中学数学教学的结构观

第一篇中学数学教学结构观的基本理论

第一章基本理论的结构框架

中学数学教学中的结构观既不等同于数学知识的结构观，也不同于课堂教学的结构观。

它与知识的结构、课堂的结构都有着紧密的联系。在中学数学教学中，知识的结构化，系统

化无疑是教学论中一条极其重要的原则。无论从知识的发生、发展、变化、演绎的过程来看，

还是从知识在运用中从单一到综合，从简单到复杂的辩证关系看，都始终存在着一种相对的

知识系统的关系，都必须以依附于一定的规律为前提，那么作为对知识讲授的课堂教学，如

何将知识与方法的教学与课堂的结构紧密的的结合在一起，使得我们的教学达到最优化，这

是我们不得不考虑的问题。数学教师，对教学改革的重要之点，就是应在实践过程中，努力

去研究和探讨这种知识与教学之间系统关系及规律性，以使我们在教学中，无论是从宏观上

还是在每一个具体问题上，都能立于一种较高的观点和较新的思想之下。

<—>

下面，我们用集合论与系统论的观点，对“中学数学教学结构”给予如下的描述：

设全集1=知识结构，把I中的元素a（知识点）按照一定的标准，划分成不同系统，

记为Ai（i=l,2,3,…，且允许Ai存在子系统）.显然Ayl，I=Ai|j2U…。我们有

（1）系统Ai具有把I中某些元素吸附到本系统之中的性质，我们称为系统的“可

凝聚性”。

（2）I中的元素具有依附到某些特定系统之中的性质，我们称为元素的“可从属

性”。

（3）由于系统的可凝聚性及元素的可从属性，显然I中系统Ai并非孤立的，它们

可望通过元素出在不同系统中出现而形成特定的有机结合，我们称为系统的

“可结合性:为了刻划各系统结合的程度，我们用P=（AipAj）（n）表示

它们结合的度数，即两系统间的共同知识越多（元素越多），则P值越大，

此时Ai与Aj结合的程度越高。

通过以上的描述，我们将要研究知识结构及各类系统的功能作用这个重要问题。

无疑，知识点在相关的系统中都具有其特定的功能（例如一元二次方程根的判别式在代

数方程系统中，具有判定一元二次方程有无实根的功能）。显然，知识点功能的大小取决于

它在各系统中出现的频率，即其可从属性越大，那么功能也越大，反之亦真。但我们却不能

简单地认为Ai的功能是其元素看的功能和。因为它功能的大小还取决于它与别系统的结合

度数。加之我们对问题探讨的不断深入和认识的不断提高，系统的功能与元素的功能也会不

断的变化和加强。

为此，如何把知识归类和系统化，以正确体现和深刻揭示系统的功能就成为教学中应该

着意思考的问题之一。

1.加强对知识发生、演变、深化过程的教学，使新的知识点迅速地纳入原有的知识网

络以形成新的系统，这不仅是复习课应考虑的问题，也是任何其它类型的课应遵循的原则。

例如关于不等式性质的教学，其理论是实数的性质和实数的运算性质："a—b>Ooa>b。"

这里，a-b是实数运算，a—b>0是实数的性质，a>b是实数的大小比较，它们之间的衔

接是实数的运算性质。在不等式的教学中，立足于实数运算性质和实数的性质，就可较为成

功地引出相关的不等式性质。学生既不会感到突然和不易理解，同时知识的结构化，系统化

也明显地得以加强和扩展。教学表明，用这样的思想方法处理教材，是突破难点的有效手段。

当然，对教师就有一个如何设计课堂结构，如何抓住基础的问题。

我们还需指出的是，任何知识点除具有可从属性之外，也必然存在反映其本质的特定性,

这也是不同的知识点（甚至同一系统中）相互有别的标志.一个科学的完整的知识系统的建

立与此息息相关。例如反三角函数，它作为一种从属于三角函数的系统，但又以其特定的“区

间性”区别于其它的角（这是反三角函数存在的条件）。这就是它的本质特征。在教学中，

如果不从它的从属性和特定性两个方面充分地展示知识点的形成过程，那么又如何能够有效

发挥它的功能呢？

2.加强对知识可从属性的教学

在教学中如何体现和引导学生发现和领会知识的可从属性,不仅是教师能力强弱的重要

标志，也是教师把握知识结构能力高低的重要标志，同时还会直接影响学生接受知识和运用

知识的深刻性，如一元二次方程根的判别式及其根与系数的关系，在方程系统中的解决方程

的根的性质为其功能。随着教学的不断深入，知识的不断积累，其可从属性也逐渐加强。在

代数中，函数的图象，值域的有关问题，不等式的证明，解析几何中曲线的位置关系，交点

的个数，弦长，参数方程等均出现其渗透的例证。因而，教学的过程既是一个知识如何获得

的过程，也是将知识不断进行分类、整理、归并和发展的过程，这就对教师如何引导学生类

比、联想、分析、综合提出了较高的要求。因为知识的可从属性从根本上看，正是知识的内

涵和外延深刻反映的表象。

3.加强知识系统间可结合性的教学

知识系统的可结合性正是系统中元素可从属性的反映，它的结合度数的高低，实质是其

元素横向渗透能力的表现，一些看来孤立的知识点，由于不断出现新的从属关系而产生新的

功能，这些新的功能正是系统可结合性的反映，这些知识点由于它的多重属性，作为连接知

识系统的桥梁，分别作用于其从属系统，一方面使各知识系统不断更新和发展，另一方面促

进知识结构向更高层次进化。例如复数一章的教学，由于复数可用复平面上的点、有向线段

及三角形式、代数形式表示，因而就使得复数的相关知识紧密地从属于平面几何，解析几何、

三角和代数的特定系统之中，反之，又产生复数在平几、解几、三角和代数等问题中应用的

现象，这正是知识的结构化、系统化鲜明而生动的例证。

<~>

前面我们已经论述到知识结构及知识系统的形成和功能。作为对问题的进一步探讨，应

该研究的是结构中的知识点是通过什么样的途径和方式形成并产生从属作用的？又是如何

相互发生关系而形成知识网络的呢？它们在解决问题的过程中是如何产生特定的功能作用

的呢?这里，不能不涉及到三个重要的问题：即学科思想、数学思维方法和数学方法。

1.它们互相间的网络关系

学科思想，指的是对知识系统构成的基本方式，和解决问题时的一般方式、原则的一种

指导思想。作为思想，它渗透到学科知识的每一个环节之中。例如，解析几何就是用代数方

法去研究平面几何图形的大小、位置关系及性质的一门学科，这就是对解析几何准确理解和

把握的指导思想。其系统连接的基本方式是用方程和数式的变形去处理各种几何图形的性

质、变化和相互关系。

关于数学思维方法与数学方法有人统称为数学方法。我们觉得这似乎不尽准确，至少对

我们论述问题是不方便的。事实上，数学方法指的是解决数学问题的特定方法（如待定系数

法、数学归纳法、换元法、图象法等）。其实质为一种手段。而数学思维方法则属于思维学

科的范畴，它实质是寻找数学方法之“方法”，（如特殊与一般，猜想与论证，解题方法的策

略与原则等），它不是手段，而是手段产生前的一种更高层次的心智活动。

为表明学科思想、知识结构，数学思维方法及数学方法之间的关系，我们给出的如下的

框图展现它们间的网络连接:

