2024-2025学年新教材高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差（教师用书）教案 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教案新人教A版选择性必修第三册主备人备课成员教材分析本节课为人教A版选择性必修第三册高中数学第七章“随机变量及其分布”中的7.3.2节“离散型随机变量的方差”。该节内容是在学生已经掌握了离散型随机变量的期望的基础上展开的，通过本节课的学习，学生将掌握离散型随机变量的方差的定义、计算方法及其性质。

本节课的内容与实际生活紧密相连，通过实例让学生感受方差在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。同时，本节课的内容也为后续的概率论和数列的学习打下基础。

在教学过程中，我将以教材为依据，结合学生的实际情况，采用循序渐进的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握离散型随机变量的方差的相关知识。在教学过程中，我会注重对学生的启发和引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括逻辑推理、数据分析、数学建模和数学思维等方面。通过本节课的学习，学生将能够：

1.理解离散型随机变量的方差的定义和计算方法，能够运用方差分析和实际问题，提升数据分析的能力。

2.掌握方差的性质，能够运用方差解释和解决实际问题，培养数学建模的核心素养。

3.通过方差的计算和应用，培养学生的数学逻辑推理和数学思维能力，提高学生的数学素养。重点难点及解决办法重点：

1.离散型随机变量的方差的定义和计算方法。

2.方差的性质及其在实际问题中的应用。

难点：

1.方差的计算方法的理解和应用。

2.方差性质的证明和运用。

解决办法：

1.通过具体的例子和练习题，让学生多次实践方差的计算方法，加深对其的理解和应用。

2.通过小组讨论和思维导图的方式，让学生直观地理解和证明方差的性质，提高学生的数学思维能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括人教A版选择性必修第三册高中数学第七章“随机变量及其分布”中的7.3.2节“离散型随机变量的方差”的相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如离散型随机变量的方差的定义和计算方法的示例图、方差的应用实例等，以帮助学生更好地理解和掌握方差的概念和应用。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，可以准备一些模拟随机实验的道具，如骰子、卡片等，让学生亲身体验和观察随机变量的方差现象。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。可以将学生分成小组，设置讨论区域，以便学生进行合作交流和实验操作。

5.教学工具：准备黑板、投影仪、电脑等教学工具，以便进行课堂讲解、展示和互动。

6.练习题和作业：准备一些与本节课内容相关的练习题和作业，以便学生进行巩固练习和检验学习效果。

7.教学课件：制作教学课件，包括教学内容的讲解、实例分析、练习题等，以便引导学生逐步学习和掌握方差的相关知识。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括PPT、视频、文档等，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“离散型随机变量的方差”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解离散型随机变量的方差的知识点。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解“离散型随机变量的方差”课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“离散型随机变量的方差”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解离散型随机变量的方差的定义、计算方法及其性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握方差的计算和应用。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验方差的计算和应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解离散型随机变量的方差的知识点。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握方差的计算和应用。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解离散型随机变量的方差的知识点，掌握方差的计算和应用技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据“离散型随机变量的方差”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与“离散型随机变量的方差”课题相关的拓展资源，如书籍、网站、视频等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的离散型随机变量的方差的知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《概率论与数理统计》：建议学生阅读该教材中关于离散型随机变量的方差的相关章节，以加深对知识点的理解。

-《离散数学及其应用》：引导学生阅读该书中的相关章节，了解离散型随机变量的方差在实际应用中的重要性。

-《数学建模及其应用》：鼓励学生阅读该书中的相关案例，掌握离散型随机变量的方差在数学建模中的应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-引导学生利用网络资源，如“中国大学MOOC”、“学堂在线”等平台，观看离散型随机变量的方差的公开课程，拓宽知识视野。

-推荐学生参加数学竞赛或研究性学习项目，将所学的离散型随机变量的方差知识应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

-鼓励学生阅读数学论文或研究性文章，了解离散型随机变量的方差的最新研究动态和发展趋势。

六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《概率论与数理统计》（第三版）：该教材详细介绍了离散型随机变量的方差的概念、计算方法及其性质，建议学生阅读。

-《离散数学及其应用》（第二版）：该书涵盖了离散型随机变量的方差在计算机科学、信息科学等领域的应用，适合学生拓展阅读。

-《数学建模及其应用》（第四版）：该书提供了大量的实际案例，展示了离散型随机变量的方差在数学建模中的重要作用，鼓励学生阅读。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-利用网络资源，如“中国大学MOOC”、“学堂在线”等平台，观看离散型随机变量的方差的公开课程，提高学生的自学能力。

