全等三角形的七大模型综合训练(三)(原卷版+解析)(北师大版成都专用)

全等三角形的七大模型综合训练（三）1．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（

）A． B． C． D．42．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm,且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP＝________cm.3．如图，在中，.点在上，点在的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则的面积为______．4．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______．5．如图，在等边ABC中，AD⊥BC于D，AC＝6，点F是线段AD上的一动点，连接BF，以BF为边作等边BFE，连接DE，则点F在运动过程中，线段DE长度的最小值为______．6．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为_____．7．如图，已知在中，和分别为和的角平分线，若的周长为22，那么线段的长为________．8．如图，中，，点在上，点在上，，若，，，则___________．9．如图，在边长为的等边中，直线，是上的一个动点连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是______．10．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、．(1)如图，若，，求的度数；(2)如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；(3)如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．11．已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同．(1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证：(2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：．(3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：．12．已知：在中，，点在上，连接，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积．13．如图所示，在中，，点D是线段CA延长线上一点，且．点F是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且．(1)若，则_______；(2)过D点作，垂足为G．①填空：_______；②求证：；(3)如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段之间的数量关系，并简要说明理由．14．如图所示，是边的中点，是上一点，满足，；求的度数．15．如图，已知和均为等腰直角三角形，且(1)试说明：(2)试判断和的位置关系，并说明理由．16．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是______．(2)求得的取值范围是______．(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．全等三角形的七大模型综合训练（三）1．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（

