八年级数学因式分解的方法（二）-公式法湘教版知识精讲

八年级数学因式分解的方法(二)一一公式法湘教版

【本讲教育信息】

教学内容：

因式分解的方法(二)——公式法

二.教学目标：

1.知识与技能

(1)理解运用公式法的概念。

(2)能根据公式的不同特点，正确地选用公式进行因式分解。

2.过程与方法

(1)了解各公式的结构特点，进而记忆公式。

(2)结合公式的背景，体会公式的实际意义。

3.情感、态度与价值观

通过主动探索与相互间的交流，获得新的知识体系，激发学生的学习兴趣，体会数学的

应用价值。

三.教学重点、难点：

重点：利用公式法分解因式。

难点：灵活选择恰当的方法，进行因式分解。

四.知识要点归纳：

1.运用公式法

(1)概念：把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方

法叫做运用公式法。

(2)说明：运用公式来分解因式，关键是掌握每个公式的特点(如：项数、符号、系

数和指数各有什么特点)，公式中的字母不仅可以表示数，也可以表示单项式、多项式。

2.因式分解公式

(1)平方差公式：a2—b2=(a+b)(,a—b)

公式的特点：左边为二项式，是两个数的完全平方的差，右边是这两个数的和与差的积,

运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。

(2)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-lab+b'=(a-Z?)2

公式的特点：左边为三项式，其中首末两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两

个数的积的2倍(加上相应的符号)，右边是这两个数之和(或差)的平方，运用完全平方

公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。

说明：公式中的a、b既可以表示数，又可以表示单项式或多项式。

五.方法技巧规律总结：

1.平方差公式，完全平方公式中，公式中的字母a、b既可以用数或字母代替，也可以用

单项式或多项式代替。

2.如果一个多项式的各项含有公因式，就先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再

分解为止。

3.有些计算题，虽然属于单纯的数字计算，但是按一般步骤进行，不仅计算麻烦，且易

出错，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再计算，就可以大大地简化运算过程。

4.运用公式法分解因式的思路是：

(1)当多项式只有两项时，若各项的指数都是2的倍数且二次项系数异号时，可考虑

用平方差公式。

(2)当多项式有三项时，可以考虑用完全平方公式加以分解。

【典型例题】

［基础知识题］

例1.运用平方差公式分解因式

(1)36x2-49/

22

(2)-m+〃

(3)

(4)4(2a—/?)--9(2a+Z?)-

(5)一(x-y+z)2+(x+)+z)2

(6)2xy3-8孙

分析：在运用平方差公式进行因式分解时，首先要判断能不能把多项式写成平方差的形

式，平方差公式的特点是它的左端必须是平方差的形式，即a2-b2,然后可以分解成(a+b)(a

-b),同时还要注意a、b既可以表示单项式，又可以表示多项式，同时因式分解后的结果

要化简，且要分解到不能再分解为止。

解：(1)原式=36——49V

=(6x)2-(74

=(6x+7y)(6x—7y)

(2)原式=-(苏-〃2)

(4)原式=[2(24-h)]2一[3(24+与『

=[2(2。一。)+3(2a+Z?)][2(2tz-b)-3(2a+。)]

=(4a—2h+6ci+3b)(4a—2b-Ga-3b)

=(10Q+人)(一2。-5h)

二一(10。+匕)(2。+5勿

(5)原式=-[(x-y+z)2-(x+y+z)[

=-[(x-y+z)+(x+y+z)][(x_y+z)-(尤+y+z)]

=-(x-y+z+x+y+z)(x-y+z-x-y—z)

=-(2x+2z)(-2y)

=4y(x+z)

(6)原式=2孙(/一4)

=2xy(y+2)(y-2)

例2.用完全平方公式分解因式：

(1)jx2-2xy2+2y4

(2)(x?-4x)~+8x(x—4)+16

(3)(m4-2ri)2-6m-12n+9

(4)2/+4Q3+2Q2

分析：用完全平方公式进行因式分解时，首先要判断多项式是否符合完全平方公式的特

点，其特点是：左端有三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是首末两项底数的积

的两倍。

解：(1)原式=一4盯2+4y4)

=：卜2-2•X•2y2+(2y2)2]

=*-2万

(2)原式=(--4x)2+8(--4x)+4?

