第11讲 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（12大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第口讲任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（12大考点）

Q考点考向

-角的概念

1.角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

2.角的分类

,正角：按逆时针方向旋转形成的角

按旋转方向

'负角：按顺时针方向旋转形成的角

不同分类

.零角：射线没有旋转

角的分类〈

'象限角：角的终边在第几象限，这

按终边位置.

不同分类,个角就是第几象限角

.轴线角：角的终边落在坐标轴上

3.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：S={£|£=360°,代Z}或{££

—a+2A”,AGZ}.

二弧度制及应用

1.弧度制的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2.弧度制下的有关公式

1a1=（（弧长用/表示）

角。的弧度数公式

JiA180\.

角度与弧度的换算①1一］80rad；②1rad一（"

弧长公式弧长1=|a\r

扇形面积公式S=^lr=^a?

三任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

定义设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,力，那么

川可做。的正弦，记作sin如U做。的余弦，记作刎做。的正切,记作

acosatana

I+++

各象

11+———

限符

HI———+

号

IV—+—

d冰1,0）一—"W（L0）一

三角函数线

有向线段加5为正弦线有向线段〃"为余弦线有向线段47为正切线

四同角三角函数的基本关系

1.同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sir?。+cos"。=1（。£R）.（2）商数关系：tan。=包工--1ak《Z

cos。I2,

2.同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧解读适合题型

主要利用公式tan。=旦丫化成

COSu

表达式中含有sin0,cos夕与

切弦互化正弦、余弦，或者利用公式2丫=tan0

COSutan。

化成正切

1=sin20+cos20=cos2。(1+tanJ

“1”的变换。)=(sin0±cos夕)42sinJcos表达式中需要利用“1”转化

n

夕=tan-

4

利用关系式（sin夕土cos夕尸=1土表达式中含有sin。土cos夕或

和积转换

2sin8cos。进行变形、转化sin9cos0

五三角函数的诱导公式

组数一二三四五六

2k立a(kJIn

角JT+a—aJI——a~a5+“

ez)

正弦sina一sina一sinasinacosacosa

余弦COSo-cos_acos_a-cos_asina-sin_a

正切tanalana—lanQ—lanQ

Q考点精讲

任意角的概念（共3小题）

1.（2021秋•顺义区期末）单位圆00圆周上的点P以4为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分

【分析】利用一周为2m然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可.

【解答】解：因为一周为2m

故10分钟转了2TC,

所以每分钟就转了2兀=兀,

105

故24分钟转了24X工上"，

55

所以OP从起始位置OA转过的角是2m.

5

故选：D.

【点评】本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题.

2.（2021秋•水磨沟区校级期末）下列说法正确的是（）

A.钝角是第二象限角

B.第二象限角比第一象限角大

C.大于90°的角是钝角

D.-165°是第二象限角

【分析】由钝角的范围平时A,C：举例说明B错误；由780°<-165°<-90°,说明-165°是第三

象限角.

【解答】解：钝角的范围为（90。，180°）,钝角是第二象限角，故A正确;

-200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°<60°,故8错误；

由钝角的范围可知C错误；

-180°<-165°<-90°,-165°是第三象限角，。错误.

故选：A.

【点评】本题考查任意角的概念，是基础题.

3.（2021秋•绥化期末）已知集合｛a|2E+」LWaW2E+?L,keZ｝,则角a的终边落在阴影处（包括边界）

【分析】先由图象写出角在0°〜360。间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合.

【解答】解：集合｛a|2hr+三WaW2E+1L,表示第一象限的角，

42

故选：B.

【点评】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用

二.终边相同的角（共3小题）

4.（2022秋•滨海新区校级期中）下列与角空的终边一定相同的角是（）

3

A.萼B.k«360°尸（k£Z）

C・2k兀+」：-（kCZ）D.（2k+l）TT+（k€Z）

【分析】结合终边相同角的表示及要求检验各选项即可判断.

【解答］解：与的终边相同的角的集合为｛ala卫二+2k兀，在Z｝,

33

又角度与弧度不能混用，

故选：C.

【点评】本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题.

5.（2021秋•宝安区期末）若角e的终边与角更的终边相同，则在m，2n）内与角色的终边相同的角是

73

普兀一

【分析】由已知条件，可得_1_二/片二（女€2），再结合nW干得L<2兀，即可求解.

【解答】解：写+2k兀（k£Z），二?写阁^（kEZ），

IOIO

4^2L<2n>即上=2,

73/14%7

...在m，2n）内与角旦的终边相同的角是空兀.

