人教版九年级上册数学 第24章 圆 尖子生练习试卷（含答案解析）

人教版九年级上册数学第24章圆尖子生练习试卷

选择题（共5小题）

1.已知。。的半径为2,A为圆内一定点，AO=1.P为圆上一动点，以AP为边作等腰△

APG,AP=PG,ZAPG=120°,OG的最大值为（）

A.1+A/3B.1+273C.2+VsD.2V3-1

2.如图，。。中，弦ABLC。，垂足为E,尸为血的中点，连接ARBF、AC,AF交CD

于过尸作H/_LAC,垂足为G,以下结论：®CF=DF：②HC=BF：③MF=FC：

@DF+AH=BF+AF;其中成立的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，直线>=1+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，尸是该直线上的任一点，过

2

点。（3,0）向以P为圆心，为半径的。尸作两条切线，切点分别为E、F,则四

2

边形PE。尸面积的最小值为（）

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4.如图，AB,8c是。。的弦，/B=60°,点。在内，点。为血上的动点，点M,

N,P分别是AD,DC,CB的中点.若O。的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是（）

1+2正C.2+273D.2+>/3

5.如图，A3是。。的直径，AB=10,P是半径上的一动点，PCLAB交。。于点C,

在半径02上取点0,使得0Q=CP,OQLAB交O。于点。，点C,。位于42两侧,

连接CD交AB于点R点P从点A出发沿A。向终点。运动，在整个运动过程中，△

CF尸与△。尸。的面积和的变化情况是（）

B.一直不变

C.先变大后变小D.先变小后变大

二.填空题（共9小题）

6.如图，等边△ABC中，AB=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接C£）,

取CO的中点E,连接则线段BE的最大值与最小值之和为.

7.如图，AB是半圆。的直径，点C在半径上，过点C做COLAB交半圆。于点Z）.以

CD,CA为边分别向左、下作正方形CDEF,CAGH.过点B作GH的垂线与GH的延长

线交于点/,M为的中点.记正方形COERCAGH,四边形8CH/的面积分别为田,

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S2，S3.

Si

(1)若AC：BC=2：3,则一L的值为

S2

（2）若。，O,M在同条直线上，则」s~+^s的值为

8.如图，直线y=-尤+%（机＞0）与x轴、y轴分别交于点A,B,C是的中点，点。

在直线y=-2上，以C。为直径的圆与直线AB的另一交点为£,交y轴于点RG,已

知CE+DE=6圾,FG=2代贝UCD的长是.

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=10,8c=8,点。是BC上一点，BC=3CD,

点尸是线段AC上一个动点，以尸。为直径作。。，点M为奇的中点，连接AM,则AM

的最小值为

10.如图，半径为5的。。与y轴相交于A点，B为。。在x轴上方的一个动点（不与点A

重合），C为y轴上一点且NOCB=60°,/为△BC。的内心，则△A/。的外接圆的半径

的取值（或取值范围）为.

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11.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是前k的一个动点,

连接AD过点C作CELAD于E,连接BE,则3E的最小值是

12.如图，已知等边AABC内接于。0,点尸为AB上任意一点(点尸不与点A、点8重合),

连结尸2、PO,取8C的中点。，取。尸的中点E,连结。E,若NOED=a,则NP2C的

度数为..(用含a的代数式表示)

13.如图，己知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点8圆心的OB经过原

点0,BC±x轴于点C,点。为02上一动点，E为的中点，则线段CE长度的最大

AO=8,点E,E分别在边AD,BC上，且点8,F关

于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=

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AED

三.解答题(共36小题)

15.如图，。。为△ABC的外接圆，。为0C与48的交点，£为线段0C延长线上一点,

S.ZEAC^ZABC.

(1)求证：直线AE是。0的切线.

(2)若。为A8的中点，CD=6,AB=16

①求。。的半径；

②求△ABC的内心到点。的距离.

16.如图，半圆。的直径AB=20,将半圆。绕点8顺针旋转45°得到半圆。'，与AB交

于点P

(1)求AP的长；

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留TT).

17.如图，在△ABC中，AB^AC,以A8为直径的。。交BC于点。，过点D作跖，AC

于点E,交的延长线于点尸.

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(1)判断直线。E与O。的位置关系，并说明理由;

(2)如果A8=5,BC=6,求。E的长.

18.如图，己知直线阴交。。于4、8两点，AE是。。的直径，点C为。。上■点，且

AC平分/B4E,过C作CD_LE4,垂足为D

(1)求证：CD为O。的切线；

(2)若CD=2AD。。的直径为20,求线段AC、AB的长.

19.如图，已知圆。的圆心为。，半径为3,点M为圆。内的一个定点，OM=烟,AB,

是圆。的两条相互垂直的弦，垂足为

(1)当AB=4时，求四边形AOBC的面积；

(2)当48变化时，求四边形A。8c的面积的最大值.

20.如图(1),ZABC=90°,O为射线BC上一点，08=4,以点。为圆心，2，水为半

径作O。交BC于点。、E.

(1)当射线8A绕点8按顺时针方向旋转多少度时与相切？请说明理由.

(2)若射线绕点8按顺时针方向旋转60°时与O。相交于M、N两点，如图(2),

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求谕的长.

21.如图，OOi与。。2相交于点A和8,经过A作直线与。。1相交于。，与。。2相交于C,

设弧8C的中点为弧8。的中点为N,线段CD的中点为K.求证：MKLKN.

22.△ABC的内切圆分别切BC、CA、A8于点。、E、F,过点尸作的平行线分别交直

线ZM、DE于点H、G.求证：FH=HG.

23.以。为圆心，1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦P。，RS.求PQ+RS

的最大值和最小值.

24.如图，已知锐角△ABC的外心为。，线段0A和BC的中点分别为点M,N.若/A8C

=4/0MN,NACB=6/0MN.求/OMN的大小.

25.设点。(0,0)、点A(2,0),分别以O、A为圆心，半径为2人厂作圆，两圆在第一

象限的交点为P.

(1)当r=l时，求点尸的坐标；

(2)当三<r<2时，能否找到一定点。，使尸。为定值？若能找到，请求出。点的坐

标及定值；若不能找到，请说明理由.

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y

26.如图，已知以RtAABC的边AB为直径作△ABC的外接圆OO,N3的平分线BE交AC

于。，交。。于E,过E作E尸〃AC交54的延长线于F.

(1)求证：跖是O。切线；

(2)若A8=15,EF=1Q,求AE的长.

27.如图：已知。为常数，Fi(-^2+20,0),F242+20,0),过三作直线/，点A,

2在直线/上，且满足4为-4/2=8为-3/2=2。，M,N分别为为三，△2为三的内

切圆的圆心.

(1)设与F]F2相切于点尸1，ON与F]F2切于点尸2，试判断Pi与P2的位置关系,

并加以证明；

(2)已知sin/B&为=2，且MN=9,试求°的值.

28.如图，以RtaABC的直角边AB为直径的。。交斜边AC于点。，过点。作O。的切线

与BC交于点E,弦DM与48垂直，垂足为H.

(1)求证：E为8C的中点；

(2)若。0的面积为12m两个三角形△A/TO和的外接圆面积之比为3,求4

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OEC的内切圆面积Si和四边形OBED的外接圆面积出的比.

过A,B,C三点的。。交于E,且与C。相切.

(1)求证：AC=BC；

(2)若A2=4,BE=6,求。。的半径长.

30.如图，48是。。的直径，BC交。。于点。，E是弧2。的中点，AE与8C交于点R

ZC=2ZEAB.

(1)求证：AC是。。的切线;

求AP的长.

31.如图，在△ABC中，/C=90；以8C为直径的。。交AB于点。，。。的切线DE

交AC于点E.

(1)求证：E是AC中点;

(2)若AB=10,BC=6,连接。，OE,交点为凡求。尸的长.

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32.如图，点。为RtaABC斜边AB上的一点，以。4为半径的O。与3c切于点。，与

AC交于点E,连接AD

(1)求证：AD平分NA4C；

(2)若NBAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留n).

33.如图，AC是O。的直径，8C是。。的弦，点P是O。外一点，连接E4,PB,AB,己

知/尸8A=NC.

(1)求证：尸8是的切线；

(2)连接OP,若OP〃BC,且OP=8,。。的半径为2&，求BC的长.

34.如图，是。。的直径，点C在AB的延长线上，CO与。O相切于点。，CELAD,

交A。的延长线于点E.

(1)求证：ZBDC=ZA；

(2)若CE=2眄,DE=2,求AD的长.

(3)在(2)的条件下，求弧的长.

35.已知△ABC内接于O。，过点A作直线EE

(1)如图①，A8是直径，要使E尸是。。的切线，还须添加一个条件是(只需写出三

种情况).

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(I)(II)(III)

(2)如图(2),若AB为非直径的弦，/CAE=/B,则所是的切线吗？为什么？

图①图②

36.如图，在△A8C中，AB=AC,以45为直径作半圆。0,交8C于点。，连接AD过

点。作DELAC,垂足为点E.

(1)求证：。石是。。的切线；

(2)当OO半径为3,CE=2时，求8。长.

37.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,是/BAC的平分线，经过A、。两点的圆的圆

心。恰好落在AB上，O。分别与A3、AC相交于点E、F.

(1)判断直线BC与。。的位置关系并证明；

(2)若的半径为2,AC=3,求的长度.

38.已知：如图1,在。。中，直径AB=4,CD=2,直线A。，8C相交于点E.

(1)NE的度数为；

(2)如图2,与C。交于点尸，请补全图形并求/E的度数；

(3)如图3,弦A3与弦C。不相交，求NAEC的度数.

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E

39.如图，。是△ABC的外心,/是AABC的内心，连A/并延长交BC和。。于。、E两点.

(1)求证：EB=EI-,

(2)若A3=4,AC=3,BE=2,求A/的长.

40.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径作(DO,分别交AC、BC于点。、E,点、F

在AC的延长线上，且NA=2/C8F.

(1)求证：与相切.

(2)若BC=CF=4,求8尸的长度.

41.如图，以△ABC的边AB为直径的。。交AC的中点D,DE与0。相切，且交BC于E.若

OO的直径为5,AC=8.求。E的长.

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42.在。。中，AB是0O直径，AC是弦，ZBAC=50°.

(I)如图(1),。是A8上一点，AD=AC,延长CD交。。于点E,求/CEO的大小；

(II)如图(2),。是AC延长线上一点，AD=AB,连接2。交。。于点E,求NCE。

43.如图，在O。中，为直径，AC为弦.过BC延长线上一点G,作GOLAO于点Z),

交AC于点E,交。。于点RM是GE的中点，连接CRCM.

(1)判断CM与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若CM=6,C尸=4,求MF的长.

44.如图，。。的直径AB的长为2,点C在圆周上，/CAB=30°,点。是圆上一动点,

£>E〃A8交。1的延长线于点E,连接CD交42于点?

图1

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(I)如图1,当/AC£>=45°时，请你判断。E与O。的位置关系并加以证明；

(II)如图2,当点尸是CO的中点时，求△CZJE的面积.

45.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点。，交BC于点、E,延长

AE至点尸，使EF=AE,连接月3,FC.

(1)求证：四边形ABEC是菱形；

(2)若AO=7,BE=2,求半圆和菱形A2PC的面积.

46.如图，已知AB是。。的直径，C,。是。。上的点，OCHBD,交于点E,连结

BC.

(1)求证：AE=ED-,

(2)若AB=10,/CBD=36°,求京的长.

47.已知是。。的直径，AB=2,点C,点。在。。上，C£>=1,直线A。，BC交于点

E.

(I)如图1,若点E在。。外，求NAEB的度数.

(II)如图2,若点E在。。内，求的度数.

48.如图，已知。。是等边三角形ABC的外接圆，点。在圆上，在CD的延长线上有一点

F,DF=DA,AE〃BC交CF于E.

(1)求证：EA是O。的切线；

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(2)求证：BD=CF.

49.如图，AB是。。的直径，弦CD垂直平分04垂足为点连接并延长CO交。。于

点、E,分别连接。E,BE,DB,其中NED8=30°,NCDE的平分线DN交CE于点G,

交。。于点N,延长CE至点R使尸6=即.

(1)求证：。/是。。的切线；

(2)若OO半径r为8,求线段DB,8E与劣弧。E所围成的阴影部分的面积.

50.如图，A反是圆。的直径，AE平分/曲8,交。。于点E,过点E的直线FGLAR垂

足为R3为直径。以上一点，点E、歹分别在矩形ABC。的边BC和C。上.

(1)求证：直线FG是。。的切线；

(2)若AL>=8,£8=5,求。。的直径.

