2023-2024学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某质点的运动方程是s=t3，则该质点在t=2时的瞬时速度是(

)A.4 B.6 C.8 D.122.已知某次考试的成绩X∼N80,102，若P(70≤X≤80)=a，则P(X≥90)=A.12−a B.1−a C.a23.已知向量AB=(1,m,−3)，AC=(−3,6,9)，若A，B，C三点共线，则m=(

)A.−3 B.−2 C.2 D.34.随机变量ξ服从两点分布，其分布列如下ξ01P6p则p=(

)A.−12 B.12 C.13 5.斜三棱柱ABC−A1B1C1中，设AB=a，AC=A.13a+23b+236.函数f(x)=e|x|−2x2，A. B.

C. D.7.∀x1，x2∈(0,a)，且x1<xA.(0,e] B.0,e2 C.[e,+∞) 8.在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2.若M为该三棱锥外接球上的一点，则MB⋅MC的最大值为(

)A.2 B.4 C.2+23 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其中x1，x2，…，xn和y1，A.该样本相关系数|r|越接近0时，其线性相关程度越弱

B.假设一组数据是x1+a，x2+a，…，xn+a，则该组数据的方差为sx2

C.10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用A1，A2，A3分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用B表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是A.PA1B=845 B.P(B)=3190 11.M是棱长为2的正方体ABCD−A1BA.当M在线段C1D1上运动时，三棱锥A1−BCM的体积为定值43

B.当M在线段B1D1上运动时，AM与BD所成角的取值范围是π3,π2

C.设E是AB的中点，若ME⋅A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Pχ2≥6.635=0.01，Pχ2≥10.828=0.001.13.已知A(1,0,0)，B(2,1,0)，C(1,1,1)三点，则A到直线BC的

距离为

．14.已知f(x)和g(x)为R上的可导函数，满足：g(x)=f(1−x)+1，g′x=f′x−1，且f(x+1)为奇函数.写出函数f′x图象的一个对称中心，可以为

.若f(0)=1，则k=110四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=12x(1)若a=1，求f(x)在[1,4]上的值域；(2)讨论f(x)的单调性．16.(本小题12分)人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015∼2023年城镇居民人均可支配收入(单位：万元)的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系．

(注：年份代码1∼9分别对应年份2015∼2023)(1)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)，并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；(2)为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015∼2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望．附注：参考数据：i=19yi=35.37，i=19tiy17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，CD⊥BC，AB=2CD=4，∠BAD=45∘，PD=2(1)若Q为PB的中点，求证：CQ//平面PAD；(2)求二面角A−PD−C的正弦值．18.(本小题12分)甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.(1)若p=2(i)假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；(ii)求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率．(2)若12≤p≤2319.(本小题12分)设P是直角坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图象.若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”.已知f(x)=e(1)求证：f(x)≥x+1；(2)设P(a,a+1)，判断P为函数f(x)的“几度点”，并说明理由；(3)设M(0,m)，若M为函数y=xex的“3度点”，求实数m的取值范围．答案解析1.D

【解析】s′=3t2，当t=2时，故质点在t=2时的瞬时速度为12．故选：D2.A

【解析】由正态分布对称性可知，P(X≥90)=1−2P(70≤X≤80)故选：A3.B

【解析】因为A，B，C三点共线，则AB=λAC，又向量AB=(1,m,−3)所以1=−3λm=6λ−3=9λ，解得故选：B．4.C

【解析】由题知，6p2+p=1，解得p=13或−故选：C．5.C

【解析】因为AP=1故选：C．6.A

【解析】因为x∈[−2,2]，关于原点对称，又f(−x)=e即f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=ex−2令ℎ(x)=ex−4x，则ℎ′(x)=ex∃x0∈1,2，使当x∈(0,x0)时，ℎ′(x0即f′(x)=ℎ(x)=ex−4x，在区间(0,所以f′(x)又f′(2)=e2−8<0，f′(∃t0∈14,12，当所以f(x)在

区间(0,t0)上单调递增，在区间t0,2上单调递减，且t故选：A．7.B

【解析】因为x1<x2，不等式即x1lnx2−整理得到lnx2−1令ℎ(x)=lnx−1x，所以ℎ(x)=又ℎ′(x)=1−(lnx−1)当x∈(0,e2)，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)=所以(0,a)⊆(0,e2)故选：B．8.C

【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，

P0,0,0，A2,0,0，B0,2,0，C0,0,2，设三棱锥外接球的半径为R，2R=22MB⋅=MOMO2=R2=3OB+OC=OB+所以MB⋅当cosOB+OC,MO故选：C9.ABD