从图可知，数学思维方法起到连接三者的枢纽作用，而学科思想则起到指导作用

2.学科思想和数学思维方法对知识结构的作用

我们认为不同知识结构的形成和知识网络的演变、发展并不都是同一条件下的模

式。它们完全取决于学科思想的确立及思维活动展开的程度。例如，在解析几何中，平面上

的点可以用有序实数对（x,y）表示，那么作为平面上点的特定集合一一直线，能否用数对

（x,y）的定量关系来描述呢？正是由于学科思想的指导性，萌动了我们去研究直线方程的

动机，而在直线方程的寻求过程中，通过了类比思维方式，即点在直线上，它必然满足（存

在）某种特定的关系（反映在代数上，是点的坐标间的数量关系）。从而逐步完成了对直线

方程的研究，形成新的知识点，并从属于已有的解析几何知识系统，使系统得以扩展和丰富。

而对二次曲线的研究也完全运用同一思想。这充分说明一个准确的学科思想对知识结构形成

的作用。而这个指导作用则是通过思维方法来实现的。

3.学科思想和数学思维方法对数学方法的作用

数学思维方法，在教学中，体现在对思维规律的充分揭示上。学科思想和思维方法不仅

仅对知识点的形成，知识网络的扩展起到指导和桥梁作用，同时，还在解决数学问题时，显

示其无比活力和选择最佳数学方法的决策功能。例如，在数学归纳法的教学中，处理平面图

形的有关问题是一个难点。如，有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不

相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成茁一n+2个部分。

为突破难点，我们首先应该联想平几的有关知识。平几的基本元素是点和线。正是由于

点和线的位置、数量的变化，构成了丰富多彩的几何图形，并引起几何图形性质的变化，这

是平面几何学科思想的体现，为此，当圆的个数从k个增加到k+1个时，必然影响到平面

上点（交点）的数量变化，而交点的数量变化有引起所截得的弧的变化，进而引起平面块数

的变化。因而，考虑“增加一个圆后，交点个数的改变量和截得弧的条数的改变量就成为突

破难点的关键所在。为更直观，更简便起见，不妨先看k=2（甚至是k=l）时，这样情况

就十分明显了。学生在引导下，通过观察（情况简单，易于观察），马上发现增加的交点数

与增加的平面块数完全一样。由此抽象到k+1个时，问题也会迎刃而解。显见，学科思想

和数学思维方法对问题的解决产生了决策性的作用。

需要一提的是，各类参考书都几乎一致认为，一题多解是沟通各种知识间的关系，使学

生掌握各种数学方法，训练思维灵活性的好途径，诚然，我们不否认它的作用，但仅仅是为

了寻找尽可能多的解法吗？既然找到了解决问题的途径，是什么原因促使你再去寻找别的解

法呢？这新的解法又是如何找到呢？看来,很有必要提及数学思维方法对数学方法产生和对

最佳数学方法选择的决策作用。也就是说，各种解法的介绍必须植根于数学思维方法的土壤

上。否则，宁可不讲，也毋滥讲，以免使学生发出数学高深莫测的感叹。

例如，求直线x+2y-2=0被圆x2+y2=2所截得的弦长。

由于弦长实质上是两点间的距离，当我们把命题写出时，学生几乎脱口而出：求交点，

再求弦长。无疑，这不失为一种解题方法。然而，通过解方程组求交点比较麻烦，且易出错,

从解题的美学原则分析，不符合“简洁美”的要求，能否找到一种简单的方法呢？以前解决

过的问题有否相似的类型呢？（这是等值思维）学生不难回忆起《解析几何》教材中有关的

例子时，曾经用韦达定理解决过抛物线的弦长问题，于是用类比方法找到了新的解法。我们

再提示，解几是用代数的方法研究几何问题，它离不开几何图形特有的性质这个前提，因而

对几何图形性质研究的深刻程度往往决定着命题的解决思路及繁简（这事实上是学科思想的

作用）。于是学生就不难找到通过弦心距求弦长这一简洁的方法。以上的分析表明，这道题

处理不仅是解决圆弦长的几种求法，更应该揭示这儿种解法的出现是以等值思维、美学原则、

学科思想为前提的。如果更进一步把命题改为已知弦长，求直线方程或圆的方程，这对锻炼

学生的逆向思维就更有帮助了.