）A． B． C． D．4答案:B分析：证明得出，证明得出，即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周长为，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．2．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm,且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP＝________cm.答案:4分析：延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，再根据已知条件△ABC的面积为32cm2，即可求得△APB的面积，再根据面积公式即可求得AP的长．【详解】解：如图所示：延长AP交BC于E，∵AP垂直的平分线BP于P，∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，在△ABP和△EBP中，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴S△ABP=S△EBP，AP=EP，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∵S△ABP=3S△APC，∴S△EBP=3S△PCE，设S△PCE=x，则S△APC＝x，S△ABP=S△EBP=3x，∵△ABC的面积为32cm2∴x+x+3x+3x=32，∴x=4，∴S△ABP＝12，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，∴S△ABP＝＝12又∵BP＝6cm∴AP=4【点睛】本题考查的是面积及等积变换以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3．如图，在中，.点在上，点在的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则的面积为______．答案:分析：作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=×5×5=.故答案为【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.4．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______．答案:6分析：连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得：，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论．【详解】解：连接AQ，过点D作于H．∵面积为18，BC=6，∴，∴，∵MN垂直平分线段AB，∴，∴，∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，∵，∴AQ=DH=6，∴的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．5．如图，在等边ABC中，AD⊥BC于D，AC＝6，点F是线段AD上的一动点，连接BF，以BF为边作等边BFE，连接DE，则点F在运动过程中，线段DE长度的最小值为______．答案:分析：以BD为边在BC上方作等边△BDD'，连接D'F，证明△FBD'≌△EDB，得DE＝D'F，由点到直线垂线段最短得D'F⊥AD时，D'F取最小值，再证明四边形D'GDH为矩形，结合等边三角形“三线合一”求出DG，即可得DE长度的最小值．【详解】解：如图，以BD为边在BC上方作等边△BDD'，连接D'F，∵∠FBE＝∠D'BD＝60°，∴∠FBD'＋∠FBD＝∠FBD＋∠DBE，∴∠FBD'＝∠DBE，在△FBD'与△EDB中，，∴△FBD'≌△EDB（SAS），∴DE＝D'F，∵点到直线垂线段最短，∴D'F⊥AD时，D'F取最小值，过点D'作D'H⊥AD交AD于H，作D'G⊥BD交BD于G，∵∠D'GD＝∠ADG＝∠D'HD＝90°，∴四边形D'GDH为矩形，∵BD'＝DD'，AB＝AC，∴由等腰三角形“三线合一”得：BG＝GD，BD＝DC，∴GD＝BC＝，∴DE长度的最小值为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、点到直线垂线段最短、矩形的判定与性质，以BD为边在BC上方作等边△BDD'证明△FBD'≌△EDB是本题关键．6．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为_____．答案:分析：作，且，连接交于M，连接，证明，得到，，当F为与的交点时，即可求出最小值；【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接，是等腰三角形，，，，，，，，在与中，，，∴当F为与的交点时，如图2，的值最小，此时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．7．如图，已知在中，和分别为和的角平分线，若的周长为22，那么线段的长为________．答案:9分析：如图：在上截取，连接，由角平分线的定义可得，再证可得，再结合可得，进一步可得即；再说明，最后根据三角形的周长及等量代换即可解答．【详解】解：在上截取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵周长∵，∴，∴．故答案为：9【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．8．如图，中，，点在上，点在上，，若，，，则___________．答案:20分析：作于M，于N，则是等腰三角形，得出，证明，得到，得出，因此，设，则，，根据求出a的值，再根据三角形的面积公式即可得到答案．【详解】作于M，于N，如图：则，，则是等腰三角形，，，，，在中，,，，，，设，则，，，解得：，．【点睛】本题考查三角形面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定，证明三角形全等是关键．9．如图，在边长为的等边中，直线，是上的一个动点连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是______．答案:分析：取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．为等边三角形，，且为的对称轴，，，，．≌，．当时，最小，点为的中点，此时．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．10．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、．(1)如图，若，，求的度数；(2)如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；(3)如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．答案:(1)(2)(3)，理由见解析分析：（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．证明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得结论．（3）如图3中，结论：CN+MN=BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：如图中，，，，在和中，，≌，，，，，，；（2）如图中，过点作于．同理可得：≌，，，，，，在和中，，≌，，，，，；（3）如图中，结论：．理由：如图过点作交的延长线于，，，，，同理：≌，，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．11．已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同．(1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证：(2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：．(3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：．答案:(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析分析：（1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明结论；（2）证明，可得，然后由，，求得；（3）首先过点D作交于点G，则可证得为等边三角形，继而证得，则可证得结论．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，根据题意得：，在和中，，∴∴；（2）根据题意，，∴，即，在和中∴，∴，∵，，∴；（3）过点作交于点，∵是等边三角形，∴，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，12．已知：在中，，点在上，连接，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积．答案:(1)见解析；(2)见解析；(3)．分析：（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明；（2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；（3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案．【详解】（1）证明：如图1，设，则，，在中，∵，∴，∴，∴；（2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：如图3，连接，在△AFG和△AFH中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．如图所示，在中，，点D是线段CA延长线上一点，且．点F是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且．(1)若，则_______；(2)过D点作，垂足为G．①填空：_______；②求证：；(3)如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段之间的数量关系，并简要说明理由．答案:(1)60(2)①；②见解析(3)，理由见解析分析：（1）在等腰直角三角形中，，，根据余角的定义得到，根据三角形的内角和得到，然后根据三角形内角和定理即可解答；（2）①如图1，过D作于G，在中，由余角的定义得到，由于，推出，证得；②根据可得，根据三角形的内角和和余角的定义得到，推出，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论；（3）如图2，过D作交的延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到，证得，由全等三角形的性质得到，由于，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论．【详解】（1）解：如图1：在等腰直角三角形中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：60（2）解：①如图1，过D作于G，在中，，∵，∴，∵，在与中，，∴，故答案是：；②∵，∴，∵，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：如图2，过D作交的延长线于M，∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵，，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及同角的余角相等，正确的作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．14．如图所示，是边的中点，是上一点，满足，；求的度数．答案:分析：延长至，使，连接BG，在上截取；构造出，配合等边对等角、等角对等边，得出；进而可证明，得出，从而得到等边三角形，即可求得结果；【详解】解：如图，延长至，