2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=31+i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列说法正确的是(

)A.若a//b，b//c，则a//cB.若a=b，则2a<33.已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是x=1，方差s2=2，则数据2x1+1A.3，4 B.3，8 C.2，4 D.2，84.已知向量p在基底a,b,c下的坐标是(2,3,−1)，则p在基底aA.(−2,4,−1) B.(2,5,2) C.(2,5,−1) D.(−2,4,1)5.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E在边CD上且DE=2EC，则AE⋅A.256B.274C.163D.326.在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为π2，则该圆锥的外接球的表面积为(

)A.32π B.64π3 C.256π15 7.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1A.0 B.3C.12D.8.已知a=3,−1,2，b=4,3,−2，c=1,4,λ，若a，b，cA.−4 B.−2 C.2 D.4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是(

)A.至少有一个白球与都是白球 B.恰有一个红球与白、黑球各一个

C.至少一个白球与至多有一个红球 D.至少有一个红球与两个白球10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P−ABCD中，E为PC的中点，则(

)

A.PA=PB+PD−PC B.PA11.下列命题中，正确的是(

)A.在ΔABC中，A>B，∴sinA>sinB

B.在锐角ΔABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在ΔABC中，若acosA=bcosB，则ΔABC必是等腰直角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.样本数据24,13,14,18,12,14,20,16的上四分位数是_________．13.在▵ABC中，cos2B2=14.已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP→=λAB→+(2−2λ)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,−2，C3,0,−4，设a(1)已知(a→+k(2)若|c|=6，且c//BC16.(本小题12分)已知平行六面体ABCD−A1B1C1D(1)试用a,b,(2)求MN的长度．17.(本小题12分)已知A(1,−2,1)，向量a=(−3,4,12)，且满足(1)求点B的坐标；(2)若点M在直线OA(O为坐标原点)上运动，当MA⋅MB取最小值时，求点M18.(本小题12分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160，第二组160,165,…，第八组190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E=x−y≤5，求P19.(本小题12分)如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=1，(1)证明：BC⊥C(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；(3)求点C1到平面BMB1答案解析1.D

【解析】解：由题意知z=31+i⋅1−i1−i=3−3i1−i2.C

【解析】解：对于A，若

b为零向量时，

a与

c不一定共线，故A错误;

对于B，向量不能比较大小，B错误;

对于C，因为a是非零向量，所以a|a|是和它共线的一个单位向量，故C正确；

对于D，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，零向量的方向是任意的，故D错误;

3.B

【解析】解：由题知，x1+x2+x3+x4=1×4=4，

S12=14[(x1−1)4.A

【解析】解：由题意可知

p=2a+3b−c

，

设

p

在基底

a所以

p=xa所以

x+y=2y+z=3z=−1所以

p

在基底

a,a+b,b故选：A5.D

【解析】解：以

A

为原点，

AB

所在直线为

x

轴，

AD

所在直线为

y

轴建立如图所示平面直角坐标系．∵

AB=2

，

BC=2∴

A(0,0),B(2∵点

E

在边

CD

上，且

DE=2EC

，∴

E(∴

AE=(223,2)∴

AE⋅BE故选：D．6.C

【解析】解：圆锥PO的母线长l=4，侧面展开图的圆心角为π2，设圆锥的底面半径为r，

则圆锥的底面周长为满足2πr=4×π2，解得r=1；

设圆锥的外接球的球心为H，半径为R，

如图所示：

则该圆锥的高为ℎ=l2−r2=16−1=15；

设外接球的半径为R，

在△AHO中，AH2=HO7.A

【解析】解：由题意，

AA1•AB=A又

DC=AB

，

BE所以

BE⋅DC=AA1故选：A．8.A

【解析】解：因为

a

，

b

，

c

共面，可设

c=xa+yb

，即得：

1=3x+4y4=−x+3yλ=2x−2y

⇒

x=−1y=1λ=−49.BD

【解析】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，

在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．

在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；

在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；

在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；

故选：BD．10.AD

【解析】解：在四棱锥

P−ABCD

中，

E

为

PC

的中点，四边形

ABCD

是平行四边形，PA=PB+BA=PBAB+AD+AP=AC+AP故选：AD11.ABD

【解析】解：对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>对于B，在锐角ΔABC中，A，B∈(0,π∵A+B>π2，∴sinA>sin对于C，在ΔABC中，由acosA=bcosB，∴sin∵A，B∈(0,π)，∴2A=2B或2A=2π−2B，∴A=B或A+B=π∴ΔABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．对于D，由于B=600，b2可得(a−c)2=0，解得a=c，可得故选：ABD．

12.19

【解析】解：将数据从小到大排序可得

12,13,14,14,16,18,20,24

，共8个样本数据，则上四分位数即第

75

百分位数为

8×0.75=6

，即为

18+202=19故答案为：

1913.直角

【解析】解：cos2B2=a+c2c，

则1+cosB2=a+c2c，即cosB=ac，

14.5

【解析】解：取

BC

中点

O

，∵▵ABC

为等边三角形，

∴AO⊥BC

，则以

O

为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，

则

B−2,0

，

C2,0

，

A0,23

．∴AP=(x,y−23)

，

AB=(−2,−2∴AP=λAB+(2−2λ)AC=(4−6λ,2∴P4−6λ,23λ−23

，

∴∴PA⋅则当

λ=34

时，

PA⋅PC

取得最小值故答案为：

5

．15.解：(1)由题知

a=AB=(−1,−1,0)

，

所以

a+kb因为

a+kb所以

(a+kb)⋅b=0

⇒

k−1+4k=0(2)因为

c

//

BC

，

BC=2,1,−2所以

c=λBC=2λ,λ,−2λ

，因为

c=6

，所以

2λ2+λ2+所以

c=4,2,−4

或

−4,−2,4【解析】(1)根据向量坐标运算得出a+kb坐标，根据向量垂直数量积为0列式计算可得k．

(2)根据c//BC设出向量c⇀16.解：(1)

AN=AA1+A1N=c+23(a+b)=23a【解析】(1)AN=AA1+A117.解：(1)设

B(x

，y

，z)

，则

AB=(x−1

，

y+2

，

z−1)因为

AB=2a所以

x−1=−6y+2=8解得

x=−5y=6z=25所以

B(−5

，6，

25)

．(2)因为点

M

在直线

OA(O

为坐标原点)上运动，所以

OM=λOA=(λ

，

−2λ

，

所以

MA=OA−OM=(1−λ

，

−2+2λ

MB=OB−OM=(−5−λ

，

6+2λ

所以MA⋅MB∴

当

λ=76

时，

MA∴M(76

，

−73

【解析】(1)设B(x,y,z)，根据AB=2a列方程解出x，y，z；

(2)由O，A，M三点共线可设OM=λOA，求出MA,MB的坐标，得出MA⋅MB关于18.解：(1)第六组的频率为450=0.08，

∴第七组的频率为：

1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06．

(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04，

身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08，

身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2，

身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2，

由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，

0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，

则170<m<175，

由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5，

解得m=174.5，

∴可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm．

平均数为157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1．

(3)第六组[180,185)的人数为4人，设为a，b，c，d，

第八组[190,195]的人数为2人，设为A，B，

则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况，

∵事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，

∴事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，

故P(E)=【解析】(1)第六组的频率为0.08，由此能求出第七组的频率．

(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；

(3)第六组[180,185)的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2人，设为A，B，利用列举法能求出事件E的概率．19.解：(1)证明：根据题意，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，

因为侧棱A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥AB，A1A⊥AD

又因为AB⊥AD，则以A为坐标原点，以AD，AA1，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角