专题01数的整除(原卷版+解析)

专题01数的整除一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．0是最小的自然数 B．16的最大因数是8C．5的最大倍数是25 D．15既能被2整除，也能被5整除2．一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．183．下列说法正确的是（

）A．因为60÷15=4，所以60是倍数，15是因数B．因为3.6÷1.2=3，所以3.6能被1.2整除C．任意两个正整数的乘积一定等于它们的最大公因数与最小公倍数的积D．一个分数的分母中若含有除了2和5之外的其他素因数，那么它不能化成有限小数4．下列说法正确的（）A．30能被2整除，不能被5整除B．自然数和负整数统称为整数C．51是素数D．最小的自然数是15．8和16的最大公因数是（

）A．2 B．4 C．8 D．166．已知和都是自然数，且，那么和的最小公倍数是（

）A．1 B． C． D．7．下例各组数中，互素数有（

）3和5；6和9；14和15；1和18．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组8．下面说法中，正确的语句是（

）A．3.6能被1.8整除B．互素的两个正整数没有公因数C．1既不是素数也不是合数D．任意一个数a的倒数是9．小明家的卫生间地面是一个边长为42分米的正方形，如果在地面上铺地砖，下面地砖正好可以铺满地面的是

（

）A．长6分米，宽5分米的长方形地砖 B．长5分米，宽3分米的长方形地砖C．长7分米，宽6分米的长方形地砖 D．边长为8分米的正方形地砖10．幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有（

）个小朋友．A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题11．18的因数有_____个．12．10至30中，有____个素数．13．把78分解素因数是______．14．如果两个素数的和是33，那么两个素数的积为___．15．在61、71、81、91这四个数中，合数是：_____．16．已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，则A与B的最小公倍数是______．17．将一个两位数的素数的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位数的素数，那么这样的素数有___个．18．已知一个六位数：，其中A既不是素数，也不是合数；B是10以内最大的数；C是最小的素数；D是10以内最大的奇数；E的倒数等于它本身；F是最小的自然数；则这个六位数是_________．三、解答题19．分解素因数(1)102；(2)114．20．用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数．21．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．(1)42和63；(2)46和92；(3)13和52；(4)84和210．22．在圈内填上满足条件的数．23．求下列各组数的最小公倍数是．（1）15、18、24；（2）6、4、16；（3）10、15、12．24．妈妈在商店买了8个相同的碗，每个碗6元．妈妈付了50元，营业员找给妈妈5元，这样对吗？为什么？25．如果某个小于100的正整数同时具备下列条件：①这个数与1的差是素数；②这个数被2除所得的商也是素数；③这个数除以9的余数是5．那么我们称这样的数是幸运数．在那么两位数中，最大的幸运数是几？26．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友，按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有几个小朋友．27．小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？28．小明房间的墙壁上挂着一种“布谷鸟”闹钟，小明经过仔细观察发现每整点“布谷鸟”鸣叫一次，且每走9分钟亮一次灯，某天中午12点它既鸣叫又亮灯，问下一次既鸣叫又亮灯是在几点几分?29．进口博览会期间，甲、乙两家广播电台在每天早晨8：00同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播广告3分钟；乙台每播报15分钟新闻后插播广告3分钟，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问：(1)早间新闻播报几点结束？(2)早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了几分钟广告？30．一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”.如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”.(1)243“精巧数”（填是或不是）；3246“精巧数”（填是或不是）；(2)若四位数是一个“精巧数”，请直接写出的值．专题01数的整除一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．0是最小的自然数 B．16的最大因数是8C．5的最大倍数是25 D．15既能被2整除，也能被5整除答案:A分析：根据最小自然数，最大因数，倍数，因数逐项分析判断即可解析：A.0是最小的自然数，故该选项正确，符合题意；B.16的最大因数是16，故该选项不正确，不符合题意；C.5的最大倍数不存在，故该选项不正确，不符合题意；

D.15既能被3整除，也能被5整除，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了最小自然数，最大因数，倍数，因数，掌握以上知识是解题的关键．2．一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．18答案:B分析：由于6=2×3，8=2×2×2，则这个数能被12整除．解析：解：由6=2×3，8=2×2×2，∴一个数能被6整除，又能被8整除，∴这个数能被12整除；故选：B．【点睛】本题主要考查求两个数的最大公约数的方法，解决此题关键是理解整除的含义．3．下列说法正确的是（

