高考理科数学知识点-随机变量及其概率分布

随机变量及其概率分布1．某中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为2,4,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的概率分布和期望．解(1)由已知得P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,45).所以事件A发生的概率为eq\f(14,45).(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(13,45)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,45).所以随机变量X的概率分布为X012Peq\f(13,45)eq\f(8,15)eq\f(8,45)随机变量X的期望为E(X)＝0×eq\f(13,45)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(8,45)＝eq\f(8,9).2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝eq\f(2,3)，乙的命中率为P2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P2＝eq\f(1,2)，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E(ξ)≥5，求P2的取值范围．解(1)所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(1,2)·\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,2)))＝eq\f(1,3).(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))[Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))Peq\o\al(2,2)＝eq\f(8,9)P2－eq\f(4,9)Peq\o\al(2,2).而ξ～B(12，P)，所以E(ξ)＝12P，由E(ξ)≥5知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)P2－\f(4,9)P\o\al(2,2)))·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤eq\f(5,4).又0≤P2≤1，∴eq\f(3,4)≤P2≤1.3．从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m个．(1)若m＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及期望E(ξ)．解(1)当m＝1时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P(A)＝eq\f(31－7＋3,31)＝eq\f(21,31).(2)当所取非空子集的元素的个数为1时，非空子集的个数为Ceq\o\al(1,5)＝5，当所取非空子集的元素的个数为2时，非空子集的个数为Ceq\o\al(2,5)＝10，当所取非空子集的元素的个数为3时，非空子集的个数为Ceq\o\al(3,5)＝10，当所取非空子集的元素的个数为4时，非空子集的个数为Ceq\o\al(4,5)＝5，当所取非空子集的元素的个数为5时，非空子集的个数为Ceq\o\al(5,5)＝1.∴当m＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,10)＋C\o\al(2,10)＋C\o\al(2,5),C\o\al(2,31))＝eq\f(110,465)＝eq\f(22,93)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(1,10)＋C\o\al(1,10)·C\o\al(1,10)＋C\o\al(1,10)·C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,5)·C\o\al(1,1),C\o\al(2,31))＝eq\f(205,465)＝eq\f(41,93)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(1,10)＋C\o\al(1,10)·C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,10)·C\o\al(1,1),C\o\al(2,31))＝eq\f(110,465)＝eq\f(22,93)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,10)·C\o\al(1,1),C\o\al(2,31))＝eq\f(35,465)＝eq\f(7,93)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(1,1),C\o\al(2,31))＝eq\f(5,465)＝eq\f(1,93).所以ξ的概率分布为ξ01234Peq\f(22,93)eq\f(41,93)eq\f(22,93)eq\f(7,93)eq\f(1,93)所以ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(22,93)＋1×eq\f(41,93)＋2×eq\f(22,93)＋3×eq\f(7,93)＋4×eq\f(1,93)＝eq\f(110,93).4．(2019·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港模拟)现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样表2所示．表1文章学习积分12345概率eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,9)eq\f(1,6)eq\f(1,2)表2视频学习积分246概率eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及期望．解(1)由题意知，获得的积分不低于9分的情形有文章3455视频6646因为两类学习互不影响，所以概率P＝eq\f(1,9)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，所以每日学习积分不低于9分的概率为eq\f(5,9).(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)知，每个人积分不低于9分的概率为eq\f(5,9)，P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))3＝eq\f(64,729)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(240,729)＝eq\f(80,243)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))＝eq\f(100,243)；P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))3＝eq\f