河南省新乡市2024-2025学年高二数学上学期第一次月考试题

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考时长：120分钟满分：150分一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（）．A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相等的离心率2．己知向量，若三向量共面，则实数（）A．B．2C．D．33．已知两点，直线l过点且与线段有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知空间三点，则C到直线的距离为（）A．1B．2C．3D．55．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（）A．B．C．D．56．若直线与曲线有两个交点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．7．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和，且．记，若，则（）A．B．C．D．8．设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（）A．4B．10C．5D．11．若双曲线的左、右焦点分别为，点P为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（）A．有最大值4B．有最小值2C．为mD．为12．己知圆和两点．若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______________．14．的三个顶点分别是，则的外接圆的方程为_______________．15．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段和分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，则平面与平面夹角的余弦值为_______________．16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．很多人从纯几何的角度动身对这个问题进行过探讨，其中比利时数学家Germinaldandelin（1794-1847）的方法特别奇妙，极具创建性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为_______________．三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知正方体，求证：（1）平面平面；（2）平面．18．（12分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线的方程．19．（12分）已知点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且满意P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当D为中点时，求面与面所成的二面角的正弦值．21．（12分）已知圆．（1）若圆的圆心为，且圆与圆C公共弦所在直线经过点，求圆的方程；（2）O为坐标原点，在x轴上是否存在定点A（不同于点O），满意对于圆C上任一点P都有为一常数？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切．O为坐标原点．（当两圆相切时，规定切点为同时与两圆相切的点圆．）（1）若求圆心P的