山西省晋中市昔阳县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学试题（卷）注意事项：1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置上．3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A B. C.且 D.且答案：C解析：详解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，∴且，∵∴且解得∴，解得且，故选C．2.从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：一个立体图形从正面、左面看到的平面图形是长方形，从上面看到的平面图形是一个三角形，则这个立体图形是有两个底面是三角形的三棱柱．故选：C．3.已知双曲线，下列各点不在此双曲线上的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：∵双曲线，∴，A、，不在双曲线，符合题意；B、点中，，在双曲线，不符合题意；C、点中，，在双曲线，不符合题意；D、点中，，在双曲线，不符合题意．故选：A．4.平移抛物线使其经过原点，则下列操作不正确的是（）A.向右平移1个单位长度 B.向右平移5个单位长度C.向下平移5个单位长度 D.向上平移4个单位长度答案：D解析：详解：解：A、抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为，此时，图象经过原点，故A不符合题意；B、抛物线向右平移5个单位，得到抛物线的解析式为，此时，图象经过原点，故B不符合题意；C、抛物线向下平移5个单位，得到抛物线的解析式为，此时，图象经过原点，故C不符合题意；D、抛物线向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为，此时，图象不经过原点，故D符合题意．故选：D．5.如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质，可得，，∵，∴，∴．故选：C．6.如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：∵点O是内切圆的圆心，∴，，∴，故选：B．7.如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：∵，∴，∵和是以点O为位似中心的位似图形，∴，，∴，∴，∴和的周长之比为，故选：．8.如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则的距离可表示为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里答案：A解析：详解：解：如图，由题意可知，，在中，，，海里，∴海里．海里．故选：A．9.电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：详解：解：设增长率为x，由题意，得：；故选C．10.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（）．A. B. C. D.答案：D解析：详解：解：设，四边形是正方形，，矩形是黄金矩形，，，解得：，经检验：是原方程的根，，故选：D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题．（共5个小题，每题3分，共15分）11.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．答案：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）解析：详解：解：∵顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为y=ax2，∵图象开口向下，∴a＜0，∴可取a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2，故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）．12.一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了260米，那么此人升高了________米．答案：100解析：详解：解：设此人升高了x米，∵坡度为，∴他行走的水平距离为米，由勾股定理得，，解得：(负值舍去)，即他沿着垂直方向升高了100米，故答案为：100．13.如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是____．答案：解析：详解：解：过点作于点，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∵扇形的半径，，∴，∴，，∴阴影部分的面积是，故答案为：．14.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______答案：解析：详解：解：如图，作轴于H．由题意：，∴，∴，，∴，∴．15.如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为_____．答案：6解析：详解：解：如图，过点C作轴于D，∴，∵点B是中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：6．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（1）用适当的方法解下列方程：①②（2）计算：答案：（1）①，；②，；（2）解析：详解：解：（1）①∵，∴，∴，∴或，解得，；②∵，∴，∴，∴，解得，；（2）．17如图，已知，．（1）在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接，，求的度数．答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：解：如图1，即为所求．小问2详解：如图2，连接，，∴，，∴，∵，∴，∴．18.建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为，，，，女生分别记为，，．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是；（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，故答案为：．小问2详解：解：列出表格如下：一共有12种情况，其中至少有1位是或有6种，∴抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为．19.是的直径，与交于点，点是半径上一点（点不与点，重合）．连接交于点，连接，．若，．求证：是的切线．答案：见解析解析：详解：解：是的直径，，．又，，又，，即，是的切线．20.某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离PE为1米，求点到的距离的长．（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由，（参考数据：，，）答案：（1）2（2）轿车能驶入小区，理由见解析；解析：小问1详解：在中，∵，，∴，∵，∴，小问2详解：当时，，则，在中，，∴，∴，∴，∵，∴轿车能驶入小区21.阅读下列材料，并完成相应的任务．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB•CD＝AC•BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依据2）∴AD•BC＝AC•ED∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．（请写出）（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．答案：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似;(2)勾股定理;(3).解析：详解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，则AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，∵AB•CD+AD•BC＝AC•BD，∴AB2+AD2＝BD2，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，故答案为勾股定理．（3）连接BD，作CE⊥BD于E．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝60°，∴∠BCD＝120°，∵，∴CD＝CB，∴∠CDB＝30°，在Rt△CDE中，cos30°＝，∴DE＝CD，∴BD＝2DE＝CD，由托勒密定理：AC•BD＝AD•BC+CD•AB，∴AC•CD＝3CD+5CD，∴AC＝，答：AC的长为．22.下面是李老师在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形中，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H．（1）观察发现写出图1中一个与相似三角形：．（2）迁移探究当与的交点H恰好是的中点时，如图2．①设，请判断的数量关系，并说明理由；②求阴影部分的面积．（3）拓展应用当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，直接写出的长．答案：（1）或（2）①，理由见解析；②（3）或解析：小问1详解：解：∵四边形是矩形，∴，∵将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H．∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：或；小问2详解：解：①，理由如下：∵，∴，∵由沿翻折得到，∴，∵，∴；②∵点H是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴阴影部分的面积是；小问3详解：解：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图：AI∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得；∴；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得；综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或．23.综合与探究抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；（3