九年级数学上册 第二十六章　解直角三角形 单元测试卷（冀教版 2024年秋）

九年级数学上册第二十六章解直角三角形单元测试卷（冀教版2024年秋）一、选择题(每题3分，共36分)1．(母题：教材P107做一做)cos45°的值为()A．eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)2．[2023·攀枝花]△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4) C．eq\f(4,5) D．eq\f(4,3)3．[2024·石家庄市第四十中学期中]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4) C．eq\f(\r(10),5) D．14．[2022·锦州]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于eq\f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为()A．eq\f(7,4) B．eq\f(9,4) C．eq\f(15,4) D．eq\f(25,4)5．[2024·石家庄第十七中学期中]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为()(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3) C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)7．如图，在矩形ABCD中，AB＝60cm，∠AOD＝90°，设∠DAO＝α，若AO＝100cm，则点O到BC的距离OE是()A．(60＋100sinα)cmB．(60＋100cosα)cmC．(60＋100tanα)cmD．以上选项都不对8．(母题：教材P118例2)如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10m，坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为()A．26m B．28m C．30m D．46m9．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为()A．eq\f(8\r(6),3) B．4eq\r(3) C．eq\f(8\r(2),3) D．4eq\r(2)10．[2024·石家庄第四十一中学期中]如图①是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm(如图②)，边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(60eq\r(3)＋8)cm B．(60eq\r(2)＋8)cmC．64cmD．68cm11．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝eq\f(3,5)，则下列结论中正确的有()①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2eq\r(10)cm.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．[2022·荆州]如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OCBC＝12，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(1,3) D．3二、填空题(每题3分，共12分)13．[2024·石家庄第九中学期中]sin30°＋eq\r(2)cos45°＝________.14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5，则tanB的值为________．15．如图，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，则AC的长为________，△ABC的面积为________．16．[2023·衢州]下面是勾股定理的一种证明方法：图①所示纸片中，∠ACB＝90°(AC<BC)，四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图②.(1)若cos∠ABC＝eq\f(3,4)，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________；(2)若eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(19,15)，则eq\f(BK,AK)＝________.三、解答题(第17～22题每题10分，第23题12分，共72分)17．计算：(1)tan30°cos60°＋tan45°cos30°；(2)[2023·盐城]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＋4cos60°－(5－π)0.18．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝2eq\r(3)，∠A＝30°，求∠B，a，b；(2)已知a＝5eq\r(6)，∠A＝45°，求∠B，b，c.19．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求AD的长．20．[2024·石家庄市第四十一中学期中]图①是某款篮球架，图②是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5m，AD＝0.8m，∠AGC＝32°.(1)求∠GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3m处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)21．如图，湖边A，B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A，B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80m，求A，B两点之间的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)22．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短的边长为1，△ABC的顶点都在格点上．(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；(2)在(1)的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．23．【初建模型】(1)如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE.求证：BD＝CE.分析：要证明BD＝CE，我们可以通过________(只填序号)的方法证明△ADB和△AEC全等即可．①SSS ②ASA ③AAS ④SAS【类比探究】(2)如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE.请你写出BD与CE的数量关系，并说明理由．【拓展提升】(3)如图③，在图②的基础上，延长BD，交AC于点F，交CE的延长线于点G，求sinG的值．