【解析】对于选项A，由样本相关系数的

意义可知，样本相关系数|r|越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A正确，对于选项B，因为x1+a，x2+a，…，方差为1n所以选项B正确，对于选项C，该成对样本数据点均在直线y=0.92x+0.53上，则样本相关系数r=1，所以选项C错误，对于选项D，由最小二乘法知，样本中心x,y在线性回归方程上，所以选项故选：ABD．10.AB

【解析】由题知P(AP(B|A对于A，因为PA1B对于B，因为P(B)=P(B|=49×对于C，PA2|B对于D，P(AP(A3)P(B)=故选：AB．11.BCD

【解析】对于选项A，如图1，连接D1C，因为VA1−BCM过M作MH⊥D1C于H，因为A1D1⊥所以A1D1⊥MH，又A1D1∩D又▵A1BC的面积为定值，而MH随着M的变化而变化，所以三棱锥A对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),B1又BD=(−2,−2,0)，AM设AM与BD所成的角为θ∈0,则cosθ=当λ=12时，cosθ=0当λ≠12又t∈0,12，得到1+3故π3≤θ≤π对于选项C，如图3，取AD,DD1,连接EF,FH,HQ,QN,NP,PE,HP,BD,B易知EF//BD//B1D1//QN//HP，所以EF由正方体性质知EQ与HP相交，所以HP⊂α，连接AC，易知AC⊥EF，又AA1⊥EF，AC∩AA1所以EF⊥面A1AC，又A1C⊂面A1又EF∩FH=F，所以A1C⊥面因为ME⋅A1C=0，所以ME⊥A1C，故M∈面EFHQNP，又由对称性知，当M与Q重合时，线段ME长度最大，最大值为EQ=BC1=2对于选项D，因为直线AM与平面ABCD所成的角为π4若点M在平面BCC1B1内，如图4，过MO⊥BC，连接AO，则∠MAO为直线由题知∠MAO=π4，则AO=MO，显然只有M与同理可知若点M在平面DCC1D1内，又因为AA1⊥面ABCD，得直线AM与A若点M在平面ADD1A1内时，点M的轨迹是若点M在平面ABB1A1内时，点M的轨迹是若点M在平面A1B1C1D1时，作MP⊥因为∠PAM=π4，所以AP=PM，又PM=AB，所以得到点M的轨迹是以A1为圆心，以2为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为1所以点M的轨迹长度为π+42，故选项故选：BCD．12.99

【解析】因为6.635<7.235<10.828，又Pχ2≥6.635所以我们至少有99%把握认为喜欢某种甜品与性别有关，故答案为：99．13.62或【解析】因为BC=(−1,0,1)，AC=(0,1,1)，所以得到sinAC所以A到直线BC的距离为d=AC故答案为：614.(0,0)((2k,0)(k∈Z)，答案不唯一)；11

【解析】由g(x)=f(1−x)+1，求导得g′(x)=−f′(1−x)，又g′(x)=f′(x−1)，则f′(x−1)=−f′(1−x)=−f′[−(x−1)]，即f′(x)=−f′(−x)，所以函数f′(x)是奇函数，其图象关于原点对称，即(0,0)为函数由f(x+1)为奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)，求导得−f′(−x+1)=−f′(x+1)，即f′(−x+1)=f′(x+1)，函数f′(x)的图象关于直线x=1对称，则点(2,0)是显然有f′(x+1)=−f′(x−1)，即f′(x+2)=−f′(x)，于是f′(x+4)=−f′(x+2)=f′(x)，函数f′(x)是以所以函数f′(x)的图象关于点由g′(x)=f′(x−1)，得[g(x)−f(x−1)]′=0，即有g(x)−f(x−1)=C(C为常数)，而g(x)=f(1−x)+1，则f(1−x)+1−f(x−1)=C，取x=1，得C=f(0)+1−f(0)=1，因此f(1−x)=f(x−1)，又f(−x+1)=−f(x+1)，则f(x+1)=−f(x−1)，即f(x+2)=−f(x)，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，于是函数f(x)是周期为4的周期函数，又g(x)=f(x−1)+1，则函数g(x)的图象可由f(x)的图象平移而得，从而函数g(x)是周期为4的周期函数，k=110显然f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0，因此g(2)+g(4)=f(1)+1+f(3)+1=2，g(1)+g(3)=f(0)+1+f(2)+1=2+f(2)+f(4)=2，则k=14又f(1)=0，则g(1)=f(0)+1=2,g(2)=f(1)+1=1，所以k=110故答案为：(0,0)；1115.解：(1)当a=1时，f(x)=1又f′(x)=x−2+1x=所以f(x)=12x得到f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)=12−2=−所以f(x)在[1,4]上的值域为−3(2)易知定义域为0,+∞，因为f′当a≤0时，x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，当0<a<1时，x∈(a,1)时，f′(x)<0，x∈0,a∪(1,+∞)时，当a=1时，f′(x)≥0在区间0,+∞上恒成立，当且仅当x=1时取等号，当a>1时，x∈(1,a)时，f′(x)<0，x∈0,1∪(a,+∞)时，综上所述，当a≤0时，f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1,+∞)；当0<a<1时，f(x)的减区间为(a,1)，增区间为(0,a),(1,+∞)；当a=1时，f(x)的增区间为0,+∞，无减区间；当a>1时，f(x)的减区间为(1,a)，增区间为(0,1),(a,+∞)．

