第08讲 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）-2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）

第08讲空间向量及其坐标运算的表示【学习目标】1.握空间向量的坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度

建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴

.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量

,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八

个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定

,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

=xi+yj+zk

.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z)

.四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0,λ∈R)a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0,b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a,b〉(a≠0,b≠0)cos〈a,b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))五、证明两直线平行的步骤:1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的

有向线段不共线,即可得证.六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直.七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);2.利用公式cos<a,b>= 求解;3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cosθ=|cos<a,b>|.【考点剖析】考点一：求点的坐标例1．(2022学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中)已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选D考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点､､.(1)求以向量､为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)求与向量､都垂直的单位向量.【解析】(1)由题设，，，则，故，所以.(2)设单位向量且，由题意得：，可得：，则，可得，所以或.考点三：线性运算的坐标表示例3．(2022学年广东省江门市新会区陈经纶中学高二上学期期中)已知向量，，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，，则，故选C考点四：数量积运算的坐标表示例4．(多选)(2022学年江苏省盐城市滨海县高二下学期月考)已知空间向量，，则下列正确的是(

)A． B． C． D．，【答案】AB【解析】向量，，，则A正确，，则B正确，，则C错误，，则D错误.故选AB考点五：求长度或距离例5．空间两点、之间的距离为______．【答案】3【解析】因点、，则.考点六：求角度例6．(2022学年四川省成都市蓉城高中教育联盟高二下学期期中)已知，，则向量与的夹角为(

)A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【解析】因为，，所以，，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故向量与的夹角为，故选A.考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.(2022学年江苏省盐城市滨海县五汛中学高二下学期期中)已知点，，，设，．(1)求，夹角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．【解析】(1)，，故.(2)由(1)可得，，因为向量，垂直，故，整理得到：，故或.(3)由(1)可得不共线，故，均不为零向量，若向量，平行，则存在非零常数，使得，整理得到：，因为不共线，故，故或，故.【真题演练】1.(2022学年江苏省盐城市高二下学期第二次学情分析考试)已知向量，若，则实数x的值为(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】因为，所以.故选D2.(2022学年山东省临沂市多县区高二上学期期中)若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于(

)A．0 B．－ C．0或－ D．0或【答案】C【解析】由题知，，即，解得或.故选C3.(2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中)平行六面体中，，则点的坐标为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】设，∵，又，∴，解得，即.故选B.4.(多选)(2022学年河北省张家口市宣化高二上学期期末)已知平面，其中点是平面内的一定点，是平面的一个法向量，若坐标为，，则下列各点中在平面内的是(

)A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对于A选项，，，A满足；对于B选项，，，B满足；对于C选项，，，C满足；对于D选项，，，D不满足.故选ABC.5.(多选)(2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中)已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是(

)A．向量可以构成一组基底B．当时，C．当时，在平面上的投影向量的模长为D．对任意实数，总有【答案】AD【解析】，显然不共面，∴向量可以构成一组基底，A正确；如图建立空间直角坐标系，则，当时，，则,∴，Ｂ不正确；,当时，,在平面上的投影向量为，，Ｃ不正确；对任意实数，，则，，,，D正确．故选AD．6.(2022学年江苏省淮安市涟水县高二下学期第二次阶段检测)已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.【答案】【解析】由题，，故在上的投影向量的模7.(2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中)设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．【答案】【解析】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，设则，当时的最小值是，，取则，，又因为是任意值，所以的最小值是.取则，又因为是任意值，所以的最小值是.8.(2022学年福建省龙岩市非一级达标校高二下学期期中联考)已知空间中三点，，．(1)若，，三点共线，求的值；(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．【解析】(1)由题设，，又，，三点共线，所以存在使，即，可得，所以.(2)由，由(1)知：当时，有；而，又，的夹角是钝角，所以，可得；又时、，故，满足题设；综上，.【过关检测】1.(2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中)若点，，在同一条直线上，则(

)A．21 B．4 C．4 D．10【答案】C【解析】，，∵点，，在同一条直线上，∴∥则解得，∴，故选C．2.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)已知直线的方向向量分别为，若，则等于(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由于，所以.故选B3.(2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期期中)设，向量，且，则(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】，∥，∴.故选A.4.(2022学年广东省华中师范大学海丰附属学高二上学期月考)已知，，且，则向量与的夹角为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，所以，，所以，因为，所以.故选C5.(多选)(2022学年福建省龙岩市一级校联盟(九校)高二下学期期中)对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是(

)A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底【答案】BD【解析】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选BD6．(多选)(2022学年福建省华安县高二下学期月考)已知空间向量，，则下列结论正确的是()A．B．C．D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选BCD.7．(多选)(2022学年湖北省黄冈市蕲春县高二上学期期中)已知空间中三点，，，则正确的有(

)A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】CD【解析】，，，显然与不共线，A错误；的单位向量，即，B错误；，，C正确；设平面的法向量，则，令，得，D正确.故选CD.8.平面经过点且一个法向量，则平面与x轴的交点坐标是______．【答案】【解析】设平面与x轴的交点为，则，因为个法向量，所以，所以，解得，所以，即平面与x轴的交点坐标是.9．已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．【答案】【解析】因为在直线上，且，所以所以，，因为所以，解得.10.(2022学年四川省成都市蒲江县蒲江中学高二下学期5月月考)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60