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参考答案与试题解析

选择题（共5小题）

1.已知。。的半径为2,A为圆内一定点，49=1.尸为圆上一动点，以AP为边作等腰△

APG,AP=PG,NAPG=120°,0G的最大值为（）

A.1+V3B.1+25/3C.2+VsD.2V3-1

【解答】解：如图，将线段04绕点。顺时针旋转120°得到线段。T,连接AT,GT,

OP.则AO=OT=1,AT=M，

•••△AOT,△APG都是顶角为120。的等腰三角形,

：.ZOAT=ZPAG=30°,

0APAV3

J.ZOAP^ZTAG,==

ATAGV

•0A=AT；

"AP肃

：.^OAP^/\TAG,

-0P-0A-V3

••-,"：OP=2,

TGTA3

；.TG=2«,

OGWOT+GT,

：.0GW]+2«,

，0G的最大值为l+2«,

故选：B.

2.如图，O。中，弦AB，。，垂足为E,尸为CBD的中点，连接AF、BF、AC,AF交CD

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于M,过尸作FHJ_AC,垂足为G,以下结论：®CF=DF；②HC=BF：@MF=FC-.

@DF+AH=BF+AF）其中成立的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：为奇的中点，

•••CF=DF,故①正确，

：.ZFCM=ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZGCM,ZAME=NFMC=ZACM+ZFAC,

：.ZAME^NFMC=ZFCG>ZFCM,

：.FC>FM,故③错误，

'：AB±CD,FHLAC,

：.ZAEM=ZCGF=90°,

/.ZCFH+ZFCG^9Q°,ZBAF+ZAME^90°,

：.NCFH=NBAF,

：.HC=BF,故②正确，

VZAGF=90°,

/.ZCAF+ZAFH^90°,

六诵的度数+6的度数=180°,

.•.西的度数+品的度数=180。，

/.AH+S=W1+DF=CH+AF=AF+BF.故④正确，

故选：C.

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3.如图，直线y=L+l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，尸是该直线上的任一点，过

2

点、D(3,0)向以P为圆心，LB为半径的。尸作两条切线，切点分别为E、F,则四

2

边形尸EDF面积的最小值为()

A.B.C.2-y5

【解答】解：如图，连接。尸，

,直线与x轴、y轴分别相交于A、3两点，

当x=0时，y=l,当y=0时，x=-2,

(-2,0),B(0,1),

,'-AB=V22+12=V5,

:过点。(3,0)向以尸为圆心，虱8为半径的OP作两条切线，切点分别为£、F,

2

：.DE=DF,PEIDE,

:PE=PF,PD=PD,

.,.△PED与△PFD(SSS),

尸的半径为运,

2

当。尸_LAP时，。尸最小，止匕时。尸=AZ>sinNBAO=5X

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"/四边形PEDF面积=2SAPED=2XLPEXDE=4五E,

22_

，四边形PEDF面积的最小值为唱.J（泥）2_（半）2=平.

故选：A.

4.如图，AB,5。是。。的弦，NB=60°,点。在NB内，点。为前上的动点，点M,

N,P分别是AD,DC,C8的中点.若。0的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是（

VZAOC=2ZABC=120°,

•・Q=OC,OH1AC,

：.ZCOH=ZAOH=60°,CH=AH,

.•.a/=A#=OC・sin60。=«,

：.AC=2^,

,:CN=DN,DM^AM,

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：.MN=1AC=43>

•：CP=PB,AN=DN,

:.PN=LBD,

2

当2。是直径时，PN的值最大，最大值为2,

C.PM+MN的最大值为2+73.

故选：D.

5.如图，AB是。。的直径，AB=10,P是半径。4上的一动点，PCLAB交。。于点C,

在半径08上取点。，使得O0=CP,OQLAB交O。于点。，点C,。位于A3两侧，

连接C。交A3于点尸，点尸从点A出发沿A。向终点0运动，在整个运动过程中，△

C灯与△。尸。的面积和的变化情况是（）

A.一直减小B.一直不变

C.先变大后变小D.先变小后变大

【解答】解:连接。C,OD,PD,CQ.设PC=%，OP=»0F=a,

\9PC.LAB,QD1AB,

：.ZCPO=ZOQD=90°,

•；PC=OQ,OC=OD,

：.RtAOPC^Rt^DQO,

OP=DQ=y,

「・S阴=S四边形PCQ。-S^PFDS^CFO—~(x+y)"-—,(y-cz)y--(x+cz)x—xy+—

22-2-2

-X),

'JPC//DQ,

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•PC=PF；

"DQ而，

•••x-_--y----a-,

ya+x

••d—~y~Xj

.•.5阴=封+工(j-x)(y-x)=—(，+y2)=-^_

222

故选：B.