从前面的论述使我们清楚地看到，学科思想与数学思维方法是教与学中最活跃的因素，

知识结构的功能在其连接下充满活力；数学方法在其指导上而更合理；课堂教学在其运用下

而倍显生机勃勃。可以认为，中学数学课堂改革的一个重要之点就是对学科思想的深刻领会

与数学思维方法的充分展示0

第二章对数学思想的界定及功能的认识

第1节数学思想的哲学意义

在第一章中，我们提到了学科思想，而所谓的学科思想从本质上来说，其实就是数学

思想.近年来，对数学思想的研究，已成为中学数学中一个热门的话题。如前所述，作为一

种观念，它要求渗透到数学教学之中；作为对学生数学素质的考察，又贯穿串于高考命题的

整个过程；作为数学解题中思维规律的提示和方法的选择，它起着调控和决策的作用；作为

知识结构中各个知识点的连接，它又有着桥梁和枢纽功能。因而，研究数学思想在中学教育

中的作用及意义，已成为中学数学教学中不可或缺的内容,受到人们的广泛注意和高度重视。

那么，什么是数学思想呢？所谓数学思想，系指人们在研究数学的过程中，对其内容、

方法、结构、思维方法及其意义的基本看法和本体的认识，是人们认识数学的观念系统。它

既遵循一般意义上的认识论的基本规律，同时又是一种更高层次上的方法论；它既有着形式

逻辑上的特点，更符合辨证思维的内涵。它属于辨证唯物主义哲学的范畴。因此，为着对数

学思想有更深层次的认识，笔者力图从哲学的角度，对其作一些理性的探讨和考察。

我们知道；哲学是“关于普遍联系的科学”（《自然辨证法》，第3页）也就是说，一切

事物、现象之间都存在这互相联系、互相补充。互相作用。互相制约的关系，世界上没有任

何事物、现象与其他事物、现象是无联系的。这种联系呈现五光十色的多姿多彩，有本质联

系，非本质联系，有内在联系，外在联系；有必然联系，偶然联系；有一般联系，特殊联系；

还有互相补充、互相结合的联系等。所以，我们在数学思想中谈到的函数思想，不过是这种

哲学观念在数学领域中，对事物现象之间的数量关系的一种本质的描述，反映出事物或现象

联系的一种方式。如果我们对函数概念的历史变迁作一番巡视，就不难看出，每次的修正或

补充都比原来的概念更严密、更准确、更合理地刻画出事物地内在联系，从而更符合“联系

的科学”这一深刻的本意。然而函数思想只不过是“联系”的观点在数学中一种相互制约的

表现。当我们的视野在数学的领域上作更大范围的俯视时，则不难发现，数学学科是一个不

可分割的整体，它的活力在于各部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，但可看到作为整

体的数学中使用相同的逻辑推理，有着概念的亲缘关系，有着定理上的类比性和方法上的同

构性，在它们不同部分之间也有着大量地相似之处。可见，“联系”的观点贯串于数学知识

的发生、演变过程。例如，点和曲线既可以在直角坐标系中加以研究，也可以在复平面上加

以审视，同时还可以在极坐标系中加以考察。但是如果抛开非本质的东西。则可以认为极坐

标中，点P的表示法与复平面上复数的三角形式时一样的，（因为都是0P的长度与OP的

定向所确定）换言之，我们甚至可以把极坐标系看作是去掉虚轴后的复平面。这种大胆的看

法不但揭示了这两种平面形式上的联系和一致性。也为我们在教学中极坐标系的建立找到了

完美的理论注释。

上面的分析给我们的启示是，函数思想既然可以看作哲学中“联系”的观点在数学中

的一个体现，那么数学知识点之间种种形式的联系，正是知识可以构成网络，方法形成系统、

形成结构的理论依据。只要我们善于挖掘，捕捉这种联系。那么我们的课堂教学就可以在更

广阔的时空范围上得以延伸、变化和发展，这时培养学生全面看问题，以形成思维的广阔性

是有益的。

马克思主义的哲学同时还承认，矛盾和转化是现实世界的普遍规律，事物内部始终存

在着对立统一的现象。在数学领域中，这种矛盾的现象得到更为形象，更为深刻，因而也更

为本质的反映。例如，从认知规律上看，有已知和未知，熟悉和陌生，简单和繁杂的矛盾；

从知识结构来看，有直线与曲线，相等与不等，有限与无限，常量与变量等矛盾；从表现形

态上来看，有数式与图形，平面与空间，运动与静止等矛盾。数学的发展正是在于人们不断

地揭示这些矛盾，并力图促进这些矛盾的转化而得以实现的。数学解题的过程就是去发现条

件和结论的矛盾，并寻找实现转化的方法，达到条件与结论和谐统一的过程。由此可见，我

们在数学中谈到变换思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，只不过是上述观点在数学领

域中的典型应用。

这里，留给我们的思考有：

1.解题过程的任何转化，都应该有强烈的目的性：即寻找条件和结论的差异(差异

就是矛盾)，分析差异，解决差异，达到条件和结论的统一为目的。这样我们的思维才能有

明确的指向性，避免陷入变换的盲目性。正如恩格斯在《自然辩证法》中所说：“由这种形

式变到另一种形式，不是无聊的游戏，而是数学的杠杆，如果没有它就不能走很远。”