）A．因为60÷15=4，所以60是倍数，15是因数B．因为3.6÷1.2=3，所以3.6能被1.2整除C．任意两个正整数的乘积一定等于它们的最大公因数与最小公倍数的积D．一个分数的分母中若含有除了2和5之外的其他素因数，那么它不能化成有限小数答案:C分析：根据因数和倍数的定义：如果一个自然数a能被另一个自然数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数，进行逐一判定即可．解析：解：A、因为60÷15=4，所以60是15的倍数，15是60的因数，故此选项不符合题意；B、因为必须是两个整数相除才能说是整除，故此选项不符合题意；C、两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有因数的连乘积，故此选项符合题意；D、如中，分母30中含有2和5两个素因数以外，还含有3这个素因数，但是它能化成有限小数0.5，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了因数和倍数的定义，熟知定义是解题的关键．4．下列说法正确的（）A．30能被2整除，不能被5整除B．自然数和负整数统称为整数C．51是素数D．最小的自然数是1答案:B解析：解：A.30能被2整除，也能被5整除，原选项不正确，不符合题意；B.自然数和负整数统称为整数，原选项正确，符合题意；C.51=17×3，不是素数，原选项不正确，不符合题意；D.最小的自然数是0，原选项不正确，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了整除、整数和素数，解题关键是明确相关定义，准确进行判断．5．8和16的最大公因数是（

）A．2 B．4 C．8 D．16答案:C分析：先分别找出8和24的因数，然后根据最大公因数的概念即可求得答案．解析：解：8的因数有1、2、4、8，16的因数有1、2、4、8、16，所以8和16的最大公因数是8，故选：C．【点睛】本题考查了最大公因数，熟练掌握最大公因数的概念以及求解方法是解题的关键．6．已知和都是自然数，且，那么和的最小公倍数是（

）A．1 B． C． D．答案:D分析：根据得出，互质即可解决问题．解析：解：，，互质数，和的最小公倍数是：，故选：D．【点睛】本题考查了最小公倍数，两数互质，解题的关键是掌握相关的概念．7．下例各组数中，互素数有（

）3和5；6和9；14和15；1和18．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组答案:C分析：根据互素数的定义，即可得到题目中互素数．解析：解：3和5；14和15；1和18是互素数，共有3组，故选：C．【点睛】本题考查了互质数的定义，互素数一般指互质数，两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数，公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数．8．下面说法中，正确的语句是（

）A．3.6能被1.8整除B．互素的两个正整数没有公因数C．1既不是素数也不是合数D．任意一个数a的倒数是答案:C分析：根据定义逐个分析即可．解析：解：A、整除是两个整数相除，商是整数，余数为0，故3.6能被1.8整除错误，不符合题意．B、互素的两个正整数的公因数有1，故错误，不符合题意．C、1既不是素数也不是合数，故正确，符合题意．D、任意一个非0的倒数才是，故错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了整除的定义、素数的定义，以及倒数的定义，属于基础题．9．小明家的卫生间地面是一个边长为42分米的正方形，如果在地面上铺地砖，下面地砖正好可以铺满地面的是

（

）A．长6分米，宽5分米的长方形地砖 B．长5分米，宽3分米的长方形地砖C．长7分米，宽6分米的长方形地砖 D．边长为8分米的正方形地砖答案:C分析：卫生间边长是42分米，要使地砖正好铺满地面，即要使地砖的长和宽都是42的因数，写出42的因数，选择正确答案即可．解析：42的因数有：1，2，3，6，7，14，21和42．可以铺满地面的是长7分米，宽6分米的长方形地砖．故选：C．【点睛】本题主要考查因数的求解，此题关键在于将地砖正好铺满地面问题转化为求房间长度的因数问题．10．幼儿园的大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有（

