浙江省宁波市2024-2025学年高一数学下学期期末试题含解析

Page19浙江省宁波市2024-2025学年高一数学下学期期末试题一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】依据复数的运算法则和几何意义即可推断.【详解】，z对应的点为，在第三象限.故选：C.2.设是两个不共线的向量，若向量()与向量共线，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据平面对量共线定理即可求解．【详解】∵是两个不共线的向量，且∥，故存在实数λ，使得．故选：A．3.高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为（）A48 B.51 C.50 D.49【答案】B【解析】【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解即可得到答案。【详解】高一年级共有人，所以男生抽取的人数为人.故选：B.4.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A.9 B. C.18 D.【答案】D【解析】【分析】将直观图还原为原图，并由此计算出三角形的面积.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，还原原图形如图：则，，则.故选：D.5.一个射手进行射击，记事务=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事务中，互斥而不对立的事务是（）A.与 B.与 C.与 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，利用互斥事务、对立事务的意义逐项分析推断作答.【详解】射手进行射击时，事务=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，事务与不行能同时发生，并且必有一个发生，即事务与是互斥且对立，A不是；事务与不行能同时发生，但可以同时不发生，即事务与是互斥不对立，B是；事务与可以同时发生，即事务与不互斥不对立，C不是，明显D不正确.故选：B6.在中，已知则该三角形的形态为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】依据正弦定理可得出，从而可得出，然后可得出C为钝角，从而得出正确的选项.【详解】因为，所以依据正弦定理得，，则，故，且，所以C为钝角，为钝角三角形.故选：C.7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】由线、面平行和垂直的推断与性质定理推断每个选项.【详解】对A，若，则或，故A错；对B，若，则或相交，故B错；对C，由面面垂直的性质、线面垂直的判定定理可知，故C正确；对D，，则或相交，故D错.故选：C8.已知图1是棱长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，其中，则空间几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，过作，易得平面平面，将几何体转化为三棱柱和两个三棱锥的体积之和求解..【详解】如图，过作，垂足为，连接，则，过作，垂足为，连接，则，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，即三棱柱为直三棱柱.∵，，所以，，同理求得，，又，∴，∴空间几何体的体积为：.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某士官参与军区射击竞赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A.这组数据的平均数是8B.这组数据的极差是4C.这组数据的中位数是8.5D.这组数据的方差是2【答案】AB【解析】【分析】依据平均数，极差，中位数，方差的定义和计算公式分别求得，即可推断各个选项的正误.【详解】解：对于A，这组数据的平均数是，故A正确；对于B，这组数据的极差是，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是，故D错误.故选：AB.10.已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（）A.当时，复平面内表示复数的点位于其次象限B.当时，为纯虚数C.最大值为D.的共轭复数为【答案】BC【解析】【分析】利用复数几何意义、概念及共轭复数的含义即可推断.【详解】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，的共轭复数为，故D错误.故选：BC.11.某班级到一工厂参与社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A.该圆台轴截面ABCD面积为B.该圆台的体积为C.该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm【答案】ABD【解析】【分析】求出圆台的高，依据梯形面积公式可求圆台轴截面的面积，从而可推断A；依据圆台的体积公式可推断B；圆台的母线与下底面所成的角为，从而可推断C；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，设的中点为P，连接，求出，即为沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离，从而可推断D.【详解】由，且CD＝2AB，可得，高,则圆台轴截面的面积为,故A正确；圆台的体积为，故B正确；圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为,所以，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面绽开图的圆心角.设的中点为P，连接，可得,则.所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm，故D正确.故选:ABD.12.已知的顶点坐标为、、，点的横坐标为14，且、、三点共线，点是边上一点，且，为线段上的一个动点，则（）A.点的纵坐标为-5B.向量在向量上的投影向量为C.D.的最大值为1【答案】BCD【解析】【分析】对于A：设，再由、、三点共线，得存在，使得，即可记得，，即可推断A是否正确；对于B：向量在向量上的投影向量为，计算即可推断B是否正确；对于C：设，由，得①，由点在边上，得②，解得，，进而可得点坐标，计算，，即可推断C是否正确；对于D：由为线段上的一个动点，设，且，利用二次函数的性质，计算最大值，即可推断D是否正确.【详解】解：对于A：设，则，，由、、三点共线，得存在，使得，得，解得，，所以，故A错误；对于B：由上可知，，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C：设，则，又，则由，得①，因为点在边上，所以，即②，由①②得，，，所以，所以，，所以，故C正确；对于D：因为为线段上的一个动点，设，且，则，，所以，，所以当时，的最大值为1.故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若球的大圆半径为2，球的体积为___________.【答案】##【解析】【分析】由球的大圆半径为2，可得球的半径为2，从而可求出球的体积.【详解】因为球大圆半径为2，所以球的半径为2，所以球的体积为，故答案为：14.天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．【答案】0.38【解析】【分析】利用相互独立事务及对立事务的概率公式求得结果.【详解】设甲地降雨为事务A，乙地降雨为事务B，则两地恰有一地降雨为A＋B，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝038.故答案为：0.38.15.如图，在三棱锥中，，，则二面角的余弦值为___________.【答案】【解析】【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.【详解】取的中点，连接､，因为，所以，，所以即为二面角的平面角，因为，，所以，而，在中，由余弦定理可得，故答案为：.16.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为___________千米.【答案】2【解析】【分析】依据条件可得，，，然后利用正弦定理即可求出的长度，从而可求出的长【详解】解：作,垂足为，如图所示：由题意得，，所以，，，且，在中，由正弦定理得，即，，解得，所以，故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采纳不放回简洁随机抽样从中随意抽取两球.（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）按树形结构写出基本领件得事务空间；（2）事务空间中有6个样本点，再视察恰好抽到一个红球一个白球这个事务含有的样本点的个数后可得概率．【详解】解：（1）两个红球（记为，），两个白球（记为，），采纳不放回简洁随机抽样从中随意抽取两球，则试验的样本空间.（2）试验的样本空间，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率.18.已知向量，若，（1）求与的夹角θ；（2）求；（3）当λ为何值时，向量与向量相互垂直？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；（2）依据结合数量积的运算律计算即可；（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.【小问1详解】解：因为，，所以，又因，所以；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：当向量与向量相互垂直时，，即，即，解得.19.如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.【小问2详解】证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，，，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.20.为了了解我市参与年浙江中学数学学考的考试结果状况，从中选取名同学将其成果（百分制，均为正数）分成、、、、、六组后，得到部分频率分布直方图（如图），视察图形，回答下列问题：（1）求分数在内的频率；（2）依据频率分布直方图，估计本次考试成果的均值和分位数.【答案】（1）（2）均值为分，分位数为分【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中全部矩形面积之和为可求得分数在内的频率；（2）利用百分位数和平均数的定义可求得结果.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知，分数在内的频率为.【小问2详解】解：本次考试成果的均值为（分），分数在内的频率为，分数在内的频率为，设本次考试成果分位数为，则，则，解得，因此，本次考试成果的均值为分，分位数为分.21.如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F与C点重合，求PB与平面AEF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.【小问1详解】证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．【小问2详解】因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．22.在中，内角的对边分