2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换二分层演练新人教A版必修第一册

5.5三角恒等变换5.5.2简洁的三角恒等变换第2课时简洁的三角恒等变换（二）A级基础巩固1.函数f(x)=cos2(x+π4),x∈R,则f(x) (A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数答案:D2.函数f(x)=sinx-3cosx可化简为 (A.2sin(x-π3B.2sin(x+π3C.2sin(x-π6D.2sin(x+π6答案:A3.设a=12cos6°-32sin6°,b=2sin13°·cos13°,c=1-A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a答案:C4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则∠AEH=π12或5π解析:设∠AEH=x,正方形钢板的边长为a,截后正方形的边长为b,则a2b2=32,ab又因为a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=62,所以sin(x+π4)因为0<x<π2,所以π4<x+π4所以x+π4=π3或x+π4=2π3,所以x=即∠AEH=π12或5π5.已知函数f(x)=(sin(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sinx≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.因为f(x)=(=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=2sin(2x-π4)所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π(2)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(得kπ-π8≤x≤kπ+3π8,x≠kπ(k所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+3π8](k∈B级实力提升6.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值是 (A.1 B.2C.3+1 D.3+2解析:f(x)=(1+3tanx)·cosx=(1+3sinx=3sinx+cosx=2sin(x+π6)因为0≤x<π2,所以π6≤x+π6所以当x+π6=π2时,f(x答案:B7.(2024年佛山顺德区月考)已知tanα=2,则sin2αA.15 B.C.35 D.解析:由tanα=2,可知sin2α+cos2αsin2答案:A8.函数f(x)=sin2xcosx1-sin解析:f(x)=2sinxcos2x1-sinx=2sinx(1令sinx=t,则t∈[-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=2(t+12)2-12,故当t=-12时,函数g(t)取得最小值-12;当t的值趋于1时,g(t)的值趋于4,故函数g(t)的值域为[-12,4),所以f(x)∈9.多空题如图,有半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,则当α为π4时,矩形的面积最大,最大面积的值为1解析:因为OP=1,∠SOP=α,所以SP=sinα,OS=cosα,所以S矩形PQRS=sinα×2cosα=sin2α,所以当α为π4时,S矩形PQRS最大,最大值为1C级挑战创新10.如图,矩形ABCD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.解:如图,过点B作BH⊥OA,垂足点为点H.设∠OAD=θ(0<θ<π2),则∠BAH=π2OA=23cosθ,BH=sin(π2-θ)=cosθAH=cos(π2-θ)=sinθ所以点B的坐标为(23cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(23cosθ+sinθ)