第11讲 直线的方程（学生版）-2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）

第11讲直线的方程【学习目标】1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式)2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标【基础知识】一、直线的点斜式方程1.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P0(x0,y0)和斜率k

图示 方程形式

y-y0=k(x-x0)

适用条件斜率存在

2.点斜式方程的应用(1)经过点P0(x0,y0),且斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示,其方程为x=x0.(2)经过点P0(x0,y0),且斜率为0的直线能用点斜式方程表示,其方程为y=y0.(3)过定点P0(x0,y0)的直线系方程:我们可设直线的方程为y-y0=k(x-x0),由于过点P0(x0,y0)且与x

轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线x=x0.二、直线的斜截式方程1.把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距

(1)直线l在y轴上的截距,就是直线l与y轴交点的纵坐标

.(2)直线l在y轴上的截距存在,等价于直线l的斜率存在.2.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距

b图示 方程形式

y=kx+b

适用条件斜率存在

3.斜截式方程的应用(1)斜率为k的直线系方程:若直线的斜率存在,则可设直线的方程为y=kx+b,当b取不同值时,

这个方程表示斜率为k的直线系方程.(2)对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1.4.截距不是距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和

零,而距离是一个非负数.三、直线的两点式方程1.直线的两点式方程名称已知条件图形方程适用条件两点式直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) 直线不垂直于x轴

和y轴2.对直线的两点式方程的理解(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(2)直线的两点式方程也可以写成(y-y2)(x1-x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,则可表示任意的直线,但不再称其为直线的两点式方程.3.写直线的两点式方程的步骤(1)已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴.(2)若直线垂直于坐标轴,则直接写出方程.(3)若直线不垂直于坐标轴,则可根据两点式求出直线的方程.4.运用直线的两点式方程时的注意事项(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条

件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)由于减法是有序的,所以用两点式求直线方程时常因字母或数字的顺序错位而导致错误.四、直线的截距式方程1.直线的截距式方程名称已知条件图形方程适用条件截距式在x,y轴上的截距

分别为a,b,且a≠0,

b≠0 直线不垂直于x轴

和y轴,且不过原点2.对直线的截距式方程的理解(1)若直线与x轴相交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距,也称横截距;若直线与y轴相交

于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距,也称纵截距.(3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即两个截距存在且都不为0,因此它不能表示过坐标原点和垂直于x轴、y轴的直线.3.运用直线的截距式方程时的注意事项题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线的方程,一定要注意考虑“零截距”的情况.五、直线的一般式方程1.概念在平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示出来,每一

个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0

(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程

,简称一般式.2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,则x=,它表示一条与y轴平行或重合的直线;若A=0,B≠0,则y=,它表示一条与x轴平行或重合的直线.3.直线方程的五种形式的比较名称方程形式常数的几何意义适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线上一定点,

k是斜率不垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk是斜率,b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴的直线两点式(x1≠x2,y1≠y2)(x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴的直线截距式 (a≠0,b≠0)a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴,且不过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0)A,B,C为系数任何位置的直线【考点剖析】考点一：直线的点斜式方程例1．(2020-2021学年广西高二上学期学业水平考试)已知直线l的斜率为2，且经过点，那么直线l的方程为(

)A． B．C． D．考点二：直线的斜截式方程例2．已知，，则下列直线的方程不可能是的是(

)A． B．C． D．考点三：直线的两点式方程例3．(2021-2022学安徽省合肥市六校联考高二上学期期末)已知直线过点，，则直线的方程为(

)A． B． C． D．考点四：直线的截距式方程例4．(2022学年广东省佛山市第一中学高二上学期段考)已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线有(

)条A．1 B．2 C．3 D．4考点五：直线的一般式方程例5．(2022学年山东省青岛第十九中学高二上学期10月月考)过点且与直线平行的直线方程为(

)A． B．C． D．考点六：直线的平行问题例6．(2022学年广东省名校联盟高二下学期大联考)若直线与直线平行，则m=(

)A．4 B． C．1 D．考点七：直线的垂直问题例7．(2022学年广东省茂名市五校联盟高二上学期期末联考)若直线与直线垂直，则a=(

)A．-2 B．0 C．0或-2 D．1考点8：直线的方程与其他知识的交汇例8．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.【真题演练】1.(2022学年河北省临城中学高二下学期开学考试)已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是(

)A． B．C． D．2.(2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中)过点且方向向量为的直线的方程为(

)A． B．C． D．3.(2022学年浙江省杭州学军中学高二上学期期末)直线的倾斜角的取值范围是(

)A． B．C． D．4.(2022学年上海市复兴高级中学高二上学期期末)已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有(

)A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5.(2022学年云南省昆明市第三中学高二上学期期中)已知直线l∶x+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值可以是(

)A．0 B．1 C．-1 D．-2.6.(2022学年浙江省绍兴市上虞区高二上学期期末)下列说法正确的是(

)A．直线的倾斜角范围是B．若直线与直线互相垂直，则C．过两点，的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为7.(2022学年湖北省部分重点学校联考高三上学期12月月考)已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．(用一般式方程表示)①倾斜角为；②不经过坐标原点．8.(2020-2021学年重庆市青木关中学高二上学期第二次月考)如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.(1)求直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程.【过关检测】1.(2022学年吉林省白山市高二上学期期末)与直线平行，且经过点(2，3)的直线的方程为(

)A． B． C． D．2.(2022学年河北省张家口市宣化第一中学高二上学期期末)如果，，那么直线不经过的象限是(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知直线，直线，且，则的值为()A． B． C．-2或-1 D．4.已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是(

)A． B．C． D．5.(多选)下列说法正确的是(

)A．＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为bD．过两点A(x1，y1)B(x2，y2)的直线方程为6.(多选)直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是(

)A． B．C． D．7.(2022学年浙江省杭州第二中学滨江校区高二上学期期中)过点且与直线垂直的直线的方程是___________.8.经过点)且