研修《函数的极值与导数》教学设计

3.3.2函数的极值与导数[教学目标]：了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。[教学重点和教学难点]：教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。教具准备：多媒体课件课堂模式：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。引入新课师：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？生：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．如果，那么函数在这个区间内是常函数．【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系.二．探究新知师：观察表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象，回答以下问题（1）当时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在处的导数是多少呢？（2）在点附近的图象有什么特点？（3）点附近的导数符号有什么变化规律？师生共同归纳:函数在点处,在的附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,,即当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是.【设计意图】用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识，发挥学生的主体作用.用信息技术辅助教学，突破难点.【设计说明】对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力.yxOba师：对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？观察yxOba（1）函数在点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数在点的导数值是多少?（3）在点附近,的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是________,在这些点附近，的导数的符号有什么规律？cxydefOgijh【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，引导学生创新与实践.培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神.理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法.【设计说明】两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳.帮助学生进一步了解极值点和极值的含义，增强学习的信心，让学生体验成功的喜悦.通过思考与讨论，进一步了解极值点和极值的含义，知道极值刻画函数的局部性质,培养学生合作交流的精神.三.理解新知师生共归纳：极值的定义：在附近，先减后增，先___后___，连续变化，于是有．比在点附近其它点的函数值都小.我们把点叫做函数的__________,叫做函数的___________.在附近，先增后减，先___后___，连续变化，于是有．比在点附近其它点的函数值都大.我们把点叫做函数的__________,叫做函数的___________.极小值点和极大值点统称为_____________，极大值和极小值统称为_____________.【设计意图】根据探究，总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值的定义,培养学生的归纳能力.练习1：师：判断正误：点是函数的极值点.画函数图像，观察得出结论：函数在处导数为，但在该点两侧都单调递增，无极值，故导数值为的点是该点为极值点的必要非充分条件.【设计意图】通过一道判断题，分解难点.培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.师：通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点取得极值的充要条件吗？充要条件：且点的左右附近的导数值符号要相反练习2：下图是导函数的图象，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点，极大值一定大于极小值吗？yyxOx1x2x3x4x5x6ba不一定，极值是函数的局部性概念练习3:如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数的图象呢?【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.通过练习1突出判断极值点的条件，从而突破难点.练习2帮助学生理解极值是函数的局部性质.练习3给的图像是原函数和导函数的图像，进一步让学生区分如何用原函数和导函数的图像判断函数的极大值与极小值.从而突出重点、突破难点.四．运用新知例1、求函数的极值教师分析:①求,解出,找函数极值点②由函数单调性确定在极值点附近的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.学生动手做,教师引导.解:∵∴令,解得.下面分两种情况讨论:当时,即;当时,即.当变化时,,的变化情况如下表:+_+单调递增单调递减单调递增因此,当时,有极大值,且极大值为;当时,有极小值,且极小值为思考：根据上表，你能画出该函数的大致图象吗？函数的图像如图所示归纳：求函数极值的方法是:求,解方程,解得如果在附近的左边,右边,那么是极大值.如果在附近的左边,右边那么是极小值讨论：求极值的步骤(1)求导(2)求极值点(3)讨论单调性(4)列表(5)写出极值.【设计说明】例题由老师板书，体现示范功能,为解此类问题提供经验.表格的使用，可使极值点两侧的增减性一目了然.图象是函数性质的直观载体，根据极值自己作图可为我们的结论提供直观验证，进一步培养学生数形结合的能力.【设计意图】通过典型例题巩固学生对新知识的理解,通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.作图时先作出两个极值点，再根据单调性作图.通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤.练习．求下列函数的极值.(1)(2)求解：(1)令，解得，.当变化时，，的变化情况如下表.+－+↗极大值↘极小值↗∴当时，有极大值，且.当时，有极小值，且(2)解：,令解得，，当变化时，，的变化情况如下表－－++↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当时，有极小值且【设计意图】练习源于例题，让学生板演，关注学生的数学表达，学生提供的反馈素材，应及时校正.照顾学有余力的学生，灵活运用所学知识，培养其逆向思维和化归转化的数学思想和方法.【设计说明】通过练习、巩固提高.例2.设，在和处有极值，且,求的值，并求出相应的极值.解：，∵是函数的极值点，则是方程的根，即有⇒，又，则有，由上述三个方程可知，函数的表达式为，∴，令，得，当变化时，,的变化情况表：+－+↗极大值↘极小值↗由上表可知因此,当时,有极大值,且极大值为;当时,有极小值,且极小值为练习.已知在处取得极值，求的值.五.课堂小结1.函数极值的定义2.求函数极值的方法是:求,解方程,解得(1)如果在附近的左边,右边,那么是极大值.(2)如果在附近的左边,右边那么是极小值.3.一个点为函数的极值点的充要条件.可导函数极值点的导数为，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构.六.布置作业必做：1、函数下列结论中正确的个数为（）（1）由可知是的极值点（2）在处无切线（3）在处的切线方程为2、可导函数在某一点两侧的导数异号是这点为极值点的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、关于函数，给出下列命题，其中正确的个数是①是增函数，无极值；②是减函数，无极值；③的单调增区间为，单调减区间为④是极大值，是极小值A、1B、2C、3D、44、求函数的极值选做：1、已知函数，判断是否为函数的一个极值.如果是，那么是极大值还是极小值？并求出函数的单调区间.2、已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（1）的值；（2）的值.【设计意图】作业的设计与例题相呼应，揭示了教与学的一致性.七.教后反思：亮点是:设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体