新教材适用2024-2025学年高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质素养作业新人教A版必修第二册

第8章8.68.6.3第2课时A组·素养自测一、选择题1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1交A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(D)A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以依据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直．2．已知空间中a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(D)A．a⊂α，b⊂β，α∥β⇒a与b异面B．β⊥α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥βC．a⊥α，a⊥b⇒b∥αD．a⊥α，b⊥α⇒a∥b[解析]因为a⊂α，b⊂β，α∥β，可得a与b异面或平行，故A错误；因为β⊥α，α∩β＝b，a⊥b，但不确定a与α的位置关系，故无法确定a与β是否垂直，故B错误；因为a⊥α，a⊥b，可得b∥α或b⊂α，故C错误；因为a⊥α，b⊥α，依据线面垂直的性质可得a∥b，故D正确；故选D.3．(2024·昆明高一检测)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(A)A．l∥β或l⊂β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m[解析]直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，A正确；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴B错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交或m⊂α或m∥α，∴C错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，∴D错误．故选A.4．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(B)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α[解析]由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.5．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(B)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，PD⊂平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.二、填空题6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是_平行__.[解析]因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.7.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝eq\r(5).[解析]∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).8.如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为_6__.[解析]∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．三、解答题9．如图，AE，CD都垂直于平面ABC，平面BCD⊥平面BDE，且BC＝CD＝2AE，F为BD的中点，求证：(1)EF∥平面ABC；(2)EF⊥平面BCD.[证明](1)如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG，因为F为BD的中点，FG为△BCD的中位线，所以FG∥CD，FG＝eq\f(1,2)CD，又因为AE，CD都垂直于平面ABC，且CD＝2AE，所以AE∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，所以FG∥AE，FG＝AE，所以四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG，又因为EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)连接CF，因为BC＝CD，F为BD的中点，所以CF⊥BD，又因为平面BCD⊥平面BDE，平面BCD∩平面BDE＝BD，CF⊂平面BCD，所以CF⊥平面BDE，因为EF⊂平面BDE，所以CF⊥EF，因为CD⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，所以CD⊥AG，又因为EF∥AG，所以CD⊥EF，因为CF∩BD＝F，且CF，BD⊂平面BCD，所以EF⊥平面BCD.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，∵PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.∵F，G分别为PB和PC的中点，∴FG∥BC，且FG＝eq\f(1,2)BC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴ED∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.B组·素养提升一、选择题1．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部[解析]连接AC1.∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.2．把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为(A)A．4 B．4eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)[解析]如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以∠AOC＝90°；又AO＝CO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以AC2＝AO2＋CO2＝8＋8＝16，所以AC＝4，即空间四边形ABCD的对角线AC＝4.3．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为eq\f(π,4)和eq\f(π,6).过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于(A)A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3[解析]由已知条件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，设AB＝2a，则BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.二、填空题4．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于eq\r(6).[解析]如图，取CD的中点G，连接MG，NG.因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG⊂平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).5．(2024·山东师范高校附属中学期中)在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形态是直角三角形.[解析]如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD，又∵BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC.∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，而AB⊂平面ABD，所以BC⊥AB.即△ABC为直角三角形．三、解答题6．(2024·江西新余期末)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1.(1)求证：平面BD1C1⊥平面A1B1CD；(2)在棱AB上是否存在一点M，使D1B⊥平面MB1C？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1.∵B1C⊂平面BCC1B1，∴D1C1⊥B1C，∵BC＝CC1＝1，∴四边形BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1.又BC1∩D1C1＝C1，∴B1C⊥平面BD1C1.∵B1C⊂平面A1B1CD，∴平面BD1C1⊥平面A1B1CD.(2)假设在棱AB上存在点M，使D1B⊥平面MB1C.连接BD交MC于点O.∵CM⊂平面MB1C，∴D1B⊥CM.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD.∵CM⊂平面ABCD，∴D1D⊥CM.又D1D∩D1B＝D1，∴CM⊥平面BDD1.∵BD⊂平面BDD1，∴CM⊥BD.∵四边形ABCD为矩形，∴△ABD∽△BCM，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,BM)，设AM＝m(0<m<2)，则eq\f(2,1)＝eq\f(1,2－m)，∴m＝eq\f(3,2).∴在棱AB上存在点M，使