全等三角形的七大模型综合训练(五)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型综合训练（五）1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为

边上一动点，当的值最小时，的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°2．如图，，则为（

）A．48 B．50 C．56 D．643．已知且且，点E，B，D到直线l的距离分别为6，3，4，则图中凹多边形的面积是（

）A．50 B．62 C．65 D．684．如图，四边形ABCD是正方形，直线分别通过A，B，C三点，且，若与的距离为5，与的距离为7，则正方形ABCD的面积等于(

)A．70 B．74 C．144 D．1485．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．66．在中，，CD平分，P为AB的中点，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．7．如图，点是平分线上的一点，，则的长取值范围为______．8．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________.9．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．10．如图，在等腰直角三角形和中，点为它们的直角顶点,当与有重叠部分时：（1）①连接，如图1，求证：；②连接，如图2，求证：；（2）当与无重叠部分时：连接,如图3，当，时，计算四边形面积的最大值，并说明理由.11．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．(1)如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：CE＝AG；②若BF＝2AF，连接CF，求∠CFE的度数；(2)如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF．若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．12．如图，在四边形中，，，，．（1）如图（1），将绕着点旋转，它的两边分别交边、于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的反向延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．13．如图，平面内有一等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，小明同学过点C作BF的垂线，如图1，利用三角形全等证得AF+BF＝2CE．（1）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为．14．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在中，,若点D为AB的中点，则．请结合上述结论解决如下问题：已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．15．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．16．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________．（2）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°）全等三角形的七大模型综合训练（五）1．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为

边上一动点，当的值最小时，的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°答案:D分析：先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在上截取，连接，如图：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：∵，，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．2．如图，，则为（

）A．48 B．50 C．56 D．64答案:C分析：过点作交的延长线于点，证明，得出，进而即可求解．【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，∵∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3．已知且且，点E，B，D到直线l的距离分别为6，3，4，则图中凹多边形的面积是（

）A．50 B．62 C．65 D．68答案:A分析：作于F，于G，于H，证明，，再利用梯形面积公式和三角形面积公式计算即可．【详解】解：作于F，于G，于H，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，同理，，∴，，∴，梯形的面积为：，三角形的面积为：，三角形的面积为：，凹多边形的面积为：，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，证明三角形全等．4．如图，四边形ABCD是正方形，直线分别通过A，B，C三点，且，若与的距离为5，与的距离为7，则正方形ABCD的面积等于(

)A．70 B．74 C．144 D．148答案:B分析：首先过点B和点D作垂线，构成大的正方形，然后利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出答案．【详解】解：分别过点B和点D作的垂线交于点E、H，交于点F、G∵∴，∴四边形EFGH是矩形又∵四边形ABCD是正方形∴，∵，∴∵∴∴同理可证：，得到，∴，即∴四边形EFGH是正方形∵与的距离为5，与的距离为7∴，，∴故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的应用，正确作出辅助线补成大正方形是解题关键．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B分析：在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．6．在中，，CD平分，P为AB的中点，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．答案:B分析：可在BC上截取CE=CA，连接DE，可得△ACD≌△ECD，得DE=AD，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．【详解】解：∵∠A=2∠B，∴∠A﹥∠B∴BC﹥AC∴可在BC上截取CE=CA，连接DE(如图)，∵CD平分，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD≌△ECD，∴AD=ED，∠CED=∠A=2∠B又∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．7．如图，点是平分线上的一点，，则的长取值范围为______．答案:分析：在取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可求解．【详解】解：在取，连接，，，点P是平分线上的一点，，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒8．已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________.答案:2.5<BD<12.5分析：延长BD到E，使BD=DE，连接AE，可证明，根据全等三角形的性质可得AE=BC=15，在中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围．【详解】解：如图，延长BD到E，使BD=DE，连接AE，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在和中，∵，∴（SAS），∴AE=BC=15，在中，由三角形三边关系可得，即，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——中线倍长是本题的关键．9．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．答案:（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC分析：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD．

在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°．

∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，

∴CD=BE．∵AB=AE＋BE，

∴AB=AC＋CD．（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，在△ACD和△AED中，,∴△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，CD=DE，又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB=∠B，∴ED=EB，∴CD=EB，∴AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CD﹣AC