【解析】(1)当a=1时，f(x)=12x2−2x+lnx(2)对f(x)求导，得到f′(x)=(x−a)(x−1)x，再对16.解：(1)依题意，t=19i=19ti则b=a=所以y关于t的经验回归方程为y=0.24t+2.742024年即t=10，y=0.24×10+2.74=5.14所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为5.14万元．(2)2015∼2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的

年份数有3个，X的可能取值为0,1,2，P(X=0)=C62C9所以随机变量X的分布列为：X012P511数学期望E(X)=0×5

【解析】(1)求出t,(2)求出随机变量X的可能值，再求出各个值对应概率，列出分布列并计算出期望．17.解：(1)取PA中点H，连接DH,HQ，因为Q为PB的中点，所以QH//AB且QH=12AB，又AB//CD所以QH//CD且QH=CD，所以DHQC是平行四边形，得到DH//CQ，又DH⊂面PAD，CQ⊄面PAD，所以CQ//平面PAD．(2)过D作DM⊥AB于M，因为AB//CD，CD⊥BC，AB=2CD=4，∠BAD=45所以AM=DM=BC=2，又▵PBC为等边三角形，所以PC=2，又PD=22，所以PC又CD⊥BC，PC∩CB=C，PC,CB⊂面PBC，所以CD⊥面PBC，又CD⊂面ABCD，所以面PBC⊥面ABCD，取BC中点E，连接PE，则PE⊥BC，又面PBC⊥面ABCD，面PBC∩面ABCD=BC，PE⊂面PBC，所以PE⊥面ABCD，过C作l//PE，以CD,CB,l所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由AB=2CD=4，BC=2，知C0,0,0所以PD=(2,−1,−3)，设平面APD的一个法向量为n=(x,y,z)由n⋅PD=0n⋅AD=0，得到2x−y−设平面CPD的一个法向量为m=(a,b,c)由m⋅PD=0m⋅CP=0，得到2a−b−设二面角A−PD−C的平面角为θ，θ∈0,π因为cosn所以sinθ=

【解析】(1)取PA中点H，连接DH,HQ，根据条件得到DHQC是平行四边形，从而有DH//CQ，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；(2)建立空间直角坐标系，求出平面APD与面CPD的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果．18.解：(1)(i)因为甲和乙每次进球的概率分别是12和2所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为P=1−1(ii)由题知甲进球0个，乙进球2个或3个，或甲进球1个，乙进球3个，乙获得1分，记事件A：甲进球0个，乙进球2个或3个，事件B：甲进球1个，乙进球3个，事件C表示乙获得1分，则P(A)=(12)易知A,B互斥，所以P(C)=P(A)+P(B)=5(2)因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为P=1设n轮比赛后，乙累计得分为X，则X∼B(n,1由题知n×18(3p2+p所以764由11n54≥3，得到n≥15，所以至少进行15轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时【解析】(1)(i)根据条件，利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求出结果；(ii)记事件A：甲进球0个，乙进球2个或3个，事件B：甲进球1个，乙进球3个，分别求出事件A和事件B的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出结果；(2)根据条件求出一轮比赛结束后，乙获得1分的概率P，设n轮比赛后，乙累计得分为X，则X∼B(n,119.解：(1)令函数g(x)=f(x)−x−1=ex−x−1当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，g(x)≥g(0)=0，所以f(x)≥x+1．(2)设过点P的直线与函数f(x)=ex图象相切的切点Q(x因此该切线方程为y−ex0整理得(a+1−x0)函数ℎ(x)有k个零点，等价于过点P恰能作f(x)=ex图象的k条切线，即P是f(x)的“求导得ℎ′x=a−xex，当x<a时，ℎ′(x)>0即函数ℎ(x)在(−∞,a)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，ℎ(x)①当a=0时，ℎ(x)≤ℎ(a)=0，此时函数ℎ(x)仅有一个零点，P是f(x)的“1度点”；②当a≤−1时，ℎ(a)=f(a)−a−1=e当x<a时，a+1−x>a