321

故答案为：空兀.

21

【点评】本题主要考查了终边相同的角的表示，属于基础题.

6.（2021秋•鄂州期末）用弧度制表示终边在y轴正半轴上的角的集合_{aIa号+2k兀，k€Z）--

【分析】由题意，利用终边相同的角的表达方式，可得结论.

【解答】解：由于角匹的终边在y轴的正半轴上，

2

故用弧度制表示终边在y轴正半轴上的角的集合为{a|a=2后r+三，任Z},

2

故答案为：［a\a=2kn+—,keZ）.

2

【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题.

三.象限角、轴线角（共4小题）

7.（2022春•伊犁州期末）365°是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【分析】根据终边相同的角的概念，转化即可得出结论.

【解答】解：因为365°=360°+5°,5°是第一象限角，

所以365。是第一象限角.

故选：A.

【点评】本题考查了终边相同的角应用问题，是基础题.

8.（2022•天心区校级开学）已知点P（a-3,2-a）在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是

（）

—।——।——।__।_A_।—>

A.-101234X

B.-101234x

C.-101234x

।।।」！।»

D.-101234i

【分析】根据已知条件，结合象限角的定义，求出”的取值范围，即可求解.

【解答】解：•.•点PQ-3,2-4）在第二象限，

，

a-Q<fA

*、，解得。<2,故C选项符合题意.

2-a>0

故选：C.

【点评】本题主要考查象限角，属于基础题.

9.（2021秋•南岗区校级期末）若a是第三象限的角，则兀4a是第一或三象限角•

【分析】先表示出a的范围，然后表示出兀蒋a的范围，结合l的范围确定终边位置即可.

【解答】解：由题意得，2k兀+兀<a<2k兀二1二，髭z,

所以人兀〈女兀目士，

224

所以r兀+^-<兀总a<-k兀总兀，

当女为偶数时，兀4a是第一象限角，

当k为奇数时，兀4a是第三象限角，

故答案为：一或三.

【点评】本题主要考查了象限角的定义的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.

10.（2021秋•合作市校级期末）设sina<0且tana>0,则a所在的象限是第三象限.

【分析】由于sina<0,故a可能是第三或第四象限角；由于tana>0,故a可能是第一或第三象限角；故

当sinaVO且tana>0时,a是第三象限角.

【解答】解：由于sinaVO,故a可能是第三或第四象限角;

由于tana>0,故a可能是第一或第三象限角.

由于sina<0且lana>0,故a是第三象限角，

故答案为：三.

【点评】本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinaVO时，a是第三或第四象限角；

tana>0时，a是第一或第三象限角，是解题的关键.

四.弧度制（共4小题）

11.（2021秋•平罗县校级期末）将-300°化为弧度为（）

A.4兀B.5兀c.兀D.

3364

【分析】根据角度与弧度的互化公式：i°=」L,代入计算即可.

180

【解答】解：-300°=-3OOX_2L=-且二

1803

故选：B.

【点评】本题主要考查了角度与弧度的互化公式：①2n=360°,②ir=180°,③1=/二，④1。=工,

兀180

属于对基础知识的考查.

12.（2021秋•河北区期末）我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一个

等份是一个密位，那么120密位等于2Lrad.

-25一

【分析】根据6000密位对应的是如弧度，列比例式求出120密位对应的弧度数即可.

【解答】解：由题意知，120密位=WL=2L（弧度）.

600025

故答案为：2L.

25

【点评】本题考查了弧度数的计算问题，是基础题.

13.（2021秋•金华期末）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的

分针转过的弧度数为-4TT.

【分析】根据角的概念及弧度制即可求解.

【解答】解：这场考试中钟表的分针转过的弧度数为2X（-2n）=-4n.

故答案为：-4TT.

【点评】本题主要考查了弧度制的应用，属于基础题.

14.（2021秋•湘西州期末）高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为

71

r一

【分析】根据角的概念及弧度制即可求解.

【解答】解：这场考试中钟表的时针转过的弧度数为-2X2冗="—•

123

故答案为：一三.

3

【点评】本题主要考查了弧度制的应用，属于基础题.

五.弧长公式（共6小题）

15.（2022春•西安期末）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制

（Densepositionsystem）,密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的"~--，即2TT=360°=6000密位.在

6000

密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写

成0-03,123密位写成1-23,设圆的半径为1,那么5-00密位的圆心角所对的弧长为（）

A.—B.—C.—D.—

6432

【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，5-00密位相当于生，再由弧长/=萌，得解.

