人教版高中数学全册教案-07-直线和圆的方程-03

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标

（一）知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方

程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式,

并利用直线的截距式作直线.

（二）能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练

学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的

数形结合能力.

（三）学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.

二、教材分析

1.重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式

方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.

2.难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即

直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线

上.

3.疑点.k="立不能算直线I的方程，因为直线Lt的点A

的坐标不满足这个方程，但化为y-yi=k（x-xi）后，点P1的坐标满足方程.

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合.

四、教学过程

（一）点斜式

已知直线1的斜率是k,并且经过点Pl(xl,yl),直线是确定的，也就是可

求的，怎样求直线1的方程(图124)?

图1-24

设点P(x,y)是直线1上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

k-y-y1

x-j(1)

可讹为，

IrMEI(2)

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),

因此，点P1不在方程⑴表示的图形上而在方程⑵表示的图形上，方程⑴不能

称作直线1的方程.

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆

推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线1上，所以这个方程就是过点P1、

斜率为k的直线1的方程.

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式.

当直线的斜率为0°时(图1-25),k=0,直线的方程是y=yi.

y

Q

图1-25

当直线的斜率为90°时■（图1-26）,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜

式表示.但因1上每一点的横坐标都等于xl,所以它的方程是x=xl.

图1-26

（二）斜截式

已知直线1在y轴上的截距为b,斜率为b,求直线的方程.

这个问题，相当于给出了直线上一点（0,b）及直线的斜率k,求直线的方程，是

点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0)

也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它是由宜线的斜率和

它在y轴上的截距确定的.

当k70时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的儿

何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距.

（三）两点式

已知直线1上的两点Pl（xl,yl）、P2（x2,y2）,（xlWx2）,直线的位置是确定

的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线1的方程.

当yiWy2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

，-力_，-，t

-71!一。

请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式.

对两点式方程要注意下面两点：（1）方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直

线与坐标轴平行（xl=x2或yl=y2）时，可直接写出方程；（2）要记住两点式方程，

只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样.

（四）截距式

例1已知直线1在x轴和y轴上的截距分别是a和b（aWO,bWO）,求直

线1的方程.

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成.

解：因为直线1过A（a,0）和B（0,b）两点，将这两点的坐标代入两点式，得

b-OO-■

就是

学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式.

引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直

线方程的截距式.

对截距式方程要注意下面三点：（1）如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代

入截距式求直线的方程；（2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x

轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；（3）与坐标轴平行和过原点的直线不

能用截距式表示.

（五）例题

例2三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图上27),求这个三

角形三边所在直线的方程.

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.

解：直线AB的方程可由两点式得：

y-0.1-(-5)

-3-03-(-x)

即3x+8y+15=0

这就是直线AB的方程.

BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径:

果

由斜截式得：

y.3+2.

即5x+3y-6=0.

这就是直线BC的方程.

山截距式方程得AC的方程是

即2x+5y+10=0.

这就是直线AC的方程.

(六)课后小结

⑴直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,

要会加以区别.

⑵四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.

⑶要注意四种形式方程的不适用范围.

五、布置作业

1.(L5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：

⑴经过点A(2,5),斜率是4；

⑷经过点B(3,-1),州率是百

经过点C(-怎2),耐角是30*;

(4)经过点D(0,3),倾斜角是0。；

(5)经过点E(4,-2),倾斜角是120。.

解：

(l>-5=4(r-2)j

的+1=廊一如

所2=*+何

(4)y=3j

(切+2=5(”今.(*

2.(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经

过的已知点、直线的斜率和倾斜角：

(l»-2=*T

a>y+3=—l)

◎+2=-9+1).

解：

(1)(1>2),k=l,a=45°；

(2X4,ak=小,a=W।

(3)(1,-3),k=-l,a=135°；

(4X-1,-2),k=*,a=isr.

3.(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程: