新九年级数学（人教版）第01讲 一元二次方程的定义及解法（直接开平方法）（人教版）（原卷版）

第01讲一元二次方程和直接开平方法解一元二次方程【人教版】·模块一一元二次方程·模块二直接开平方法解一元二次方程·模块三课后作业模块一模块一一元二次方程1.一元二次方程得定义等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。3.一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。【考点1一元二次方程的定义】【例1.1】下列方程中是一元二次方程的是（

）①ax2=bx；②−32x2−2x=1A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③【例1.2】当m=______时，关于x的方程(m+2)x【例1.3】关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+|m|−1=0，常数项为0，则mA．1 B．－1 C．1或－1 【变式1.1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2=0 C．2x+1x+1=0【变式1.2】关于x的方程a−12x2【变式1.3】若关于x的方程a−4xa−2【考点2一元二次方程的一般形式】【例2.1】一元二次方程3x2−x+4=0A．3，−x，5 B．3，−1，−4 C．3，−1，4 D．3x2，−1【例2.2】将方程x(x+1)=2(x−1)化为一元二次方程的一般式，正确的是（

）A．x2−x+1=0 B．x2−x+2=0 C．【变式2.1】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为______．【变式2.2】若方程5x【变式2.3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)3(2)4(3)8x−21=(4)x+1(5)4x(6)x−22【考点3一元二次方程的根（解）】【例3.1】已知方程x2−7x+15−k=0的一个根是2，则k的值是（A．−11 B．5 C．−5 D．−3【例3.2】若a是关于x一元二次方程3x2−x−2023=0的一个实数根，则2023+2a−6A．4046 B．−4046 C．−2023 D．0【例3.3】若关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0a≠0有一个根为x=2023，则方程A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【变式3.1】关于x的一元二次方程(m−3)x2+5x+【变式3.2】若m是一元二次方程x2−x−3=0的根，则【考点4建立一元二次方程模型】【例4.1】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（）

A．60−x40−x=1750 C．60−2x40−x=2400 【例4.2】2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（

）A．600(1+2x)=2850 B．600C．600+600(1+x)+600(1+x)2=2850【例4.3】我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为x步，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A．2x+2x+12=864 B．C．x+x+12=864 【变式4.1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有x支球队参加比赛，可列方程为（

）A．xx−1=45 B．12x(x−1)=45 C．【变式4.2】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（

）A．603−x80+10x=18000C．603+x110−10x=18000模块二模块二直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程一般地，对于形如x2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x1=a,x2=−a【考点1解形如x2=p（p≥0）的方程】【例1.1】方程x−22A．x1=x2=2 B．x1=2，x2=0 【例1.2】关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________．【变式1.1】方程2x【变式1.2】已知方程的解是有理数，那么对于下列实数m不能取的数是（

）A．1 B．4 C．9 D．10【变式1.3】方程的一个根为，则另一个根为x=___________．【考点2解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程】【例2.1】解一元二次方程，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（

）A．， B．， C．， D．，【例2.2】若方程可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（）A． B． C． D．【例2.3】定义一种新运算，，则方程的解是（

）A． B．，C．， D．【变式2.1】方程的根为（

）A． B． C． D．【变式2.2】一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（

）A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2【变式2.3】小明用直接降次法解方程时，得出一元一次方程，则他漏掉的另一个方程为____．【变式2.4】若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【变式2.5】已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为_________________．模块三模块三课后作业1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．x2=2+3xB．2(x−1)+x=2 C．x22．以−2为一根的一元二次方程可能是（

）A．x2−2x=0 B．x2−x=0 C．3．关于x的一元二次方程2xa−2+m=4的解为x=1，则a+mA．9 B．8 C．6 D．44．关于x的一元二次方程a−2x2+x+5．若关于x的一元二次方程mx2+nx−2022=0m≠0的一个解是6．已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则7．若关于x的一元二次方程(2a−4)x2+(3a+6)x+a−8=08．写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________9．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．10．方程x+12=11．若一元二次方程(x-3)2＝1的