新高考数学一轮复习专题命题点9计数原理、概率与统计课件

命题点9计数原理、概率与统计预测说明计数原理作为高考的常考内容,可单独考查,也会与古典概型结合考查.概率与统

计是高考考查的热点,各种题型均有涉及,通常以实际生活为背景命题.主要考查古典

概型、相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望、独

立性检验等问题,同时注重概率与统计、概率与其他知识(如数列和函数)结合的综合

问题.命题方向:1.二项式定理的应用,考查特定项的系数、系数和的性质等.3.计数原理、概率与统计等知识相结合,考查随机变量的分布列和均值、独立事件的

概率、条件概率、二项分布和正态分布等.4.统计与概率和函数、数列、不等式等内容结合,这有可能成为新的命题热点.2.统计数据的分析,多以统计图表形式提供数据,并对数据的数字特征进行分析;统计

数据的数字特征与回归分析,独立性检验等的综合.预测探究识透高频考点1.(2024重庆八中5月模拟,7)已知盘子A中有3颗糖,盘子B中有4颗糖,小琨每次随机从其

中一个盘子中选择吃一颗糖,直到7颗糖全部吃完为止,则盘子A中的糖先吃完的概率

为

(

)A.

B.

C.

D.

C2.(多选)(2024广东佛山质检(二),11)在一个有限样本空间中,假设P(A)=P(B)=P(C)=

,且A与B相互独立,A与C互斥,则

()A.P(A∪B)=

B.P(

|A)=2P(A|

)C.P(

|AB)=1D.若P(C|B)+P(C|

)=

,则B与C互斥BCD3.(2024山东省实验中学模拟,12)已知(ax-2)

的展开式中常数项为-2,则实数a的值为

0

.4.(2024广东深圳二模,17)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生

产.经过调研和试生产,质检人员抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%;乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%;若将这两批零件混合放在一起,则

合格品率为97%.(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个,用频率估计概率,记这3个零件中来自甲工

厂的个数为X,求X的分布列和数学期望;(2)为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲

工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率,大于在甲工

厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A=“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件B=“该大型企业把零件交给甲工厂生

产”,已知0<P(B)<1,证明:P(A|B)>P(A|

).

基础知识运用

离散型随机变量的分布列和数学期望;条件概率公式

解析

(1)设甲工厂试生产的这批零件有m件,乙工厂试生产的这批零件有n件,事件M=“混合放在一起零件来自甲工厂”,事件N=“混合放在一起零件来自乙工

厂”,事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”,则P(M)=

,P(N)=

,P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%×

+98%×

=97%,计算得3m=n.所以P(M)=

=

.X的可能取值为0,1,2,3,X~B

,P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.所以X的分布列为X0123P

数学期望E(X)=3×

=

.(2)证明:因为在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的

概率,大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的

概率,所以P(B|A)>P(B|

),即

>

.因为P(A)>0,P(

)>0,所以P(AB)P(

)>P(

B)P(A).因为P(

)=1-P(A),P(

B)=P(B)-P(AB),所以P(AB)(1-P(A))>(P(B)-P(AB))P(A),即P(AB)>P(A)P(B),所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B),即P(AB)(1-P(B))>P(B)(P(A)-P(AB)).又因为1-P(B)=P(

),P(A)-P(AB)=P(A

),所以P(AB)P(

)>P(B)P(A

).因为0<P(B)<1,0<P(

)<1,所以

>

.即得证P(A|B)>P(A|

).5.(2024湖南长沙长郡中学适应性测试(四),16)为了研究学生每天整理数学错题情况,

某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生,调查他们期中考试的数学成绩和平

时整理数学错题情况,并绘制了两个统计图,图1为学生期中考试数学成绩的频率分布

直方图,图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分

及以上视为优秀,将一个星期内有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”,少于4

天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中,经常整理错题的学生占70%.整理错题情况数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理

不经常整理

合计

(1)求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;(2)根据图1、图2中的数据,补全上方2×2列联表,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?(3)用频率估计概率,在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行