6

【解答】解：因为1密位等于圆周角的二一，

6000

所以5-00密位的圆心角为50°义2。=工,

60006

又圆的半径为1,

所以弧长/=?Lxi=?L.

66

故选：A.

【点评】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基

础题.

16.（2021秋♦绍兴期末）已知一个扇形圆心角的弧度数为2,该扇形所在圆的半径为2,则该扇形的弧长是

4.

【分析】利用扇形的弧长公式即可求解.

【解答】解：由题意扇形的弧长为/,圆心角大小为a=2（md）,半径为r=2,

则/=ra=2X2=4.

故答案为:4.

【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.

17.（2021秋•福州期末）要在半径OA=60c,〃的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧施的长为50nc〃7,

那么圆心角/AOB=12L.（用弧度表示）

一6一

【分析】由弧长公式/=aR,即可得解.

【解答】解：由题意知，弧长/=50TT,半径R=60,

所以圆心角a=L=旦巴=旦［.

R606

故答案为：12L.

6

【点评】本题考查弧长公式，考查运算求解能力，属于基础题.

18.（2021秋•达州期末）已知在OO中，弧度数为工的圆心角所对的弦长为2VL则这个圆心角所对弧

2

的弧长是1T.

【分析】根据已知条件，结合勾股定理，以及弧长公式，即可求解.

【解答】解：设圆的半径为r,

•.•弧度数为三的圆心角所对的弦长为上反，

2

•••「2+「2=（2让）2=8,解得r=2,

故这个圆心角所对弧的弧长是于X2=兀•

故答案为：TT.

【点评】本题主要考查勾股定理，以及弧长公式，属于基础题.

19.（2022秋•市北区校级月考）古希腊数学家希波克拉底曾研究过下面的几何图形.此图由三个半圆构成,

三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边8C,直角边AB,AC若以AB,AC为直径的两个半圆的弧长

总长度为2m则斜边BC最小值为

【分析】设AB=a,AC=b,由题意可得/7Tr+*Tn:=2Tr,a+b=4.根据勾股定理可得：BC—yja^+^,

利用基本不等式即可求解.

【解答】解：设AB=a,AC=b,

♦.•以48,AC为直径的两个半圆的弧长总长度为2m

则工TT+_l，E=2n,化为：a+b=4.

22

，422后，可得伤W2,当且仅当时等号成立，

■:ZBAC^—,

2

:•BC={@2+匕2=、（a+b）2_?ab=，16-2ab22，亍，当且仅当a-b时等号成立.

故答案为：2后.

【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

20.（2022秋•定远县校级月考）已知圆中一段弧的长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所

对的圆心角的弧度数为_蓊_.

【分析】如图所示，设△ABC的内切圆的半径r=l.在△80。中，区_=8。=―迎—，即可得出.

2tan30°

【解答】解：如图所示，

设△A8C的内切圆与边BC相切于点。，其圆心为。点，半径r=l.

连接08,则08平分/ABC,/.ZOBD=30°.

在ABO0中，区_=8。=—"—=-^,

2tan30°也

3

解得2c=2愿.

•.•圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，

这段弧所对的圆心角的弧度数为2M.

故答案为：273.

【点评】本题考查了三角形的内切圆的性质、正三角形的性质、含30°角的直角三角形的边角关系，属于

基础题.

六.扇形面积公式（共7小题）

21.（2022秋•辽宁期中）一个扇形的弧长为面积为27m则此扇形的圆心角为120度.

【分析】根据面积公式算出半径，再根据弧长公式算出圆心角即可.

【解答】解：设扇形圆心角。，半径R,

则弧长/=8R=6TT,

面积S=LxiXR=3nXR=27m解出R=9,8卫L,

23

故答案为：120.

【点评】本题考查扇形的弧长和面积公式，基础题.

22.（2021秋•西昌市期末）已知扇形圆心角为:，面积为2；cm2,则扇形半径为（）

33

A.B.IcmC.2cmD.4cm

2

【分析】利用扇形的面积即可求出扇形的半径.

【解答】解：设扇形的圆心角大小为a（rad）,半径为r,扇形的面积为S,

可得S=—ra.

2

2兀

2X三

则：/=&_=————=4.解得r=2,

a2L

3

故选：c.