-参加数学竞赛或研究性学习项目，将所学的离散型随机变量的方差知识应用于实际问题中，提升学生的实践能力。

-阅读数学论文或研究性文章，了解离散型随机变量的方差的最新研究动态和发展趋势，培养学生的科研素养。

3.开展小组讨论和学术报告：

-学生在课后组成小组，就离散型随机变量的方差的相关话题进行深入讨论，并撰写研究报告。

-组织学术报告活动，让学生在班级分享自己的研究成果，提升学生的表达能力和交流能力。

4.布置实践性作业：

-设计一些实践性作业，如使用编程语言实现离散型随机变量的方差的计算，让学生在实践中巩固所学知识。

-鼓励学生运用离散型随机变量的方差解决实际问题，如数据分析、概率论等方面的应用，提高学生的应用能力。典型例题讲解例题1：已知离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，对应的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.4，求随机变量X的方差。

解：首先计算随机变量X的期望值E(X)：

E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=0.1+0.4+0.9+1.6=2.0

接着计算随机变量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=1^2×0.1+2^2×0.2+3^2×0.3+4^2×0.4=0.1+0.8+0.9+1.6=3.4

D(X)=3.4-2.0^2=3.4-4.0=-0.6

所以，随机变量X的方差为-0.6。

例题2：已知离散型随机变量X的可能取值为0,1,2，对应的概率分别为0.3,0.5,0.2，求随机变量X的方差。

解：首先计算随机变量X的期望值E(X)：

E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0+0.5+0.4=0.9

接着计算随机变量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=0^2×0.3+1^2×0.5+2^2×0.2=0+0.25+0.4=0.65

D(X)=0.65-0.9^2=0.65-0.81=0.04

所以，随机变量X的方差为0.04。

例题3：已知离散型随机变量X的可能取值为-1,0,1，对应的概率分别为0.2,0.5,0.3，求随机变量X的方差。

解：首先计算随机变量X的期望值E(X)：

E(X)=(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3=-0.2+0+0.3=0.1

接着计算随机变量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=(-1)^2×0.2+0^2×0.5+1^2×0.3=0.04+0+0.09=0.09

D(X)=0.09-0.1^2=0.09-0.01=0.08

所以，随机变量X的方差为0.08。

例题4：已知离散型随机变量X的可能取值为2,4,6，对应的概率分别为0.3,0.5,0.2，求随机变量X的方差。

解：首先计算随机变量X的期望值E(X)：

E(X)=2×0.3+4×0.5+6×0.2=0.6+2+1.2=3.8

接着计算随机变量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=2^2×0.3+4^2×0.5+6^2×0.2=0.06+16+14.4=30.4

D(X)=30.4-3.8^2=30.4-14.44=16.06

所以，随机变量X的方差为16.06。

例题5：已知离散型随机变量X的可能取值为-2,0,2，对应的概率分别为0.1,0.4,0.5，求随机变量X的方差。

解：首先计算随机变量X的期望值E(X)：

E(X)=(-2)×0.1+0×0.4+2×0.5=-0.2+0+1=0.8

接着计算随机变量X的方差D(X)：

D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

E(X^2)=(-2)^2×0.1+0^2×0.4+2^2×0.5=0.04+0+0.4=0.44

D(X)=0.44-0.8^2=0.44-0.64=0.08

所以，随机变量X的方差为0.08。教学反思与总结在本次关于离散型随机变量的方差的教学中，我尝试采用了多种教学方法，以期达到更好的教学效果。首先，我在课前布置了预习任务，让学生通过阅读教材和观看视频，对离散型随机变量的方差有一个初步的了解。这有助于他们在课堂上更好地理解和掌握知识点。同时，我设计了具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考，培养他们的自主学习能力。

在课堂上，我通过讲解知识点、组织课堂活动和解答疑问等方式，帮助学生深入理解和掌握离散型随机变量的方差的概念、计算方法及其性质。我尝试采用直观的教学方法，通过实例和图表帮助学生更好地理解方差的计算和应用。同时，我鼓励学生积极参与课堂活动，通过小组讨论、角色扮演和实验等活动，培养他们的动手能力和解决问题的能力。

课后，我布置了适量的作业，让学生通过实践巩固所学知识。同时，我提供了拓展资源，鼓励学生进行进一步的学习和思考。通过这些教学方法，我期望能够帮助学生全面掌握离散型随机变量的方差的知识点和技