2.这种对立统一的现象既然大量地存在于数学的知识及其数学学习的过程之中，那

么矛盾转化的思想就理所当然地成为指导我们认识和解决数学问题地基本观点。善于在相同

的现象之中找它们不同之处，同时还要在不同的现象之间找到其相似之处，正是我们学习数

学时观察能力高低的重要标志，同时也是创造思维形成的先决条件。例如，求经过点A(4,

-1)和直线2x—y=0相切于点M(l,2)的圆的方程。按照一般的解法，其计算量是颇大的。

可但是如果从辨证的眼光来看，把切点M看成是半径为零的点圆；把直线2x—y=0看作是

半径为无穷大的圆，将所求的圆与之纳入共点圆系(x-I)2+(y-2)2+2(2x-j)=0之中，

则只须求出；I的值即可，此时将A(4,-l)的坐标代入，求得；1=-2,故所求圆的方程为

(x—3y+(y-l)2=5.这里把点，直线，圆，完美地统一在同一个方程之中，找到问题简

洁的解法，这与其说是数学方法的成功，倒不如说是辨证法的胜利。

3.上述的分析还表明，变换的思想、数形结合以及分类讨论的思想，只是矛盾转化

的派生形式，数学知识结构之中，由于各门分支，各个章节知识是千差万别的，都有其自身

的特点，其转化的方式也是不尽相同的，教师必须善于挖掘和抽象出该章节的转化方式，提

炼为数学思想，是学生对该章的内容、结构、方法的深刻性、灵活性和批判性，这应该是教

师更有意义，更富于研究性的工作。

通过上面粗浅的分析，固然每给我们思考的问题依然很多，但却可以清晰的看到，数

学思想所以成为数学知识结构和数学学习过程中最具有活力、最具功能性的因素，其原因就

是根植于哲学这块博大精深、源远流长的丰腴的土地上。只要我们认真加以研究，悉心予以

培植，她就会开出灿烂的思维教育之花，结出丰硕的素质教育之果。

第2节数学思想的“细分”及应用

在上一节我们对数学思想给出了以下定义：所谓数学思想指的是人们在学习数学的过程

之中，对数学的内容、方法、意义的本体的认识，是属于哲学的范畴。这是数学思想的本质

属性，即是数学思想这一概念的内含。由此可见，在考试大纲中所给出的函数与方程、分类

与讨论、数形结合及转化与变换的思想均属于数学思想的外延。然而，我们不难看出，既然

数学思想是属于哲学的范畴，在哲学的概念中，转化思想一一无疑是在研究事物的过程中最

重要的、最核心的思想。根据这一观点，不管是函数与方程，分类与讨论及数形结合，其实

都是转化的思想在具体形式上的应用。亦即在认识和解决具体的数学问题上使我们对问题的

本质看得更清楚。但是，在教学实践中我们却深切地感到，仅仅将数学思想分解为几个这样

的外延，还不足以使我们(包括教师和学生)更深刻的诠释和认识数学，由此，在教学的过

程当中往往出现贴标签的情况，并不能够使学生心悦诚服，遇到类似的问题，同样无法找到

解决的途径。由此，我们认为有必要将数学思想进行“细分”。

将数学思想进行细分，就是结合每一章或每一单元的内容，将数学思想的运用途径与内

容紧密地联系起来，使数学思想具有一种鲜活与清晰可辩的形式，学生容易理解和掌握，这

对提高学生的能力将是一件有意义的工作。

例如，在学习复数一章时，我们结合该章的内容，将这一章的基本思想概括为：一、实数

化的思想。因为复数的代数形式与三角形式的本质就是通过有序的实数对来描述复数，这样

就使得把复数的问题转化为实数的问题来处理成为可能，实现实数化的途径就是复数的三角

形式和代数形式，例如复数的相等，用复数求轨迹的问题；另一方面，实数化的思想还体现

在复数集中解决问题的方法与步骤和实数集中解决有关问题的方法与步骤的同构性。第二、

数形结合的思想。由于复数与复平面内的点和向量的对应关系，这就使得复数得概念、运算、

性质有着明显的几何意义，使得复数得问题有着直观的几何解释，从而可以借助几何图形去

分析和解决问题。第三、整体的思想。它主要体现在模与共辆复数性质的应用。上述的三个

基本思想，是我们解决复数问题的基本出发点，也是理解教材的基本思想。我们可以通过以

下的问题来阐述以上基本思想的应用。

例：

从本例中，我们的确可以看到，正是在三个基本思想的启迪下，得出三种不同的解法，

从理论上来说，每个复数的问题应该可以通过这几条途径得出相应的解法，然而，从实际上

来说，有时由于变换的复杂性，或者由于条件与结论之间的关系在某条途径上的隐蔽性，却

又并不是每一条思路都能顺利解决问题的，即便可以解决问题，却又有繁简之分，这就需要

我们有一定的思维评价和预测能力，从实际问题的背景出发，选择恰当的形式，找到处理问

题的正确思路和最优解法，这正是灵活应用基本思想的体现。

在“不等式的解法”中，由于涉及到整式不等式、分式不等式、绝对值不等式、无理不

等式、指数、对数不等式，等等。众多形式不等式的解法，使学生疲于记忆。那么，如何使

学生免去记忆的痛苦，又能够在更高的层次上把握住不等式的解法哪？事实上，高中阶段不

等式的学习是在初中阶段学习了一元一次不等式和一元二次不等式的基础上，再进行对其它

不等式的学习，而一次函数与二次函数又正是解这两种不等式的理论基础。因此，我们把解

不等式的基本思想确定为：一、转化为一次、二次或其它的整式不等式；二、转化为函数关

系，利用函数的性质或数形结合来解决问题。其实，我们只要留心一下，就不难发现，在高

中阶段学习的所有不等式，都是通过这两个基本思想找到解决问题的方法，不管是高次不等

式中的“以乘作除”“数轴标根法”，或者绝对值不等式中的“平方法”与“零点讨论法”，

又或者无理不等式中的“换元法”、“平方法”、“图象法”等等，无一例外。以上的方法只不

过是实现这两种转化的具体途径。学生在深刻理解以上的基本思想之后，不仅能达到从“自

由到必然”的认识，而且还能从创新的角度对许多不等式提出一些充满“诗意”的解法。例

如

上面的分析使我们看到，对数学思想的“细分”的确有助于教学，有助于解题思路的寻求,

有助于在更高的层次上深刻的理解数学。我们有理由认为，对数学思想的“细分”是每一个

数学教师应该做的一件工作。然而，应该看到，如何“细分”却不是一件轻而易举的事情，

它必须植根于对教材刻骨铭心的认识，对数学知识结构有着高屋建瓶的独到的见解，还应有

着于细微处探幽的抽象能力，这样，才能使我们的教学摆脱形式主义、人云亦云的纠缠，达

到一种理性的、充满活力的境界。

第三章对设计思维过程的理解及认识

第1节设计思维过程的若干原则

前面我们对数学思想这一概念的内涵、外延、应用及有关细分的问题作了比较详尽的论

述,下面我们将要谈到的是思维方法的问题。什么是思维方法？许多文献都有了相应的介绍，

这里就不作过多的解释。我们知道能力培养的核心是思维能力。如何通过课堂教学，使学

生在接受数学知识的同时，形成较强的思维能力，应该是我们课堂教学中亟待解决的问题。

由于这一基本观点的确立，近年来，人们在数学的课堂教学中，已不满足于一个定理，一

个公式介绍给学生，并使学生掌握为目的，而是力图把定理及其公式发现的思维过程作出

合理模拟，以求在思维过程的合理模拟中，使学生成为发现问题、分析问题、解决问题的

参与者，并在参与的实践中认识自身的智力价值和促进良好思维品质的形成，这种思维过

程的合理模拟就是我们所说的设计思维过程。那么如何进行思维过程的设计，才能达到所

期待的目的呢?我们认为，应该遵循如下的若干原则。

1、必要性原则

这里所说的必要性，我们指的是，提出或研究某个问题的必要性,爱因斯坦曾经说过:“提

出一个问题往往比解决一个问题更为重要。”因为一个新问题的提出，不仅仅集中着人们的

观察力、想象力、概括抽象能力和预见性，同时又由于问题的提出，它预兆着一种新的可能

性的产生，往往标志着科学每次取得进步的开端。因此，从某种角度来说，能否善于提出有

价值的问题应该是比解决问题更为重要的。因此，我们应该在数学教学的过程中，对一些重

要定理、公式提出的必要性作出精心的设计。

例如，在反三角函数的内容中，利用数形结合研究反函数的性质后，得到了反余弦函数

既不是奇函数也不是偶函数，即arccos6x)=±arcco院不成立。课本随后给出了：“下面我

们来证明：对于任意xe[-1,1],有arccos(-x)=4-arccofix”