二.填空题(共9小题)

6.如图，等边△ABC中，AB=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CZ),

取C£»的中点E,连接BE,则线段BE的最大值与最小值之和为_2f

,：AABC是等边三角形，

；.BA=BC=AC=BT=2,ZACB=60°,

：.ZCAT=9Q°,

.•.AT=CT・sin60。=2«,

VAD=1,

；.2愿-1WZ)TW2V^1，

:CB=BT,CE=DE,

：.BE=1-DT,

2

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...2依愿+1,

22

线段BE的最大值与最小值之和为2«,

故答案为2a.

7.如图，AB是半圆。的直径，点C在半径。4上，过点C做COLAB交半圆。于点。.以

CD,CA为边分别向左、下作正方形COERCAGH.过点B作GH的垂线与G8的延长

线交于点/,M为印的中点.记正方形CDEF,CAGH,四边形8CH/的面积分别为反,

S2,S3.

(1)若AC：BC=2：3,则包的值为3；

s2—2一

(2)若。，O,M在同条直线上，则¥1*的值为生涯.

s3—2—

【解答】解：（1）如图，利用A。，BD.

•*AB是直径，

\ZADB=90°,

：DC.LAB,

*.ZACD=ZDCB=90°,

ZADC+ZCAD=90°,ZADC+ZBDC=9Q°,

・.NBDC=/DAC,

,・AACDsADCB,

\CD：CB=AC：CD,

**AC：CB=2：3,

••可以假设AC=2心BC=3k,

\CCT=613,

.S1^CD26k2^j

s2AC24k22

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故答案为3.

2

(2)当。.O.M共线时，设C0=a,AC=b,

"：crr=AC-BC,

2

b

22.,22_,2112

：.AB=b+^—=a,CO=OA-AC=-g---^,HM=MI=±HL=-LCB=^—,

bb2b222b

"."CO//HM,

•DC=OC；

"DH面r

a+ba"

2b

整理得：(k)[(k)2+k-l]=0

aaa

•.awo,

a

.•.2=回减二/Ll(舍弃)，

a22

..S1+S2=aj^j=1+必2,

...S[+S2-5-遥

8.如图，直线y=-x+m（机＞0）与x轴、y轴分别交于点A,B,C是AB的中点，点。

在直线y=-2上，以为直径的圆与直线AB的另一交点为E,交y轴于点凡G,己

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知CE+DE=6瓜FG=2后,则CD的长是3、/.

【解答】解：如图，设。的中点为。'，延长BA交直线y=-2于直线y=-2交

y轴于尸，作C乩LOB于X,连接O'F,作A7_L£)M于J,O'NLFG手N.

：。。是0。'的直径，

：.ZCED=90°,

•直线y=-x+〃z(m>0)与x轴、y轴分别交于点A,B,

.*.A(m,0),B(0,m),

：.OA=OB,

・・・N043=45°,

♦：0A〃DM,

：.ZEMD=ZOAB=45°,

VZDEM=9G°,

:・ED=EM,

：.EC+ED=EC+EM=CM=6加，

\'JA±DM,

：.ZAJM^90°,

：.AJ=JM=2,AM=2%,

.•.BC=CA=4,历

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.*.A(8,0).B(0,8),C(4,4),设0(加，-2),则O'N=l-(zn+4),O'F=1.CD

22

=f'V(m-4)2+62,

'：O'N±FG,

:.FN=E

在RtZkOEN中，(旄)2+A(777+4)2=A[(777-4)2+62],

44

解得根=1,

=

CDV(1-4)2+62=3^'

故答案为3旄.

9.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=10,BC=8,点。是BC上一点，BC=3CD,

点P是线段AC上一个动点，以尸。为直径作O。，点M为奇的中点，连接AM,则AM

的最小值为

【解答】解：如图，连接。M,CM,过点A作ATUCM交CM的延长线于T.