）个小朋友．A．6 B．7 C．8 D．9答案:A分析：要求每组最多有几个小朋友，即要求大班、中班、小班人数的最大公因数，求出最大公因数，选出正确答案即可．解析：36、48、54的最大公因数是6，所以每组最多有6个小朋友．故选：A．【点睛】本题主要考查最大公因数的应用，将求解每组最多小朋友的人数转化为求解最大公因数是解题关键．二、填空题11．18的因数有_____个．答案:6分析：根据所有能整除18的数是18的因数，即可．解析：∵所有能整除18的数是18的因数∴18的因数有：1，2，3，6，9，18．∴18的因数有6个．故答案为：6．【点睛】本题考查因数倍数，解题的关键是掌握找准所有能整除18的数．12．10至30中，有____个素数．答案:6分析：找出10到30的素数，再写出个数即可．解析：解：10到30的素数有：11，13，17，19，23，29，总共有6个，故答案为：6．【点睛】本题考查素数的概念，掌握素数的概念是解题的关键．13．把78分解素因数是______．答案:2×3×13分析：根据分解素因数的方法即可得到答案．解析：解：∵78÷2=39，39÷3=13，∴78=2×3×13，故答案为：2×3×13．【点睛】本题考查了分解素因数，解题关键是掌握任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都叫这个合数的因数，这种方法叫分解素因数．14．如果两个素数的和是33，那么两个素数的积为___．答案:62分析：由素数2和31的和为33，可得此题的答案．解析：解：因为2和31都是素数，且2+31=33，所以，这两个素数分别是2和31，那么两个素数的积为：故答案为：62．【点睛】本题考查了素数概念的理解与应用能力，关键是能准确理解、确定素数．15．在61、71、81、91这四个数中，合数是：_____．答案:81，91分析：在自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，据此定义分析即可．解析：解：在61、71、81、91这四个数中，，，，，合数是：81，91，故答案为：81，91．【点睛】本题考查了有理数中的合数概念，掌握分解因数是解题的关键．16．已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，则A与B的最小公倍数是______．答案:6300分析：求两个数的最小公倍数，首先要看这两个数是不是特殊关系，如果两个数是倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数；如果两个是互质数，它们的最小公倍数是两个数的乘积；如果两个数是一般关系，就利用分解质因数的方法解答．解析：解：A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，36和48的最小公倍数是：2×2×3×3×5×5×7＝6300，故答案为：6300．【点睛】本题考查求最小公倍数，掌握求两个数的最小公倍数的方法是解决问题的关键．17．将一个两位数的素数的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位数的素数，那么这样的素数有___个．答案:9分析：将所有两位数中的素数分别验证即可．解析：解：两位数的素数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，而将其十位数字与个位数字对调后11、13、17、31、37、71、73、79、97仍是素数，91、32、92、14、34、74、35、95、16、76、38、98却是合数．故答案为：9【点睛】本题主要考查了素数的定义，熟练掌握仅有两个正因数的的正整数叫做素数是解题的关键．18．已知一个六位数：，其中A既不是素数，也不是合数；B是10以内最大的数；C是最小的素数；D是10以内最大的奇数；E的倒数等于它本身；F是最小的自然数；则这个六位数是_________．答案:192910分析：按照素数，合数和自然数等的相关知识，推理出各个数位上的数即可．解析：∵正整数中，既不是素数，也不是合数的数是1，10以内最大的数是9，最小的素数是2，10以内最大的奇数是9，倒数等于它本身的数是1，最小的自然数是0，∴A是1，B是9，C是2，D是9，E是1，F是0，∴这个六位数是：192910，故答案为：192910．【点睛】本题考查了素数，合数和自然数等，掌握相关定义是解题的关键．三、解答题19．分解素因数(1)102；(2)114．答案:(1)(2)分析：（1）把102表示成几个素因数乘积的形式即可．（2）把114表示成几个素因数乘积的形式即可．(1)102=2×3×17．(2)114=．【点睛】本题主要考查了分解素因数，熟练掌握分解素因数就是把一个合数用素因素相乘的形式表示出来是解题的关键．20．用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数．答案:最大公因数是6；最小公倍数是180．分析：根据最大公因数和最小公倍数的计算方法求解即可．解析：解：用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数：所以18、30和36的最大公因数是2×3＝6；所以18、30和36的最小公倍数是：2×3×3×1×5×2＝180．【点睛】本题考查求最大公因数和最小公倍数，熟练掌握短除法是正确解答的关键．21．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．(1)42和63；(2)46和92；(3)13和52；(4)84和210．