【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

23.（2021秋•蒲泽期末）中国折扇有着深厚的文化底蕴.如图所示，在半径为20cm的半圆。中作出两个

扇形OAB和OCQ,用扇环形ABCC（图中阴影部分）制作折扇的扇面.记扇环形48OC的面积为Si,扇形

A.10(75-l)cnB.10(3-V5)cnC.5(遥+l)cirD.(3+75)cir

【分析】设/AOB=。，半圆。的半径为r,扇形0。的半径为八，由题意结合扇形面积公式可得，号二

（近二1）2,再由r=20cm,即可求出n的值.

2

【解答】解：设NAOB=。，半圆。的半径为r,扇形OC。的半径为八，

S

.•.---1~--V--5----1-

s22

1a2]Q2««

了Sr38、=在」,即上£­

22

±er2r2

2

2

.rl_3-V5^6-275-2,

2

"r2~4-2

•••ri-_A-/5----1,

r2

又r=20c7%,

Ari=10（A/5-I）cm.

故选：A.

【点评】本题主要考查了扇形面积公式，同时考查了学生的计算能力，是基础题.

24.（2021秋•拱墅区校级期末）已知扇形AOB的面积为亚，圆心角为120°,则该扇形的半径为1,

4-2―

弧长为TC.

【分析】由已知利用扇形的面积公式即可求解.

【解答】解：设扇形的半径为r,

因为扇形AOB的面积为亚，圆心角AOB为"，

43

由扇形的面积S=』Ja,可得：12L=lx^xi2L,解得：r=l,

24232

3兀

2X^—

可得扇形的弧长/=至=—六一

rA

2

故答案为：3,TT.

2

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题.

25.（2022•衡山县校级开学）如图，在△ABC中，BC=4,以点4为圆心，2为半径的与BC相切于点

。，交AB于E,交AC于F,点P是0A上的一点，且/EPF=40°,则图中阴影部分的面积是_4一|■兀一（结

【分析】由扇形的面积公式求解即可.

【解答】解：由/EPF=40°,

贝U/EAF/7兀4加

ioUy

又AE=2,

则扇形4EF的面积为工X三兀X■兀，

299

又S2UBC3X4X2=4，

即图中阴影部分的面积是4-&兀，

9

故答案为：4力兀.

9

【点评】本题考查了扇形的面积公式，属基础题.

26.(2022•雨花区校级开学)如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边48是半圆。的直

2

径，半圆3过C点且与半圆Oi相切，则图中阴影部分的面积是-La.

一36㊀-

匕6B

【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆

的半径，从而求阴影部分的面积.

【解答】解：连接。。2,设圆。2的半径为X，如图所示，

OjO^"AO1=A02*,**('y+x)2-(-^)2=(a-x)2,解得尸仔a，

设。01交8c于点。，002交BC于点E,

',-CE=PE—y[2x=^-a,BC=\piAB,8=^~AB=fa'

..S阴影=SAADC-S&CEP——*AD——‘CE'PE

=1V21V2=52

-yX—a-a-^-X—a-a--a'

故答案为：_L2.

36

:4

AOiB

【点评】本题的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形PED4的面积，也用了割补法

求面积，培养学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.

27.（2022•弋江区校级开学）如图，在扇形AO8中，NAO8=120°,连接AB,以04为直径作半圆C交

AB于点D.

（1）过点。作的垂线，垂足为E,求证：CE与半圆C相切；

（2）若OA=6,求图中阴影部分的面积.

AC0

【分析】（1）连接CD.通过求出NAOC和N8OE得出NCOE后可证明切线；

（2）由扇形AO8面积减去△AOB面积，再减去半圆中弓形AO面积可得阴影部分面积.

【解答】解：（1）证明：连接CQ,

"：OA=OB,/AOB=120°,

：.ZOAB=ZOBA=30°

•:DEL0B,:.NBED=90°,

AZBDE=60,1,

'：CD=CA,

，NAOC=NA=30°,

；.NCDE=90°,

...DE与半圆C相切.

（2）解：连接OD,

,：0A为圆C的直径，

：.ODLAB,：.AD=DB,

"：OA=OB,NAOB=120°,：.ZOAD=30°,

由勾股定理，得AD=7OA2-OD2=3V3,

•4•AA0BdK)>^^j-XABX0D=9V3>

VOC=CA,BD=DA,

•••CD//OB,C吟0B，

...NACO=NAOB=120°,△AC。的面积S』X^AOB的面积=会巨，

44

.•.阴影部分的面积=12QKX62-AAQB的面积-(120冗X32ACD

的面积）=

360360

【点评】本题考查了平面几何的证明以及与扇形有关的面积的计算问题，属于中档题.