分层随机抽样,随机抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同

学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.附:χ2=

.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828

综合知识考查

统计图表;独立性检验;分布列和数学期望

解析

(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1,解得m=0.015,因为(0.0025+0.005+0.0175)×20=0.5,(0.0025+0.005+0.0175+0.015)×20=0.8,所以学生

期中考试数学成绩的上四分位数在区间[110,130)内,所以学生期中考试数学成绩的上

四分位数为110+20×

=

分.(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人,不优秀的有100×50%=50人,经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人,不经常整理错题的有100-60=40人,经常整理错题且成绩优秀的

有50×70%=35人,则2×2列联表为整理错题情况数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100零假设为H0:数学成绩优秀与经常整理数学错题无关,χ2=

=

>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为数学成绩优秀与经常整

理数学错题有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.(3)由分层随机抽样知,随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人,不经常整理错题

的有2人,则X的可能取值为0,1,2,经常整理错题的3名学生中,恰抽到k人记为事件Ak(k=

0,1,2),则P(Ak)=

(k=0,1,2),参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件Bm(m=0,

1,2),则P(B0|A0)=1,P(B0|A1)=

,P(B0|A2)=

=

,P(B1|A1)=

,P(B1|A2)=

×

×

=

,P(B2|A2)=

=

,P(X=0)=P(A0)·P(B0|A0)+P(A1)·P(B0|A1)+P(A2)·P(B0|A2)=

×1+

×

+

×

=

,P(X=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=

×

+

×

=

,P(X=2)=P(A2)·P(B2|A2)=

×

=

,故X的分布列如下:X012P

所以E(X)=0×

+1×

+2×

=0.7.悟透新型考法(2024河北邯郸三模,17)2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工

作的通知》中提出,中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间,每天

统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有40%的人满分,而该校有

20%的学生每天运动时间超过两个小时,这些人体育项目测试满分率为50%.(1)从该校随机抽取三人,三人中体育项目测试相互独立,求三人中满分人数的分布列

和期望;(2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生,求他体育项目测试

满分的概率;(3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练,每次传球,传球者等可能地将球传给

另外两个人中的任何一人,第1次由甲将球传出,求第n次传球后球在乙手中的概率.

创新考法

概率与数列相结合

解析

(1)从该校随机抽取三人,每个人满分的概率为40%.设抽取的三人中满分人数为X,则X=0,1,2,3.则P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

,则X的分布列为X0123P

因为X~B

,所以数学期望E(X)=3×

=

.(2)用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”,则P(A)=20%,P(

)=1-20%=80%.用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”,则P(B)=40%,P(B|A)=50%.又P(AB)=P(A)P(B|A)=20%×50%=10%,P(B)=P(AB)+P(

B)=10%+P(

B)=40%,故P(

B)=30%.P(B|

)=

=

=

.(3)记An表示事件“经过n次传球后,球在乙的手中”,设n次传球后球在乙手中的概率为pn,n∈N*,则有p1=

,An+1=

An+1+AnAn+1,所以pn+1=P(

An+1+AnAn+1)=P(

An+1)+P(AnAn+1)=P(

)P(An+1|

)+P(An)P(An+1|An)=(1-pn)·

+pn·0=

(1-pn),即pn+1=-

pn+

,n∈N*,所以pn+1-

=-

,且p1-

=

,所以

是以

为首项,-

为公比的等比数列,所以pn-

=

×

,所以pn=

×

+

=

.即n次传球后球在乙手中的概率是

.参透创新情境(2024湖北武汉武昌5月质检,19)利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如

将0.

化为分数的方法如下:设0.

=x,则31.

=100x,即31+x=100x,解得0.

=

.这是一种利用方程求解具有无限过程问题的方法,该方法在高中阶段计算无限概率、无限期

望问题时都有妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为

,乙获胜的概率为

,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率.(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜i(i=-3,-2,-1,0,1,2,3)局,设甲在净胜i局时,继续比赛甲获胜的概率为Pi,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)

时需进行的局数为Xi,期望为E(Xi).(i)求甲获胜的概率P0;(ii)求E(X0).

创新情境

利用无限过程的方程求解思想,解决题设问题

解析

(1)若4局结束比赛时甲获胜,则在前2局甲、乙各胜一局,并且第3,4局甲胜.概率为

×

×

×

=

;若4局结