答案:(1)42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126(2)46和92的最大公因数是46，最小公倍数是92(3)13和52的最大公因数是13，最小公倍数是52(4)84和210的最大公因数是42，最小公倍数是420分析：（1）用短除法求出最大公因数和最小公倍数；（2）用短除法求出最大公因数和最小公倍数；（3）用短除法求出最大公因数和最小公倍数；（4）用短除法求出最大公因数和最小公倍数．（1）∵7×3＝21，7×3×2×3＝126，∴42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126；（2）∵23×2＝46，23×2×1×2＝92，∴46和92的最大公因数是46，最小公倍数是92；（3）∵13×1＝13，13×1×4＝52，∴13和52的最大公因数是13，最小公倍数是52；（4）∵7×6＝42，7×6×2×5＝420，∴84和210的最大公因数是42，最小公倍数是420；【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，最大公因数和最小公倍数，利用短除法求出最大公因数和最小公倍数是解题的关键．22．在圈内填上满足条件的数．答案:见解析分析：运用分解因数的方法找出9和12的因数，再找出两个数共同的因数即可．解析：【点睛】本题考查了较小的数找因数的方法，以及找两个数公因数的方法．23．求下列各组数的最小公倍数是．（1）15、18、24；（2）6、4、16；（3）10、15、12．答案:（1）360；（2）48；（3）60分析：（1）分别对15、18、24分解素因数，然后可求解；（2）分别对6、4、16分解素因数，然后直接求解即可；（3）分别对10、15、12分解素因数，然后直接求解即可．解析：解：（1），15、18、24最小公倍数为；（2），6、4、16最小公倍数为；（3），10、15、12最小公倍数为．【点睛】本题主要考查最小公倍数，熟练掌握求最小公倍数的方法是解题的关键．24．妈妈在商店买了8个相同的碗，每个碗6元．妈妈付了50元，营业员找给妈妈5元，这样对吗？为什么？答案:不对，应找回2元，理由见解析分析：因为总价＝单价×数量，8个碗，每个碗6元，8和6都是偶数，它们的积也是偶数，50元也是偶数，所以剩下的钱数一定也是偶数，所以不可能是奇数5元．解析：8×6＝48（元）50－48＝2（元）所以找回5元，不对．答：找回5元不对，因为应找回2元．【点睛】本题除了计算出正确的找回钱数，也可以根据数字的奇偶性判断出对错．25．如果某个小于100的正整数同时具备下列条件：①这个数与1的差是素数；②这个数被2除所得的商也是素数；③这个数除以9的余数是5．那么我们称这样的数是幸运数．在那么两位数中，最大的幸运数是几？答案:14分析：先找出满足(3)的这个数，即找出小于100的9的倍数减去5即可，然后再从(3)中找出满足(1)的数，最后从满足(1)的数中找出满足(2)的这个数,据此解答.解析：100以内9的倍数有:9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99,满足(3)这个数除以9的余数是5的有:14、23、32、41、50、59、68、77、86、95，满足(1)这个数与1的差是质数:14、32、68，满足(2)这个数除以2所得的商也是质数:14，答：这个幸运数是14【点睛】本题考查了素数、9的倍数、除以9余5的数，解答本题要注意条件之间的兼容性与互斥行相结合.26．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友，按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有几个小朋友．答案:每组最多有6个小朋友分析：根据题意求得的最大公因数即可求解．解析：解：36＝2×2×3×3，48＝2×2×2×2×3，54＝2×3×3×3，所以36、48和54的最大公因数是：2×3＝6，答：每组最多有6个小朋友．【点睛】本题考查了求公因数，掌握求公因数的方法是解题的关键．27．小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？答案:他们中最小的是14岁，最大的是18岁分析：根据偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．根据自然数的排列规律，相邻的两个自然数相差1，相邻的两个偶数相差2；先求出这三个连续偶数的平均数，前面的比平均数少2，后面的比平均数多2．由此解答．解析：解：48÷3=16（岁），16-2=14（岁），16+2=18（岁）．答：他们中最小的是14岁，最大的是18岁．【点睛】此题主要根据偶数的意义和偶数的排列规律解决问题．明确：相邻的两个偶数相差2．28．小明房间的墙壁上挂着一种“布谷鸟”闹钟，小明经过仔细观察发现每整点“布谷鸟”鸣叫一次，且每走9分钟亮一次灯，某天中午12点它既鸣叫又亮灯，问下一次既鸣叫又亮灯是在几点几分?答案:15时整分析：每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，即每过1小时就响一次铃，一小时为60分钟，则下一次既响铃又亮灯的经过的时间应是60和9的最小公倍数．解析：解：1小时=60分钟．9和60的最小公倍数为180，即再过180分钟就是既响铃又亮灯时间，180分钟=3小时．所以下次响铃的时间应是下午3时，即15时．故答案为：15时．【点睛】以后每次既响铃又亮灯的经过的时间都应是9和60的公倍数．29．进口博览会期间，甲、乙两家广播电台在每天早晨8：00同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播广告3分钟；乙台每播报15分钟新闻后插播广告3分钟，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问：(1)早