐山）已知菱形的对角线相交于点，，，则菱形的面积为__________．答案:24解析：分析：根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：故答案为：24．【点睛】本题考查的知识点是菱形的面积公式，掌握求菱形面积的方法是解此题的关键．5.(2023达州）如图，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的周长是________．答案:52解析：分析：根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=12，OB=BD=5，∴AB=，∴菱形ABCD的周长为：4×13=52．故答案为：52【点睛】本题考查了菱形周长的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．6.(2023成都）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．答案:##解析：分析：延长DE，交AB于点H，确定点B关于直线DE的对称点F，由点B，D关于直线AC对称可知QD=QB，求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值.连接BD，即可求出CO，EO，再说明，可得DO，根据勾股定理求出DE，然后证明，可求BH，即可得出答案．【详解】延长DE，交AB于点H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴点P的对称点在EF上．由点B，D关于直线AC对称，∴QD=QB．要求最大，即求最大，点Q，B，共线时，，根据“三角形两边之差小于第三边”可得最大，当点与点F重合时，得到最大值BF．连接BD，与AC交于点O．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案为：．【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．7.(2023南充）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，分别与交于点M，N．求证：（1）．（2）．答案:（1）见解析（2）见解析解析：分析：（1）先利用菱形的性质和已知条件证明，即可利用SAS证明；（2）连接BD交AC于点O，先利用ASA证明，推出，再由（1）中结论推出，即可证明．【小问1详解】证明：由菱形的性质可知，，，∵，∴，即，在和中，，∴．【小问2详解】证明：如图，连接BD交AC于点O，由菱形的性质可知，，∴，由（1）知，∴，，∴，∴，在和中，，∴．∴，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．8.(2023遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：≌；（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．答案:（1）见解析（2）四边形AODF为矩形，理由见解析解析：分析：（1）利用全等三角形的判定定理即可；（2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论．【小问1详解】证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF∥AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE（ASA）；【小问2详解】解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF∥AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．9.(2023广元）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．答案:（1）见详解（2）△ABC的面积为解析：分析：（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．【小问1详解】证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E为AB中点，∴，∵，∴四边形AECD是平行四边形，∵DA=DC，∴四边形AECD是菱形；【小问2详解】解：由（1）知：，∵∠D＝120°，∴，∵E为AB中点，∴，∴△BCE是等边三角形，∴，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．10.(2023德阳）如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：），且，过作于点，连结．（1）求证：四边形是矩形．（2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．答案:（1）见解析（2）与能够全等，此时解析：分析：（1）根据题意可得，再根据菱形的性质和直角三角形的性质可得，从而得到FG=EH，再由FG∥EH，可得四边形EFGH是平行四边形，即可求证；（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质可得∠CBF=∠CDE，，然后分两种情况讨论，即可求解．【小问1详解】证明：根据题意得：，在菱形ABCD中，AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，∵∠ABC=60°，，∴，∠CBO=30°，∴，∴FG=EH，∵，DH⊥BH，∴FG∥EH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵∠H=90°，∴四边形是矩形．【小问2详解】解：能，∵AB∥CD，∠ABC=60°，∴∠DCH=60°，∵∠H=90°，∴∠CDE=30°，∴∠CBF=∠CDE，，∴，∵BC=DC，∴当∠BFC=∠CED或∠BFC=∠DCE时，与能够全等，当∠BFC=∠CED时，，此时BF=DE，∴，解得：t=1；当∠BFC=∠DCE时，BC与DE是对应边，而，∴BC≠DE，则此时不成立；综上所述，与能够全等，此时．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．11.(2023凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．答案:（1）见解析（2）10解析：分析：（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可．【小问1详解】证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE∵AFBC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵D是BC的中点，∴CD=BD，∴AF=B