,•*PM=DM-

：.0M±PD,

：.ZMOD=90°,

/.ZMCD=^ZMOD=45°,

2

VZACB=9Q°,

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ZACT=45°,

'：AT±CT,

：.ZATC^9Q°,

VAC=10,

：.AT=AC-sm450=5&,

'：AM^AT,

：.AM的最小值为5近,

故答案为5^2.

10.如图，半径为5的。。与y轴相交于A点，B为。。在无轴上方的一个动点（不与点A

重合），C为y轴上一点且NOCB=60°,/为△BC。的内心，则△A/。的外接圆的半径

的取值（或取值范围）为—殳旦_.

【解答】解：如图,

：.ZCBO+ZCOB=120°,

•:/是内心，

?.ZIOB=1.ZCOB,/IBO=L/CBO,

22

第26页共74页

ZIOB+ZIBO=1.(.ZCOB+CBO}=60°,

2

：.ZOIB=1SO°-ZIOB-Z/BO=120°,

\"OA=OB,ZAOI=ZBOI,01=01,

：.AAZO^ABOZ(SAS),

ZAIO=ZBIO=120°,

作△AO/的外接圆OG,连接AG,OG,作GO_LOA于。.

VZAZO=120°=定值，。4=5=定值，

点G的运动轨迹是0A，

△40/的外接圆的半径是定值，

'：GA=GO,GD1OA,ZAGO=120°,

ZAGD=^-ZAGO=120°,AD=OD=L,

5__

AG=——=2=5A/3_

sin60°V3,3

2

故答案为刍返.

3

11.如图，AB是半圆。的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是祕上的一个动点,

连接AD.过点C作CE±AD于E,连接BE,则BE的最小值是—用-2.

【解答】解：如图，连接2。、BC.

A..........a'S

*.•CELAD,

：.ZA£C=90°,

二在点。移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动,

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VAB是直径，

ZACB=90°,

在Rt^ABC中，：AC=4,AB=5,

•••BC=4AB2-AC2=152.42=3,

在RtZ!\BC。，中，BO'=qBe?+C0'^2^+3V13>

•：O'E+BE^O'B,

...当O'、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O'B-O'£=713-2,

故答案为：，13-2.

12.如图，已知等边△ABC内接于OO,点尸为第上任意一点（点尸不与点A、点8重合）,

连结尸8、P0,取BC的中点。，取。尸的中点E,连结若/OED=a,则/P2C的

度数为60。+a.（用含a的代数式表示）

【解答】解：如图：连接。。、OB,

:等边△ABC内接于O。，

：.OD±BC,OD^IJOB,Z(9B£>=30°.

2

点是OP的中点，

OE^OP,

2

•：OB=OP,

：.OD=OE,

；.NOED=NODE=a.,

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/EOD=180°-2a.

因为四边形。OEB内角和为360°,

AZB£D=360°-90°-60°-(180-2a)-a=30°+a,

ZEOB=180°-30°-(30+2a)=120-2a.

•：OB=OP,

；.NP=NOBP=L(180°-ZPOB)=1■(180-120+2a)=30°+a.

22

AZPBC=ZOBP+ZOBC=30°+a+30°=60°+a.

故答案为60°+a.

13.如图，己知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点8圆心的OB经过原

点。，轴于点C,点。为OB上一动点，E为的中点，则线段CE长度的最大

值为5+/H.

【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A',连接A4',BD,DA'.

由题意AC=C4'=2,BC=3,BD=OB=y^2^2=5,

=

",BA'=+22V13,

"：AC=CA',DE=EA,

：.EC=1.DA',

2

'：DA'WBD+BA',

：.DA'W5+'T，

：.DA'的最大值为5+%GE

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：.EC的最大值为5r万,

2

故答案为且Y亘.

2

14.如图，矩形中，AB=4,A£)=8,点E,尸分别在边A。，BC上，且点8,尸关

于过点E的直线对称，如果EF与以C。为直径的圆恰好相切，那么AE=6-源.

由题意易知四边形是矩形，设AE=BW=尤,

由切线长定理可知，ED=EM,FC=FM,

；B、月关于EH对称，

：.HF=BH=x,ED=EM=8-x,FC=FM=8-2x,£F=16-3x,

在RtAEFH中，•?EF2=EIT+HF1,

42+.r2=(16-3x)L

解得x=6-6+疾(舍弃)，

••AE~()-

故答案为:6-、后.