七.任意角的三角函数的定义（共5小题）

28.（2021秋•光明区期末）角a的终边经过点（-3,4）,则“scos--1-）的值为（）

A.2B.2C.D.-2_

551010

【分析】利用诱导公式，二倍角公式化简所求式子可得Losa,再由任意角的三角函数的定义，得解.

2

【解答】解：©os（巴cos（二--三）=cos（―+—）cos（A+2L-2L）=cos（A+2L）sin

cosi24''24'2424224

（旦+三）=Lin（a+匹）=L0sa=^XW=-

242222510

故选：c.

【点评】本题考查三角函数的化简与求值，熟练掌握诱导公式，二倍角公式，任意角的三角函数的定义是

解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

（多选）29.（2021秋•秦皇岛期末）已知点P（机，-2m）（机£0）是角a终边上一点，则（）

=

A.tana=-2B.C0SQ~^~仁sinacosa<0D.sinacosa>0

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tana,再利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数

基本关系式即可求解.

【解答】解：根据P（如-2〃?）（znWO）是角a终边上的一点，

可得：tana=二型=-2,故A正确，

m

当n?VO时，cosa=.m<0,故3错误,

22

7m+4m

又tana=si"。V。可得sinacosa<0,可得C正确，。错误.

cosa

故选：AC.

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题.

30.（2022秋•兴庆区校级月考）已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M（l,r后）为

其终边上一点，则cos2a=__A_.

【分析】易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解.

【解答】解：：M（1,-V3）,

OM=yj12+（-5/3）2=2.

/.cos2a=l-2sin2a=1-2X(二〃)2=-

故答案为：

2

【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题.

31.（2022秋•海淀区校级月考）己知角a的终边经过点（3,4）,将角a的终边绕原点。顺时针旋转三得

到角p的终边，则tanp=__J-_

【分析】先由条件求出tana,再根据角的旋转及诱导公式能求出结果.

【解答】解：的终边经过点尸（3,4）,

•♦tana=~^",

3

TTO

/.tanP=tan(a+----)=-cota=—-

24

故答案为：-3.

4

【点评】本题考查诱导公式、角的旋转等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

32.（2022春•扶沟县校级期末）已知角。的终边经过点（F,-722）,则cos（9

【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解.

【解答】解：因为角。的终边经过点（加，-V22）,

所以sinB=7=-丫22,

J(“—+(-怎产5

由题意得cos

故答案为：二回.

5

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思

想，属于基础题.

八.三角函数值的符号(共2小题)

33.(2022•锦江区校级开学)请你借助画图和计算来判断sinA的取值范围(A为锐角)()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-1,1)D.[-1,1]

【分析】根据三角函数线，数形结合即可求解.

【解答】解：如图，在单位圆中角A的终边为。H设。户与单位圆的交点为P,

过尸作PMLx轴，垂足点为

则sinA为有向线段而的值,

由于A为锐角，.•.而方向始终指向y轴正半轴,

sinA=|MP|,

当A=0时，M与尸重合，sinA=|MP|=0,

当4=三时，M与尸重合，siM=|MP|=|O尸|=1,

2

二当A为锐角时，sinAe(0,1),

【点评】本题考查三角函数线的应用，数形结合思想，属基础题.

34.(2021秋•巫山县校级期末)给出下列各式的值：①sin5；@coslOO°-sin100°；③tan(-10)；©sinl

-cosl其中符号为负的是（）

A.①B.②④C.①③④D.①②③

【分析】由已知结合三角函数的定义分别检验各三角函数值符号即可判断.

【解答】解：根据三角函数定义可知①sin5<0；②cosl00°-sin100°<0；③tan（-10）=-tan（10-3n）

<0；®sinl-cosl>0.

故选：D.

【点评】本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题.

九.单位圆与周期性（共1小题）

35.（2021秋•沙市区校级期末）已知角a的终边与单位圆相交于点尸（sin"-，cos口兀）,则sina=（）

66

A.-近B.-Ac.AD.近

2222

【分析】利用单位圆的性质求解.

【解答】解：I•角a的终边与单位圆相交于点P（sin旦工，cos』"），

66

.,.sina=cos"兀=cos（2兀=cos-^-=^^-.

6662

故选：D.

