全等三角形的七大模型综合训练(四)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型综合训练（四）1．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．22．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.253．如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．174．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．5．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．6．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若．①直接写出的大小；②求证：．（2）若图2，若，求证：．7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．8．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．9．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．10．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．11．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．12．已知线段，将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．(1)如图1，当时，连接，求度数；(2)如图2，当时，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．13．在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．(1)如图1，当时，则______；(2)当时，①如图2，连接，判断的形状，并说明理由；②如图3，F是内一点，连接，，．若是等边三角形，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．14．如图1，是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边于，连接．(1)探究之间的关系，并说明理由．(2)若的边长为2，求的周长．(3)若点分别是延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出之间的关系．15．阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；②若，，请直接写出的长．16．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图（1），易证：．当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．全等三角形的七大模型综合训练（四）1．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2答案:A分析：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．证明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝•PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，从而得到≤PQ≤，那么≤•PQ2≤,即可得出答案．【详解】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝•PQ2，∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴≤PQ≤，∴≤•PQ2≤，∴△PQR的面积不可能是8，故答案为：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25答案:C分析：过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．【详解】解：过作的平行线交于，，是等边三角形，，，是等边三角形，，在中和中，，≌，，于，是等边三角形，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（）A．2 B．7 C．16 D．17答案:B分析：通过构造等边和等边，得到（SAS），再证明（SAS），即可将线段AB、BM和MN集中到△QMB中，根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围．【详解】解：如图，作等边和等边，连接QP、QM，在等边和等边中，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵AM＝BN，∴在中，，，∴，在中，，，∴，∴，在和中，，∴（SAS）∴，在中，，∴，∴，∴选项B，MN=7符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定的综合应用，解题关键是线段AB、BM和MN通过旋转全等集中到同一个三角形中，再根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围．4．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．答案:8分析：由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解．【详解】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E，，故答案是：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．5．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．答案:100°/100度分析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若．①直接写出的大小；②求证：．（2）若图2，若，求证：．答案:（1）①120°；②见解析；（2）见解析分析：（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．【详解】（1）①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)=×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∴△CFH≌△CFE(ASA)，∴CE=CH，∵AC=AH+CH，∴AC=AD+CE；（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠SAF，在△ADF和△ASF中，∴△ADF≌△ASF(SAS)，同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，∴△DEF≌△SEF，∴，，，且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，∴∠CFE=180°-135°=45°，∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，∴∠CFS=135°-∠AFS=90°，∴CF⊥SF，又∵FT=FE，CT=CE，∴CF垂直平分EF，即：CF⊥ET，∴SF∥ET，∴，∴∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．答案:（1）见解析；（2）见解析分析：（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF与△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．8．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．答案:见解析分析：延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，连接EF′，在△FCE与△F′CE中，，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE与△F′BE中，，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．9．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．答案:(1)(2)成立，理由见解析分析：（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即可．（2）过点D作，与交于H，与的延长线交于G，根据，，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；最后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，所以，据此判断即可．【详解】（1）如图1，延长与交于点G，，，，∵，∴，在和中，∴，，，，即，在和中，，，，又，．故答案为：．（2）结论：，理由如下：如图2，过点D作，与交于H，与的延长线交于G，，，，，，又，同理（1）可得，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．答案:(1)见解析(2)(3)见解析分析：（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．【详解】（1）证明：、是等边三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）证明：如图，作于点于点，，，，，，，，平分．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．11．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．答案:(1)①见解析；②见解析(2)(3)分析：（1）①用证明即可；②根据全等三角形的性质，得出，，进而得出；（2）先证明，可得，，进而得出；（3）先证明，可得，，进而得出．【详解】（1）证明：①∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；②∵，∴，，∴．（2）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．（3）解：．∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明．12．已知线段，将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．(1)如图1，当时，连接，求度数；(2)如图2，当时，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．答案:(1)(2)，理由见详解分析：（1）由旋转的性质可得，再结合题意及等腰三角形的性质即可获得答案；（2）过点作于点，过点作于点，根据题意可得，，即，，，再证明，；根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，易得，结合垂直平分线的性质可得，即可证明．【详解】（1）解：∵线段绕点逆时针旋转得到，，∴，，∴；（2）如下图，过点作于点，过点作于点，∵将绕点逆时针旋转得到，∴，又∵，∴，，即，∵，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，即，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半、垂直平分线的定义与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．13．在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．(1)如图1，当时，则______；(2)当时，①如图2，连接，判断的形状，并说明理由；②如图3，F是内一点，连接，，．若是等边三角形，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．答案:(1)100(2)①等边三角形，理由见解析；②，理由见解析分析：（1）利用等腰三角形的性质，四边形内角和定理求解即可；（2）①证明，可得结论；②结论；．连接，证明，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，，，，，点是线段，的垂直平分线的交点，，，，，．故答案为：100；（2）①结论：是等边三角形．理由：如图2中，，，，，点是线段，的垂直平分线的交点，，，，，，，是等边三角形；②结论：．理由：如图3中，连接．，是等边三角形，，，，，，，，，，．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图1，是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边于，连接．(1)探究之间的关系，并说明理由．(2)若的边长为2，求的周长．(3)若点分别是延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出之间的关系．答案:(1)，理由见解析(2)(3)见解析，，理由见解析分析：（1）延长至，使得，并连接，构造全等三角形，找到相等的线段，再进一步证明，进而等量代换得到；（2）利用（1）中结论，将的周长转化为的和来解答；（3）按要求作出图形，之间的关系是，理由为：先证，再证，即可得证．【详解】（1）解：，理由如下：延长至，使得，并连接，如图1所示，，为等腰三角形，为等边三角形，，，，又，且，，，，在与中，，，，，，，，，即，，在和中，，，；（2）解：利用（1）中的结论得出：的周长；（3）解：按要求作出图形，如图所示，（1）中结论不成立，应为，理由如下：在上截取，是正三角形，，又，，，，又，，在和中，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造去哪等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．15．阅读材料：如图，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图，延长至点，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图，在等边中，是射线上一动点（点在点的右侧），连接．把线段绕点逆时针旋转得到线段．是线段的中点，连接，．①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；②若，，请直接写出的长．答案:(1)见解析(2)①，见解析；②2或4分析：（1）延长至，使，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出，，则可得出结论；（2）①延长至