证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD=∠AED，CD=DE，∴∠ACB=∠FED，又∵∠ACB=2∠B

∴∠FED=2∠B，又∵∠FED=∠B＋∠EDB，

∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，

∴BE=CD，∵AB=BE-AE

∴AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.10．如图，在等腰直角三角形和中，点为它们的直角顶点,当与有重叠部分时：（1）①连接，如图1，求证：；②连接，如图2，求证：；（2）当与无重叠部分时：连接,如图3，当，时，计算四边形面积的最大值，并说明理由.答案:(1)①见解析；②见解析；（2）【详解】试题分析：（1）①利用同角的余角相等证出∠ACD＝∠BCE，然后利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论；②因为△ACE与△CDB的一条边AC＝BC，所以要证两个三角形的面积相等只要证明AC和BC边上的高相等即可，过点E作EF⊥AC，过点D作DH⊥BC，通过证明△CEF≌△CDH即可得出结论；（2）设△BCD的BC边上的高为h，同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，所以S四边形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝＋5h，而h≤CD，故当h＝CD＝2时S四边形ABDE最大，代入h＝2求出最大值即可．试题解析：解：（1）①∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠BCE＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②如图：作EF⊥AC交AC的延长线于点F，作DH⊥BC于点H，∵∠FCE＋∠ECH＝90°，∠HCD＋∠ECH＝90°，∴∠FCE＝∠HCD，∵∠EFC＝∠DHC＝90°，CE＝CD，∴△CEF≌△CDH（AAS），∴EF＝DH，∵S△ACE＝AC·EF，S△CDB＝BC·DH，AC＝BC，∴S△ACE＝S△CDB；（2）设△BCD的BC边上的高为h，同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，∴S四边形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝×52＋×22＋2S△BCD＝＋5h，∵h≤CD，∴当h＝CD＝2时S四边形ABDE最大，∴四边形ABDE的面积最大值为＋5×2＝．点睛：本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了余角的性质和全等三角形的判定和性质，结合图形找出图中的全等三角形是解决此题的关键．11．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．(1)如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：CE＝AG；②若BF＝2AF，连接CF，求∠CFE的度数；(2)如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF．若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．答案:（1）①详见解析；②∠CFE=30°；（2）=2．分析：（1）①由AB=AC、∠ABC=60°可知△ABC是等边三角形.再由AE⊥BN且∠MBN＝30°可得∠BFD=60°，则∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF，可得∠1=∠2.根据上述条件可证△ACE≌△BAG，从而得证；②由上问中△ACE≌△BAG可得∠CAE=∠ABG，再由∠CAE+∠BAE=∠ABG+∠FBC=60°可得∠BAE=∠FBC.在Rt△BFD中由∠FBD=30°可得BF=2FD，则由BF＝2AF可得BF=AD，再由等边三角形可得AB=BC，则可证△BFC≌△ADB，得∠BFC=∠ADB=90°.再由∠BFD=60°可知∠CFE的度数（2）在BF上截取BK=AF，连接AK.由∠BFE=∠2+∠BAF=∠BAC=∠BAF+∠1可得∠1=∠2，再由AB=AC、BK=AF可证明△ABK≌△CAF，从而S△ABK=S△AFC，同时易得∠KAF=∠AKF=∠BAC，则AF=FK=BK，据此可求解.【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB=AC，∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB=90°，∵∠MBN=30°，∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF，∴∠1=∠2又∵AC=AB,∠C=∠BAG∴△ACE≌△BAG∴CE=AG②证明：如图2中，由上问△ACE≌△BAG可得∠CAE=∠ABG，在Rt△BFD中，∵∠FBD=30°，∴BF=2DF，∵BF=2AF，∴BF=AD，∵∠CAE=∠ABG，∠CAE+∠BAE=∠ABG+∠FBC=60°，∴∠BAE=∠FBC，∵BF=AD、AB=BC、∠BAE=∠FBC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC=∠ADB=90°，又∵∠BFE=60°∴∠CFE=90°-60°=30°（2）在BF上截取BK=AF，连接AK．∵∠BFE=∠2+∠BAF=∠BAC=∠BAF+∠1，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，BK=AF，∴△ABK≌△CAF，∴∠3=∠4，S△ABK=S△AFC，∠CFE=∠1+∠4=∠2+∠3=∠AKF，∵∠1+∠3=∠1+∠4=∠CFE，∠BAC=2∠CEF，∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF=∠BAC，∴AF=FK=BK，∴S△ABK=S△AFK，∴=2．【点睛】本题考查了全等三角形的证明及性质，难点在于通过作辅助线构造全等，辅助线的构造应从已知条件出发进行分析，从而建立已知条件与未知问题之间的联系.12．如图，在四边形中，，，，．（1）如图（1），将绕着点旋转，它的两边分别交边、于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的反向延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．答案:（1）详见解析；（2），证明见解析；（3）.分析：（1）延长到，使，连接，易证≌，可得，，，再根据，可得，易证≌，等量代换可得.（2）在上截取，使，连接，易证≌，可得，，所以，可得，易证≌，等量代换即可得出.（3）在DC上截取DF=BM，易证△ABM≌△ANF，可得，，根据，等量代换可得，可得，即可证明△FAN≌△MAN，得到，等量代换可得．【详解】（1）如图（1），延长到，使，连接．∵，，在△ABG与△AND中，∴≌（SAS）．∴，，．∵，∴∴．∴．又，∴在△AMG与△AMN中，≌（SAS）．∴．∵．∴．