学生不禁要问，这个关系式是怎样提出的?又是如何找到的？为了回答这一问题，在课堂教

学的设计上，我们做了如下的处理：当我们得出了y=arccosr既不是奇函数也不是

偶函数的结论之后，紧接着就分析：由于反正弦函数的奇偶性非常明确，即有

arcsin(-x)=-arcsinx出于对事物和谐性及统一性的追求，我们极想

了解arccosGx)与arccosx究竟有什么关系呢？从图象可知，y=arcco&r的

-rr

图象虽不关于原点中心对称，也不关于y轴成轴对称，但它关于点。(0,5)成中心对称，

这一图象性质抽象成函数性质即是公式arccos(-x)=^-arccosx，虽然寥寥数语，但却

为这一公式出现的必要性提出了合乎逻辑的铺垫(即问题)。

从对上面例子的分析，我们可以看到，一个问题的提出绝非是偶然的，有时是出于对统

一性的理解，有时是对完美性的追求，当然，还有些是联想的结果，归纳类比的产物，甚至

是直觉的猜想等等，但不管如何，学生只要能一个个地提出问题，才能一步步地探索真理，

进而才能逐步地培养自己地创造能力。

2.合理性原则

设计思维过程的核心问题就是要回答解决问题的方法是怎样找到的。具体地说，如回答

为什么要添加辅助线?为什么要用韦达定理?为什么要用换元法?……o使用这些数学方法的

原因是什么?或者说是把选择运用数学方法之前的心智活动揭示出来，这就是我们所说的设

计思维过程。

由于数学家的思维活动是通过书本隐蔽地提供的，我们无法，事实上也没有必要对当

时数学家地这种思维活动作寻根问底的探究，但至少我们可以根据问题的条件和结论，对

解决问题的思维轨迹作一合乎逻辑的描述，这就是设计思维过程的合理性原则。合理性原则

有三个标准。一是解决问题的思维过程应符合马克思主义认识论的基本原理，二是符合形式

逻辑和辩证逻辑的一般规律，三是符合学生的心理倾向。

TT

例如，在反三角函数的最后部分出现了一个公式arctanx+arccotx=—,

2

它对解决反三角函数的有关问题起到了一定的作用，我们是这样来分析的：

我们首先提出，前面曾孤立地研究了四种反三角函数，并且得出了它们相应的性质。然

而，任何事物都不是孤立的，那么这些函数之间是否也具有我们感兴趣的那?紧接着又启发

学生，前面四种函数性质的研究，我们是充分地利用了函数的图象，从数形结合的观点去考

察它的各自的性质，从而，对这一问题的研究是否也采取类似的方式呢?学生很快意识到应

在同以坐标系下作出y=arctanx和y=arccotx的图象，通过对图象的直观考察，发现

它们具有一种优美的对称性一一即关于直线y=t对称，再联系到若点£（当，%）与点

£区，乃）关于直线y对称，则有必+必=2。的结论，学生们很快地得到了

7T

arctanx+arccotx=—的结论。再经过几个特殊值的验证，结论也是成立的。但是，任

2

何直观的考察和特殊值验证都不能代替严格的形式逻辑的证明，那么如何去证明我们所发

现的式子是正确的呢?为了解决“观察出来''与"证明出来”的认识矛盾，我们先让学生考察

等式的本质问题是角的相等，再联想到三角函数中角相等的证明是采用“同值同区间”的方

法，不难得出书本上的证法一。我们再改变一下观察的角度，联系到反三角函数所特有的

区间性的性质，可设a=arctanx,贝（Jtanc=x，且£e（一鼻，9于是弓一a）e（0,兀）.