【点评】本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意单位圆的性质的灵活运用.

一十.诱导公式（共3小题）

36.（2021秋•河东区期末）已知cos（n-a）=-生则sin（a+?L）=)

52

A.3B.AC.-3D.4

555

【分析】由已知利用诱导公式即可求解.

【解答】解：；cos（n-a）=-―,

5

，cosa=9

5

..sin(a+--兀--)、=cosa=-±4-

25

故选：B.

【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

25K

37.（2021秋•新泰市校级期末）sin•

62

【分析】由诱导公式可得sir^^=sin（41T+2L）=sin匹，由特殊角的三角函数可得答案.

51X1666

【解答】解：由诱导公式可得

sirr^^=sin(4n+?)

6b

=sin2L=l

62

故答案为工

2

【点评】本题考查诱导公式的应用，属基础题.

7TQK

sin（CI—）cos（o-a）tan（2兀-a）

38.（2021秋•天心区校级期末）已知f（a）=----------J-------T-----：------：--------

tan（-CL-7T）sin（兀+a）

(1)若a是第三象限角，sina=-A,求/(a)的值;

5

(2)若a=/^，求/(a)的值.

【分析】利用诱导公式化简/(a)得到最简结果,

(1)由a为第三象限，sina的值小于0,得到cosa的值小于0,由sina的值，利用同角三角函数间的基

本关系求出cosa的值，即可确定出/(a)的值；

(2)将a的度数代入/(a)中，利用诱导公式化简即可得到结果.

［解答］解：/(a)=.cos°"("ina)」(-tan0)=_cosa,

-tanCL•(-sina)

(1)是第三象限角，sina=-A<0,

5

/.cosa<0,

•••c°sa=-Vl-sin2a='邛^

b

则f(a)=-cosa=—；

(2)将a=-.J4n代入得:/(-与2L)=-cos(-:弘兀-)=-cos(1ln+2L)=-cos(n+2L)=cos2L

333333

=工

~2

【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关

键.

一十一.运用诱导公式化简求值(共12小题)

tan（兀-a）cos（2兀-a）sin（-a+„）

39.（2022秋•霞浦县校级期中）化简：------------:--------------:-------------?_的值为（）

cos（-a-71）sin（-兀-a）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】由题意利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简求解.

［解答］解：原式=-tana・cosaY-cosa)=7.

-cosawsinCL

故选：B.

【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思

想，属于基础题.

(多选)40.(2021秋•巫山县校级期末)下列命题中正确的是()

A.若角a是第三象限角，则工可能在第三象限

3

0,3兀、/5兀、

B-cos(―^―-CL)+cos(—+1)=0

C.若tana<0且sina>0,则a为第二象限角

D.若角a的终边经过点P(-1,),则cosa=-通-

2

【分析】运用象限角知识，诱导公式，三角函数的定义等知识对四个选项逐一分析可得答案.

【解答】解：A.若角a是第三象限角，即2内r+nVaV2Kr+士TT,ZCZ,所以三■Kr+Ln：vU-<CKT+」n,kWZ,

233332

当k=3〃，〃ez时，旦为第一象限角，

3

当k=3〃+1,，£Z时，旦为第三象限角，

3

当《=3"+2,时，巴为第四象限角，所以上可能在第三象限，正确，

33

B.由诱导公式可得cos(—TT-a)+cos(-$n+a)=-sina+sina=0,所以正确，

22

C.若tana<0,则a为第二象限或第四象限角，若sina>0,则a为第一象限角或第二象限角，

同时满足两条件可得，若tana<0且sina>0,则a为第二象限角，正确，

D.若角a的终边经过点P(T,一如),则cosa=［---------A==_=-上，故错误.

22

7(-l)+(-V3)2

故选：ABC.

【点评】本题考查了象限角，诱导公式，三角函数的定义等知识，考查定义和运算能力，属于中档题.

41.(2022秋•永川区校级月考)已知点P(1,2)为角a终边上的一点.

(1)求sina+2cosa的值；

兀

sin(2兀-a)cos(兀+a)cos(-y-a)

(2)求--------------------------------左------的值.

cos(n-a)sin(a-兀)sin(-?)

【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义求出sina,cosa,从而计算可得结论;

（2）求出tana,利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可求值.

【解答】解：（1）因为尸（1,2）,所以|op|1^+2^=V5,

所以由任意角的三角函数的定义可得sinacosa=-^-

所以sinJ+2cosCl=*