答案一、1．C2．C3．B4．D【点拨】设MN与AC的交点为O，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(82＋62)＝10.∴cos∠CAD＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).又由作图知MN为AC的垂直平分线，∴∠MOA＝90°，AO＝eq\f(1,2)AC＝5.∴在Rt△AOE中，cos∠EAO＝eq\f(AO,AE).∵cos∠CAD＝cos∠EAO,∴eq\f(5,AE)＝eq\f(4,5).∴AE＝eq\f(25,4).5．B6．D【点拨】根据题意可得AB＝4，AF＝AD＝BC＝5，∠AFE＝∠D＝∠B＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝∠EFC＋∠AFB．∴∠BAF＝∠EFC．∴cos∠EFC＝cos∠BAF＝eq\f(AB,AF)＝eq\f(4,5).故选D．7．A8．D【点拨】过点B作AD的垂线，垂足为E.∵坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，∴AE＝1.5BE＝18m.∴易得AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m).9．A【点拨】如图，分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则有sinB＝sin45°＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(2),2)，易知DF＝AE，∴DF＝eq\f(\r(2),2)AB＝4eq\r(2).∵∠DCF＝180°－∠BCD＝60°，∴sin∠DCF＝sin60°＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(\r(3),2).∴CD＝eq\f(DF,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(2),\f(\r(3),2))＝eq\f(8\r(6),3)，故选A．10．D【点拨】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图．∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AC＝30cm.同理可得BF＝30cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为30＋8＋30＝68(cm)．故选D．11．C【点拨】∵菱形ABCD的周长为20cm，∴菱形的边长AB＝AD＝20÷4＝5(cm)．∵DE⊥AB，sinA＝eq\f(3,5)，∴DE＝5×eq\f(3,5)＝3(cm)，故①正确；∵AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(52－32)＝4(cm)，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，故②正确；菱形的面积＝AB·DE＝5×3＝15(cm2)，故③正确；在Rt△BDE中，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)(cm)，故④错误．综上所述，正确的有①②③，共3个．12．C【点拨】∵点P坐标为(1，1)，∴OP与x轴正方向的夹角为45°.又∵OP∥AB，∴∠BAO＝45°.又∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB．设OC＝x，则BC＝2OC＝2x，∴OA＝OB＝3x，∴tan∠OAP＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3).二、13．eq\f(3,2)【点拨】原式＝eq\f(1,2)＋eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).14．eq\f(12,5)15．eq\r(3)；eq\f(3\r(2),2)【点拨】如图，过点A作AD⊥BC．在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,3)，AB＝3，∴AD＝AB·sinB＝1.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).在Rt△ACD中，tanC＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(\r(2),2).又∵AD＝1，∴CD＝eq\r(2).∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(3\r(2),2).16．(1)9(2)eq\f(25,9)【点拨】(1)设剪裁线的交点为T，过C作CM⊥AB于M，如图．∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT.∵cos∠ABC＝eq\f(3,4)，∴cos∠BCT＝eq\f(3,4)，即eq\f(CT,BC)＝eq\f(3,4).∴CT＝eq\f(3,4)BC．∵∠ACM＝90°－∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝eq\f(3,4)，即eq\f(CM,AC)＝eq\f(3,4).∴CM＝eq\f(3,4)AC．∴CT·CM＝eq\f(3,4)BC·eq\f(3,4)AC＝eq\f(9,16)BC·AC．∵△ABC的面积为16，∴eq\f(1,2)BC·AC＝16.∴BC·AC＝32.∴CT·CM＝18.易知BT＝CM，∴纸片Ⅲ的面积为eq\f(1,2)CT·BT＝eq\f(1,2)CT·CM＝9.(2)如图，设CT的延长线交BF于点W，BT的延长线交GF于点N.∵eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(19,15)，∴eq\f(NT,BT)＝eq\f(19,15).设NT＝19t，则BT＝15t，∴BN＝34t.∵∠FBN＝90°－∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW(ASA)．∴CW＝BN＝34t.∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT.∴eq\f(BT,WT)＝eq\f(CT,BT).∴CT·WT＝BT2.∴CT·(34t－CT)＝(15t)2，解得CT＝9t或CT＝25t.当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；当CT＝25t时，WT＝9t，∵BK＝CT，AK＝WT，∴eq\f(BK,AK)＝eq\f(25,9).三、17．【解】(1)原式＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3).(2)原式＝2＋4×eq\f(1,2)－1＝3.18．【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴a＝c·sinA＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，b＝c·sinB＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.∴b＝a＝5eq\r(6).∴c＝eq\r(a2＋b2)＝10eq\r(3).19．【解】(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝eq\f(BE,AB)，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6×tan60°＝6eq\r(3).在Rt△CDE中，∵CD＝4，sinE＝eq\f(CD,CE)，∠E＝30°，∴CE＝eq\f(CD,sinE)＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq\r(3)－8.(2)∵在Rt△ABE中，sinA＝eq\f(4,5)＝eq\f(BE,AE)，∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(6,8)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(4,DE).∴DE＝eq\f(16,3).∴AD＝AE－DE＝10－eq\f(16,3)＝eq\f(14,3).20．【解】(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°.又∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－32°＝58°.(2)该运动员能挂上篮网，理由如下：如图，延长OA，ED交于点M，∵OA⊥OB，DE∥OB，∴∠DMA＝90°.又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝32°.在Rt△ADM中，AM＝AD·sin32°≈0.8×0.53＝0.424(m)，∴OM＝OA＋AM≈2.5＋0.424＝2.924(m)<3m.∴该运动员能挂上篮网．21．【解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80m，sin∠DAC＝eq\f(CD,AC)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，∴CD＝AC·sin37°≈80×0.60＝48(m)，AD＝AC·co