JI

又注意到x=tane=cot（----乃），

所以左边=arctan（tanx）+arccot[cotg-a）]=a+]■从而得出证法二。

对这一问题的分析处理过程，显然要比平铺直叙地给出公式，而后照本宣科的证明要深

刻得多，同时在课堂教学中也精彩得多，活跃得多，这是因为:第一，学生没有被动地接受

这一现成的结论，而是参与公式的提出与发现过程，体现了主体作用；第二，从直观到抽象,

从特殊到一般是符合马克思主义认识论的；第三，公式的证明是运用了“功能性的思考''到

“特殊性的处理''这一形式逻辑的演绎推理规律；第四，哲学思考的最大价值在于教会人们从

不同的角度去观察问题。证法二的产生正是这一观点的体现，同时也是符合学生的心理倾向

的，因为这样的思维过程设计，虽然不能说是最好的，但至少是合理的，它对启迪学生的智

慧起着良好的促进作用。

3.可接受性原则

可接受性原则是中学教学法中最基本的原则，思维过程的设计同样要遵循这一原则。亦

即在思维设计的过程中，应该根据学生的年龄特征所决定的思维水平及其与学生当时已掌握

的基础知识、基本技能相适应的，是力所能及的。这里我们想强调的是，传统的观点认为，

对难的问题统统化难为易就是好的方法，因而人为地设置种种桥梁和铺垫，使得整个解题

的思维过程直观化，简单化，似乎就是设计思维过程的可接受性原则。事实并非如此。因为

往往所谓的“难”，就是整个思维过程相当隐蔽，或者对学生来说相当陌生，然而正因为如

此，它所蕴涵的思想就更加深刻和丰富，其解决问题的思维过程就更为生动和精彩，因而准

确而合理地把解决问题的思维过程揭示出来，学生的思维水平就能得到一个质的飞跃，提到

一个更高的水准之上。

例如，已知平面上有2n+3个点（其中无三点共线，无四点共圆）那么必有一个圆过其中

三点，而其余2n个点各有一半分别在圆内和圆外。

这个问题显然有一定的难度，那么如何设计思维过程才能符合可接受性原则呢？

［分析］:由题设可知，平面上2n+3个点可确定C1+3个圆，这些圆几乎是“杂乱无章'’地

分布在平面上。那么哪一个圆具有题设地要求呢?我们知道，数学研究的对象都是寻找事物

变化中的某种不变的性质，或者是在似乎无规律的现象中发现有规律的现象。为此，无妨考

察过某一点A的圆系中，能否在这些圆中找到满足条件的圆，很快发现，在这些有规则的

圆中，很难找到我们所需要的圆。无妨再增加一点，即过A,B两点的圆系，从图可知，

这些圆在线段AB的同旁问题岂不是解决了吗?为此，关键是A,B这两点的选择能保证其

余各点在直线AB的同旁即可，而这两个点显然是存在的。（解法略）

这样的思维设计显然较难，但学生是可接受的，因为它符合上述的合理性原则。从我们

设计的主导思想来说，目的并不在于使学生占有解决本题的技巧和方法，而在于领悟解决这

个问题的思维活动，通过这一问题的解决，学生得到的是化无规律为有规律，化无序为有序，

化一般为特殊的思想。这对培养学生思维的灵活性，深刻性应该是有帮助的。

4、“复杂化”原则

在课堂教学实践中，有一个貌似“悖论”的数学教学原则常常被人冷落，或者被视为奇

谈怪论而遭人漠视，那就是一一“将复杂问题简单化和将简单问题复杂化二其实，被人“歧

视”的倒不是“将复杂问题简单化”而是“将简单问题复杂化”，因为前者不过是循序渐进、

化繁为简的教学原则的换一种说法，早就被人们所认同，并付诸于教学实践之中。而后者往

往被人视为“异端”、不可理喻，甚至在某些场合被大加勒伐。笔者认为，有必要为“将简

单问题复杂化”正名，还其本来面目，并且充分重视它在数学教学上的应用功能。

“最简单的同时也是最重要的。”个哲人如是说。所谓“将简单问题复杂化”就

是利用知识结构的观点，将一个貌似简单的问题置于结构和系统中加以考虑，通过认知结构

的特点将其“最简单的”一面，利用演绎、变换、推理等方法将其“最重要的”一一其实就

是最深层次、最本质的一一特征揭示出来，使得在认识“最简单的”同时，认识它“最重要

的”一面。从现代教育的观点来看，它是以思维为主线去组织课堂教学，从而应是更高层次

的一种教学方法。这不仅是提高课堂效益的需要，同时也是提高学生综合素质的要求。那么，

如何将简单的问题复杂化呢？笔者认为可以有以下的基本途径。

（1）、简单的问题置于特定的知识背景之下。

我们知道，任何一个知识点都不是孤立的，它与其它的知识有着或纵或横、或直接或间

接的联系，这种联系既有逻辑的也有非逻辑的，既有抽象的也有具体的。那么，我们只要把

这种联系揭示出来，在理解和认识一个简单的知识点的同时，使得整体的层面和较为复杂的

知识结构呈现在我们心智面前。

例如，求证：=sa=l+sma（见高中《代数》上册，pl011例⑺

l-sinacosa

这是一个简单的问题，笔者作了以下的处理：

首先，在教师的引导下，学生得出课本上的三种证法。接着，带领学生探索本题的背景,

即同角的平方关系sin2a+cos2a=1.既然此式可以构造出上面的等式，那么，从这个等式我

们又可以得到什么命题呢？这样一个如何构造命题的问题就推到了同学的面前。有个学生

说：可以构造1-sma=cosa.我立即追问一句:为什么？学生回答说利用了反比定理。

COS6Z1+sina

我顺水推舟说：比例还有其它性质吗？由这些性质能否构造出相应的命题？同学们恍然大

悟，纷纷动手，利用合比、分比、合分比以及等比定理等构造出：Jsina+c°sa=

cosa

1+sina+cosacos«-l-sin«1+cosa-sin1+sina+cosa

--------------=---------------,---------------=---------------……，再进一

cosa1+sinacosa-l+sina1+sina-cosa

步，既然从平方关系的一个公式就可以构造这许多新颖的命题，那么平方关系的另外两个公

式呢？请同学们下课后再设法构造出一些新的命题，并给出这些新命题的证明方法。其实，

本例是将原命题置于有关三角函数比例式的证明方法的知识背景之下，通过比例有关性质的

横向联系，使得一个孤立的、简单的问题变得丰富多彩，不仅使课堂的气氛特别活跃，并延

续到课后。

一、将简单问题的解法置于科学方法论的背景之下。

任何一个问题的解法都是思维的结果,任何一个推理过程都是一种逻辑或非逻辑推理的

产物。如果我们能将这种思维的过程换一个方式去理解，换一个角度去观察，那么所得到的

和所看到的就不是简单的思维结果了。所谓换一个方式去理解或者换一个方式角度去观察，

事实上就是在科学方法论的背景下，将简单的问题进行联想、抽象、推广、变式，使得简单

的问题以一种五彩缤纷的画面出现在我们的视野之中。事实上，一题多解就是对这样一种理

论的诠释。有时我们找不到某个问题的解法，正是不善于换一个角度去观察或换一种方法去

考虑所至。

例如，在讲授组合数公式C：=---的发现和推导时，笔者安排了这样的教学过程：

教师首先提出，组合与排列一样，都是解决完成某件事情的方法，以及对这种方法的计

算。既然排列的问题已有公式可解决，对组合的问题我们也理所当然要找到相应的计算公式,

那么，该如何寻找呢？这时，学生从排列数公式的发现过程，通过类比的方法自然就考虑利

用特殊到一般的思维方法进行研究。然而，验算了几个特殊的数值，如c；=3,c；=3,c；=l,

c；=4,c：=6,…….，却难以对上面数的规律进行一般性的概括。这种学生熟悉的方法已无法

解决目前的问题，怎么办呢？这时，老师启发说：排列与组合都是计数的方法，不管是从概

念的提出抑或是概念的形成，排列与组合都是极其相似的，那么，它们之间有无内在的联系

呢？既然排列数的公式己经得出，我们能否从联系的观点，重新审视排列的过程，并借助于

对这种过程的再认识，找出组合数与排列数之间的关系呢？这既是一种思维方法的启迪，也

是哲学观念的引导。这时学生再重新对排列事件的过程作分析，发现从n个元素取m个元

素进行排列的过程可分两步完成:即首先从n个元素取出m个元素进行组合,其组合数有或

个；再将m个元素进行全排列，有式；种排法，由乘法原理得p：=c：p'：,从而有

%=吧,因此得出了组合数公式，其证明就不难了。

Pm

（2）、简单问题的条件或结论加以变换或引申。

我们知道，人类科学的进步就是在不断提出问题和解决问题的探索之中前进的。一

个简单的问题后面常常隐藏着变化的空间（越是简单的越是如此），它借助于知识之间的联