=(x2-4x+4)2

=[(x-2)2]2

=(x—2)4

（3）原式=（加+2〃）2-6（根+2〃）+32

=(m+2n-3)2

(4)原式=2/(/+2a+1)

=2a2(a+l)2

[探究开放题]

例3.ZkABC的三边a、b、c满足a2+2b?+c2-2ab—2bc=0,试判定AABC的形状。

分析：此例中方程a?+2b2+c2—2ab—2bc=0含有三个字母a、b、c均是未知的，像这样

的题目通常化成几个非负数的和为零的形式，求出a、b、c的值或者三者之间的关系。

解：，/a2+2b2+c2-2ab-2bc=0

:.a2+b2+b2+c2-lab-2bc=0

(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0

即(a-0)2+3—C)2=0

a—b=0j且。—c=0

即a=b=c

...△ABC是等边三角形

例4.已知a、b、c分别是aABC的三边

求证：(a2+b2—c2)2—4a2b2Vo

分析：已知a、b、c为AABC的三边，因此我们可以联想到利用三角形三边关系，观

察不等式左边是平方差的形式，可想到利用平方差公式分解因式。

证明：(a2+b2-c2)2-4a2/72

=(a2+b2-c2)2-(2ab)2

=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)

=[(々2+人2+2ah)-c2][(a2+b2-2ab)-c1]

=[(a+力2-c2J(«—Z?)2—c2j

=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

•••a、b、c为三角形ABC的三边

根据三角形三边之间的关系有：

a+b+c>0,a+b-c>Q,a-b+c>0,a-b-c<0

(a+b+c)(a+b—c)(a—b+c)(a—b—c)<0

即面+b2-c2)2-4a2b2<0

[创新提高题]

例5.试确定(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+l)x(232+1)+1的末位数字。

分析：观察式子发现(2+1)如果乘以(2-1)就可以用平方差公式得到22-1,再与

22+1相乘又可用平方差公式得到24—1,这样进行下去，构造了一系列的平方差公式，因而

使问题迎刃而解，此题解法巧妙之处在于借“1”，构造平方差公式。

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+l)x(232+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+i)+i

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)。?+i)+i

=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)+1

=(2'6-1)(2|6+1)(232+1)+1

=(232-1)(232+1)+1

=C264-1)+1

=2出

­.-2'=2,22=4,23=8,2"=16,25=32,26=64,27=128,

28=256....

由上规律可判断2胸的末位数字为6。

例6.求证比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

分析：连续自然数依次相差1,若设最小的一个自然数为n,则其它三个依次为n+1,

n+2,n+3,因此根据题意比这四个连续自然数的积大1的数就是n(n+l)(n+2)(n+3)+l,欲证

这个数是完全平方数，只要证明它是完全平方式即可，在证明过程中，我们可巧妙地将n

与n+3组合相乘，将(n+1)与(n+2)组合相乘，目的是使两个因式相乘后，积中含有的项完全

相同，都是n2+3n,然后把n?+3n看作一个整体。

解：设连续自然数分别为n,n+1,n+2,n+3,根据题意得：

n(n+1)(〃+2)(〃+3)+1

=[n(n+3)][(«+1)(〃+2)]+1

=(〃-++3〃+2)+1

(〃2+3”)[(〃2+3〃)+2^+1

=（〃2+3»）2+2（n2+3〃）+1

=（n2+3n+I）2

.•・无论n取任何自然数，（n2+3n+l＞都一定是某个自然数的平方，即比四个连续自然数

的积大1的数必是一个完全平方数。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

填空题

1.己知"=2,贝!J（a+b）2一切2的值是。

2.1一x"=（1+—）（1+x）（l-x）,则〃=..

3.对于任意整数m,多项式（4机+5产-9都能被________整除。

4.分解因式：-or，+lax1-ax=。

5.若/+3（机+2）x+81是一个完全平方式，则!1!=.