三.解答题(共36小题)

15.如图，O。为△ABC的外接圆，。为。C与的交点，E为线段0C延长线上一点,

且NEAC=/ABC.

(1)求证：直线AE是O。的切线.

(2)若。为A8的中点，CD=6,AB=16

①求。。的半径；

②求△A8C的内心到点0的距离.

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【解答】解：（1）证明：连接AO,并延长AO交。。于点R连接CF

是直径

，ZACF=90°

：.ZF+ZFAC^9Q°,

•?ZF=ZABC,ZABC=ZEAC

J.ZEAC^ZF

：.ZEAC+ZFAC=90°

：.ZEAF^9Q°,且AO是半径

直线AE是O。的切线.

(2)①如图，连接A。，

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•.•。为AB的中点，过圆心，

：.OD±AB,AD^BD^1AB=8,

2

,/AC>2=A£)2+DO2,

：.AO2=82+(AO-6)2,

；.AO=空，

3

••・o。的半径为空；

3

②如图，作/CAB的平分线交CD于点H,连接BH,过点“作出0_1_4(7,HNLBC,

\'OD±AB,AD=BD

C.AC^BC,且AD=BD

，CD平分NACB,且AH平分NCAB

...点五是△ABC的内心，＞HM±AC,HN±BC,HDLAB

:.MH=NH=DH

22=

在RtAACD中，AC=7AD-K：D782+62=10=BC,

,•*SAABC=SAACH+SAABH+SABCH^

JLX16X6=工义10XMH+工X16XOH+上义10XNH,

2222

:.DH=),

3

OH=CO-CH=CO-(CD-DH),

，OH=空-(6-&)-5.

33

16.如图，半圆。的直径AB=20,将半圆。绕点8顺针旋转45°得到半圆。'，与交

于点尸.

(1)求AP的长;

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（2）求图中阴影部分的面积（结果保留TT）.

【解答】解：(1)AOBA'=45°,O'P=O'B,

.♦.△O'尸8是等腰直角三角形，

：.PB=^p2BO,

：.AP=AB-BP=2Q-10A/2；

（2）阴影部分面积为：

S阴影=S扇形。A1p+SA（ypg——XTTX100+10X10X25it+50.

42

17.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O。交BC于点。，过点。作E/LAC

于点E,交A8的延长线于点凡

（1）判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由；

（2）如果AB=5,BC=6,求。E的长.

【解答】解：（1）相切，理由如下:

连接AD,OD,

为。。的直径，

AZADB=9Q°.

：.AD±BC.

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9

：AB=ACf

；・CD=BD=LBC.

2

•：OA=OB,

J.OD//AC.

：.ZODE=ZCED.

u：DELAC,

：.ZODE=ZCED^90°.

：.OD±DE.

・・・OE与。。相切.

(2)由(1)知NADC=90°，

・••在RtZVlDC中，由勾股定理得

AD=/c2GBe尸巾2Gx6)2=4.

'：SACD^^AD'CD^1AC'DE,

22

.\AX4X3=AX5D£.

22

5

18.如图，已知直线刚交。。于A、8两点,AE是。。的直径，点C为。。上一点，且

AC平分/B4E,过C作CQ_LB4,垂足为D

(1)求证：CD为。。的切线；

(2)若CD=2A。，。。的直径为20,求线段AC、AB的长.

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【解答】证明：(1)连接0C

•・•点。在。0上，OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

VCD±B4,

：.ZCDA=90°,

：.ZCAD+ZDCA=9Q°,

•「AC平分NB4E,

：.ZDAC=ZCAO,

：.ZDCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZDAC=90°,

・・・C。是。。切线.

(2)作0P_LA8于R

AZOCD=ZCDF=ZOFD=90°,

・•・四边形CDFO是矩形，

：.OC=FD,OF=CD,

,.・C7)=2A0,设AZ)=x,则O尸=CD=2x,

,：DF=OC=10,

.*.AF=10-x,

在RtA4OP中，A/+O产=。储，

(10-x)2+(2x)2=d,

解得x=4或0(舍弃)，

，AO=4,AF=6,AC=4&,

•/OF±AB,

：.AB=2AF^12.

19.如图，已知圆。的圆心为。，半径为3,点M为圆。内的一个定点，OM=烟,A3、

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C