系，方法之间的借鉴，思维过程的类比（甚至是逆向类比），形式之间的相似，进行由此及

彼的变换及引申，使问题以一种新的形式出现在我们面前。加以变换后的这种形式往往以复

杂的、陌生的面貌使我们对问题的解法处于新的探索之中。而这种探索的背后常常预示着一

种新的方法的出现，一种新的知识的产生，甚至于一个新的领域的诞生一一数学发展史常常

这样告诉我们。因此，条件、结论的变换和引申就不是一种无聊的游戏（包括形式的变换）,

而是人类科学进步的阶梯。例如，在讲授极坐标系的时候，我们先复习了复数的三角形式，

发现复平面上的点的表示方法，其实与y轴一点关系也没有，它只与op的长度和op的方向

有关，数学本身的简洁性无法容忍y轴的存在，我们干脆把y轴去掉，可这样一来，它再也

不是直角坐标系了，但同样可以表示平面上的点，也就是说，发现了一个新的坐标系，我们

把这个坐标系称为极坐标系。换言之，极坐标系事实上是去掉虚轴后的复平面。我们不知道

当年极坐标系是否这样发现的，但至少有理由认为，这种大胆的看法不但揭示了这两种平面

形式上的一致性，也为我们在教学中极坐标系的建立找到了完美的理论注解。

又如，在讲复数向量形式的时候，我想作为教师至少要考虑这样几个问题：有了复数的

代数形式和点的形式，为什么还要讲向量形式？这是其一；向量形式是怎样被发现的？此其

-；第三，复数的向量形式有什么用？否则，学生的学习和认识完全处于一种被动和盲从之

中。为此，笔者安排了这样的教学过程：

首先复习了复数的代数形式和点的形式以后，老师指出：数和点是两种不同的事物，它

们之可以发生关系，其实它们都是数对（a,b）的一种外在的形式，换言之，数对才是本质。

也就是说，一个事物如果有不同的表达形式，那么这些形式之间必然有某种联系。既然如此,

那么数对还有什么表达形式呢？学生马上就想到了向量。老师紧接着就追问，如果我们建立

了复数和向量的关系之后，有什么用呢？学生就可以回答，我们可以借助向量的理论和方法

来解决复数的问题。此时，老师可以作一个小结性的发言：数学问题的解决，常常将一个陌

生的问题转化为一个熟悉的问题来解决，这正是我们数学解题中的熟悉化原则。

这寥寥数语的课题引入使我们清楚地回答了以上提出地三个问题，更重要的是，使

学生明白了事物之间的本质联系，强化了数学基本思想，使学生对知识的领悟提高到一个更

新的层面上。

（3）将简单的问题向一般化问题转化。

由于简单的问题往往是事物某种特殊的状态，常常处于一种孤立的、静止的、表面的、

非本质的形态之中，而一般化则是事物整体的、运动的、深刻的、本质现象的反映。从''简

单”向“一般”的转化，既是人们认识事物的需要，也是思维深刻程度的体现。这种转化有

时还是双向的。我们看一个最简单的例子。

一个五年级的小学生曾经问过笔者这样一个问题：如图的AABC中，M、N将AB三

等分，P将AC平分，试问△AMP的面积是AA6C面积的几分之几？

这个问题对中学生来说当然是一个简单的问题，但对小学生而言就不知道如何处理了。

这时我启发他说,如果AC边上没有点P,那么△AMC的面积是△ABC面积的几分之几呢？

他很快回答是三分之一。于是再进一步启发他：那么将AC边上点P将AC平分后，AAMP

是△AMC的几分之几呢？他马上明白是二分之一，继而他就回答出△AMP的面积是△ABC

面积的六分之一。我更进一步，如果将AB边m等分，再将AC边n等分，那么以A为顶

点的最上面的小三角形又是原三角形面积的凡分之几呢？这时，他已经毫无困难地、高兴地

回答是mn分之一。

这个问题虽然简单，但对一个小学生来说他不但知道了这个问题的一般性结论，他还经

历了一次先退后进，先简单后复杂的思维过程，虽然不能说深刻，但谁又能说对他以后的学

习不无帮助呢？在中学数学的教学中，这样的例子俯拾皆是，只要我们处处留心，将'’简单

问题复杂化”并不是一件困难的事情，但对活跃与丰富我们的数学课堂教学，提高学生的能

力将是一件有意义的事情。

第2节课堂教学中的再现性思维与创造性思维

如何在课堂教学中，把所授知识的发生、发展、演变的过程纳入学生的思维活动之中，

充分发挥学生在学习中的主体作用，使学生在生动、活泼和积极地参与教学的过程中，形成

良好的思维品质，这是我们课堂教学的目的之一。

在这里，我们认为有两种不同类型、但又密切相关的思维形式是值得我们在理论上和实

践中认真予以探究的。这就是教学活动中学生的再现性思维和创造性思维。

什么是再现性思维呢？苏联教育学博士3.U卡尔梅科娃认为：“再现性思维的特征是思

维较少创造性，”“在这种思维活动的基础上实现着对主体来说熟悉的结构的课题的解决。”

而教学过程,即学生的认知过程,实际上都必须遵循在已有知识的基础上向未知引渡和发展，

所以，再现性思维是学生所以能接受老师讲授知识的必要条件。它主要以学生回忆和运用已

有知识于学习新知或对实际问题处理为目的，这种思维不但是教学中学生思维的重要形式，

而且也是运用最广泛和最基本的形式，而创造性思维是一种特殊的思维活动。它的结果“会

产生对主体来说某种独特的、原则上新的内容，亦即新颖的程度是高的。"我们完全可以认

为，它的出现意味着思维活动的转折和高潮，它是再现性思维的一种从量到质的变化和反映，

它区别于再现性思维的显著之处就在于获得知识的新颖性和处理方法上的奇异性。

数学教学过程，一般的总是从复习旧的知识，进而引出新的知识，或运用已有知识解决

新的问题。从思维过程来看，它应该遵循从再现性思维（低级）到创造性思维（高级）的程

序。甚至可以说，创造性思维是再现性思维发展到“极点”的状况。对我们老师来说，必

须研究的是这两者之间的相互关系以及诱发的因素。

无疑，在处理一个新的问题时，原有的知识与客观所提出问题的“不协调性”及主体

所熟悉的知识和方法不足以保证他成功，就可以促使创造性思维活跃起来。这种思维能促进

新知识、新方法的诞生，形成特定的结果。

1、氛围与情境是创造性思维产生的土壤

一个善于启发和诱导的教师，往往十分注重在教学中为学生的创造性活动设置最佳的情

境和最能调动积极因素的氛围，以助学生实现由已知向新知过渡和跳跃，冲破固有习惯、经

验所筑成的屏障，在相对“独立”的条件下，诱发创造的欲望，达到“发现”和掌握知识的

目的。

例如，在复数三角形式的概念教学中，我们可以设计如下的教学过程：

复数的三角形式是在复数的代数形式，向量形式和复平面上的点的对应关系及四则运算

之后出现的内容。这些知识即是学习三角形式的已有基础和起点。为了引出课题，可以让学

I-、3

，进而计算（显然，第一个问题，学生根据代数形式及运算

生计算---Z1-

/

法则不难得出结果；第二个问题同样可以计算，但已经较繁了。而如果指数改得再大一些（如

100）,那么学生就有力不从心之感了。此时，学生自然会考虑有无准确和简捷的计算方法呢？

显然，己有知识无法解决这个问题，因为复数的代数形式造成了其运算上的局限性。那么能

否突破已有形式的局限，为运算上的合理和简捷找到新的反映出其本质特征的形式，就迅速

地推到学生的面前。这就是为学生思维上的创造性的诱发设置的情境，我们再引导学生考虑

到复平面上的点与复数的一一对应关系：在确定点时，除坐标形式外，还可以采用什么其他

形式呢？此时，学生的思维角度迅速在原有基础上发生转折，成为创造性（构造新形式）的

定向活动，课堂空前活跃。他们在观察和思考后发现：点P到原点O的距离与射线OP的

定向是另一确定点P的形式。我们不能否认，学生的这一创造性的发现正是前述的氛围与

教师“画龙点睛”作用下的特定产物。由此，通过复数三角形式的概念教学，使学生的思维

经历了一个由再现性到创造性的过程，对学生思维能力和创造能力的培养起到了积极的促进

作用。

从这里我们可以看出，教师在课堂教学中的引导和情境的设置的适当与否，是教学活动

开展深入与否的标志，也是学生创造性思维得以诱发的必要条件。

2、直觉与猜想是创造性思维活动的直接显示

设置创造性思维活动的氛围与情境，只是创造性思维产生的必要条件。对于学生来说，

他们的思维活动在新的情境下，往往是多变和突发的，特别是再现性思维发展到''极点”时,

更易诱发成“突变”的情况。这就要求教师随时注意控制和调节课堂，注意诱导的方向性与

合理性。同时，必须注意学生在创造性思维活动中萌发的火花，而直觉与猜想往往是创造性

思维活动的直接显示.