（1）

（2）

（3）（2）．证明：如图（2），在上截取，使，连接．∵，，∴在△ABG与△AND中，∴≌（SAS）．∴，，∴．∴．∴．∴在△AMG与△AMN中，∴≌（SAS）．∴．∴．（3）．证明：如图（3），在DC上截取DF=BM，∵，，∴在△ABM与△ANF中，∴△ABM≌△ANF（SAS）．∴，，∴，∴，∴∴．∴在△FAN与△MAN中，∴△FAN≌△MAN（SAS），∴．∵∴．【点睛】本题考查截长补短的辅助线的做法，并且这道题属于类比探究题型，只要把第一问做出来，那么后面几问跟第一问的辅助线，证明思路都比较相似，如果实在没有思路的话可类比第一问证得哪两个三角形全等，在第二问中也找到这样的三角形即可.13．如图，平面内有一等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，小明同学过点C作BF的垂线，如图1，利用三角形全等证得AF+BF＝2CE．（1）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为．答案:(1)AF﹣BF＝2CE;(2)BF﹣AF＝2CE；分析：（1）过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，证明△CBG≌△CAE，再根据全等三角形对应边相等，即可证得AF﹣BF＝2CE；（2）过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，证明△CBD≌△CAE，同样可根据全等三角形对应边相等，即可证得BF﹣AF＝2CE.【详解】解：（1）AF﹣BF＝2CE图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，∵AC＝BC可得∠AEC＝∠CGB，∠ACE＝∠BCG，在△CBG和△CAE中，，∴△CBG≌△CAE（AAS），∴AE＝BG，∵AF＝AE+EF，∴AF＝BG+CE＝BF+FG+CE＝2CE+BF，∴AF﹣BF＝2CE；（2）BF﹣AF＝2CE；如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，∵AC＝BC可得∠AEC＝∠CDB，∠ACE＝∠BCD，在△CBD和△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD，∵AF＝AE﹣EF，∴AF＝BD﹣CE＝BF﹣FD﹣CE＝BF﹣2CE，∴BF﹣AF＝2CE．故答案为BF﹣AF＝2CE．【点睛】本题考查几何变换问题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键.14．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在中，,若点D为AB的中点，则．请结合上述结论解决如下问题：已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．答案:（1）AE//BF;QE=QF；(2)QE=QF，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．分析：（1）根据AAS得到，得到、QE=QF，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF；（2）延长EQ交BF于D，根据AAS判断得出，因此，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ交FB的延长于D，根据AAS判断得出，因此，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．【详解】（1）AE//BF；QE=QF（2）QE=QF证明：延长EQ交BF于D，,（3）当点P在线段BA延长线上时，此时（2）中结论成立证明：延长EQ交FB的延长于D因为AE//BF所以EQ=QF【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS，平行线的性质，根据P点位置不同，画出正确的图形，找到AAS的条件是解决本题的关键．15．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．答案:（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．分析：（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.16．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：___