6.若4（。-6）2-4（“一b）+1=0,则a—Z?=o

7.已知J?+6盯+9y2+|y—1|=0,则尢=,y=。

8.己知_?+2%+2,当x时，有最小值是。

选择题

1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（）

A.-1.21a2+0.0必

B.4/+0.625狩

C.16X5-49/

D.-4——36y2

2.无论x、y取何值，/+V-2x+12y+40的值都是（）

A.正数B.负数

C.零D.非负数

3.若皈2+法+。可分解得（3%一2）2,那么a、b、C的值分别是（）

A.3,—6,2

B.9,-12,4

C.9,12,4

D.9,12,-4

4.在有理数范围内把y9—y分解因式，设结果中因式的个数为n,则n等于（）

A.3B.4C.5D.6

5.计算（一2）"+2・（-2尸的值是（）

A.2B.-2C.0D.（-2尸

6.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）

A.x2+y2+2xy

B.-x2+y2+2xy

C.-x2-y2+2xy

D.-x2-y2-2xy

7.数248—1可被60~70之间的某两个数整除，它们是（）

A.6和7B.20和21

C.40和41D.63和65

8.多项式—31"—9x"分解因式的结果是（）

A.3(—+3x")

B.一3(/“-39)

C.-3x"(x"+3)

D.-3X"(R+3)

三.解答题

1.已知：4a2+9h2-4CZ+12/J+5=0,求a、b的值。

2.已知：a2+«+l=0,则/+2/+2。+3的值为多少？

,1

3.化简求值：6x2-(2x-1)(3%-2)+(x+2)(x-2),其中x=§

4.利用因式分解计算:

(1—孰斓(]_/.(1-部-+)

四.分解因式：

1.(X2—X)2+—(X2-x)H---

216

2.a2(x-y)-2a(x-y)2-(y-x)3

3.25(54—30)2—16/

4.--(«+/?)2+2(a+/?)(«-b)+2(a—b)2

五.求证：不论n取何值，代数式/+(1—〃)3—(i—3〃)必为某一个完全平方数的3倍。

六.求证：8Y—27』”能被45整除。

【试题答案】

一.填空题

2

1.(〃+。)2-(a-b)=[(Q+/?)+(Q—/?)][(〃+。)一(Q—

=2a*2b=4ab=4x2=8

2.n=4

3.•・・(4加+5户一9=(4m+5+3)(4加+5—3)

=(4/77+8)(4/?/+2)

=8("z+2)(2m+1)

・・・能被8整除。

4.-axy+lax2-ax=-ax(x2-2x+1)=-ax(x-I)2

5.M=4或m=-8

,1

6.ci—b=—

2

7.x=-3,y=1

8.-1,1

x~+2x+2=(x**+2x+1)+1=(x+1)~+1

・・・当x=-l时，有最小值1

二.选择题

1.1.(A)

2,x2+y2-2x+12>'+40

=(/+2x+l)+(V+i2y+36)+3

=(x+l)2+(>+6)2+3>0

；.选(A)

3.vox2+l>x+c=(3x-2)2=9x2-12x+4

二.Q=9,b=—12,c=4

选(8)

4.寸-y=y(y8-1)

=X/-1)(/+1)

=X/-1)(/+1)(/+1)

=-1)(^+D(/+1)(/+1)

.,.选(C)

5.(-2)"+2・(—2)1

=(-2)•(-2尸+2•(-2尸

=(-2尸(-2+2)

=0

.•.选(C)

6.B

7.248-1=(224-1)(224+1)

=(212-1)(212+1)(224+1)

=(26-1)(26+1)(212+1)(224+1)

=63•65•(212+1)(224+1)

.,.选(D)

8.-31"—9x"=-3x"(x"+3)

.,.选(C)

三.解答题

1.•.•叱+弼―4。+⑵+5=。

(4/-4。+1)+(9h2+12Z?+4)=0

(2"1产+(3b+2产=0

-2tz-1=0

'"+2=0

1,2

/.ci=一,b——

23

2.丁/+2a“+2a+3

+。~+。~+。+。+1+2

=(/+。~+Q)+(Q~+Q+1)+2

=+。+1)+(〃~+a+1)+2

=0+0+2

=2

3.6/_(2元-1)(3%—2)+(x+2)(x—2)

=6尸—(6%2—4x—3x+2)+(x~—4)

=6x--6厂+4x+3x—2+x~—4

=x2+lx-6

当》=二时

3

原式=(g+7xg-(仁17/32

939

■京1+京1-()(1+()…(1-1)(1+A。-M+')

4.原式=(1一])(]+5)(l-

l32435810911

=—x—x—x—x—x--XX—X—X—X—

223344991010

111

=一x"-

210

11

-20

四