例如，在立体几何“三垂线定理”一节的教学中，如何引导学生发现“三垂线定理”，

直觉与猜想起到了关键的作用。因为三垂线定理实质为平面内的直线与平面的斜线垂直的判

定定理。在讲述了直线与平面垂直的知识之后，我们可以提出问题：平面a的斜线/能与面

e的任一直线垂直吗？根据已有知识，学生会马上否定。又问，在a内存在与/垂直的直线

吗？（教师可出示教具），学生凭直觉肯定：有。教师再问，这样的直线有多少条？这些直

线有什么关系，有什么特点呢？（目的是从直觉的启发及特定形态，引出直觉的判断）。在

经过有目的、有方向的引导后，学生的创造性思维达到高潮，不再受形象或教具的限制，迅

速上升到理性的猜想：这些直线均应与/在a内的射影垂直。这样三垂线定理的核心也就完

整地展现于学生面前。随着教学的不断深入,学生亦为自己的猜想被证实而感到兴奋和喜悦。

作为教师，要十分珍惜与重视学生在教学活动中经过引导而出现的直觉与猜想.因为这

往往是再现性思维向创造性思维跳跃的直接反映。尽管有时他们的猜想还显得很不成熟或是

幼稚，甚至是错误，也不应一概排斥或否定。爱因斯坦曾经说过：“我相信直觉思维和灵感”。

而凯德洛夫则用更鲜明的语言表示：直觉是“创造性思维的一个重要组成部分，”“没有任何

一个创造性行为能离开直觉活动。”如果我们较经常地借助于课堂教学，使学生从小参与创

造性的思维活动，不是对培养三个面向的人才更有裨益吗？

3、克服思维惰性是再现性思维过渡到创造性思维的桥梁

在前面我们已经论及再现性思维对创造性思维的积极作用•但我们认为有必要指出，再

现性思维又由于人们心理上的“功能固定性”和思维习惯性形成的一种思维上的惰性，会把

我们的理智局限于原有的范围内活动，这是再现性思维对创造性思维的消极的抑制性。客观

地说，再现性思维在对创造性思维的作用上具有二重性。

例如：（3La,yLa,。cy=a。求证a_La。

设户ca=A8,yca=BC。—

些学生在处理此题时，会明显地产生

习惯性：证明a_LAB,arBC（由

线面垂直的判定定理产生的触发）。而

这样做正是失败之所在。事实上，若

a±AB,'：aLp,=则必

有a，。。这样，此题的本质就被遮盖

了.因为。是夕与/的交线。证题时必

然要同时涉及/?_La，yLa的条件。

而另一些学生由于既敢于运用已有知

识（线面垂直的判定），又不受习惯的

影响，在a内另取一点P（如图）过P

在a内引两条垂直于AB,CB的相交直线

PD,PE,则问题得解。

上例说明，如果把既有的知识结构看作一张网络，那么我们既可以在这张网络上继续识

结新的知识点，同时，这张网络亦可以把我们的思维按照一定的框图和模式束缚起来。因而,

摆脱习惯性思维的羁绊，克服思维惰性的影响，才能在情境和氛围的作用下，摆渡到创造性

思维的彼岸。作为数学教师，一方面要利用已有的知识网络去解决问题和发挥学生学习知识

时的正迁移作用，另一方面又要有意识地创设情境和氛围，引导学生从迷惘之中走向清醒，

激发出创造性思想的火花,为最终由必然王国走向自由王国作出自己最大的努力一一这正是

我们所希望和期待的

第三节数学解题中的雅努斯思维

雅努斯相传是古罗马中的一尊门神，它有着截然相反的两副面孔。在思维理论中，人们

把对两种截然相反情况的同时考虑，称为雅努斯思维或两面神思维。

雅努斯思维是美国学者A罗森堡于1979年率先提出来的，他认为所谓雅努斯思维，不

过是对直接对立、似乎是互相排斥的思想、形象或表象的同时认识，并且这种对立，不仅能

被人们所认识，而且还作为同样真实、同样起作用的对立现象，存在于人们的意识之中。思

维对立，乃是进行科学思维最重要的手段之一。创造心理学家吉尔福特指出：创造性思维是

“相似思考”与“相异思考”相互作用的结果。数学最基本的概念，几乎都是哲学的范畴，

对立的现象大量地存在于数学的广阔领域之中。因而运用雅努斯思维对数学问题进行分析和

研究，不但是必要的，而且也是可能的。下面我们将通过具体例子，来阐述雅努斯思维在数

学解题中的应用。

例1平面上给定2n个点，其中任何三点都不共线，如果红、蓝颜色的点各有n个，证明：

可将一红一蓝连成互不相交的线段。

分析不妨将一红一蓝连成互不相交的线段看作问题的正面，

问题的反面是连成相交的线段。把这两种相反的情况同时加以

比较和考虑。为了把情况看得更清楚，我们先研究最简单的情

况，假定n=2,即平面上有四个点，记A%,4At4(i=l,2)

为红点,B,(i=l,2)为蓝点。如图,从与与相交,

4用与4员不相交，由三角形两边之和大于第三边可知，+耳+4打。这意

味着，在所有将一红一蓝的有限连接之中，互不相交的应是n条线段长度之和的最小者。事

实上，如果不管n条线段是否相交，就有有限种方法将2n个点一红一蓝连成n条线段，计

算出各种方法连接的线段之和为生,其中为为最小者。如果有MN和PQ相交，则该连MQ

和NP,就可以使MQ+NP〈用N+PQ,这样所得到的q就小于小,这与劣的最小性矛

盾。

例2平面上有997个点，如果每两点连一线段，并把中点涂成红色，证明：平面上至少有

1991个红点，请设计出恰好有1991个红点的例子。

分析因为平面上有997个点，如果每两点连成一条线段，则有C