2025版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组11.1随机事件古典概型与几何概型

.1随机事务、古典概型与几何概型考点一随机事务的概率1.(2024课标Ⅰ文,4,5分)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A.15B.25C.12答案A从O,A,B,C,D中任取3点的状况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共有10种不同的状况,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)两种状况,所以所求概率为210=15.2.(2024课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概率为310方法总结古典概型概率的求法:(1)应用公式P(A)=mn求概率的关键是寻求基本领件的总数和待求事务包含的基本领件的个数.(2)基本领件个数的确定方法①列举法:此法适用于基本领件较少的古典概型;②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法;③画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有依次的问题或较困难问题中基本领件数的探求.3.(2017课标Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310答案D本题考查古典概型.画出树状图如图:可知全部的基本领件共有25个,满意题意的基本领件有10个,故所求概率P=1025=25.思路分析由树状图列出全部的基本领件,可知共有25个,满意题目要求的基本领件共有10个.由古典概型概率公式可知所求概率P=1025=2易错警示本题易因忽视有放回的抽取而致错.疑难突破当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采纳画树状图法列出全部的基本领件,而无放回抽取一般采纳穷举法.4.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为()A.45B.35C.25答案C本题考查古典概型.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种状况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色调笔的有4种状况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),所以所求事务的概率P=410=25,5.(2016课标Ⅰ文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23答案C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事务的概率P=46=23,解后反思从4种颜色的花中任选2种共有6种状况,不重不漏地列举出全部状况是解题关键.评析本题主要考查了古典概型、不重不漏地将全部状况列举出来是解题关键.6.(2016课标Ⅲ文,5,5分)小敏打开计算机时,遗忘了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,其次位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够胜利开机的概率是()A.815B.18C.115答案C小敏输入密码的全部可能状况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够胜利开机的概率为1157.(2016北京文,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825答案B设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的全部状况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10种.其中甲被选中的状况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,故甲被选中的概率为410=25.易错警示在列举基本领件时要不重不漏,可画树状图:评析本题考查古典概型,属中档题.8.(2015课标Ⅰ文,4,5分)假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110答案C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事务的概率P=110,故选9.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1答案B记3件合格品分别为A1,A2,A3,2件次品分别为B1,B2,从5件产品中任取2件,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种可能.其中恰有一件次品有6种可能,由古典概型概率公式得所求事务概率为610=0.6.选10.(2014课标Ⅰ理,5,5分)4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动,则周六、周日都有同学参与公益活动的概率为()A.18B.38C.58答案D由题意知4位同学各自由周六、周日两天中任选一天参与公益活动有24种状况,而4位同学都选周六有1种状况,4位同学都选周日有1种状况,故周六、周日都有同学参与公益活动的概率为P=24-1-12411.(2014陕西文,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35答案B设正方形的四个顶点分别是A、B、C、D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事务分别为AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长,分别是AO、BO、CO、DO,共有4种.故满意条件的概率P=410=25.评析本题考查古典概型学问,考查分析问题及阅读理解的实力.理解只有顶点到中心的距离小于边长是解题的关键.12.(2013课标Ⅰ文,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的肯定值为2的概率是()A.12B.13C.14答案B从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数之差的肯定值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为13,故选13.(2012安徽文,10,5分)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()A.15B.25C.35答案B将同色小球编号.从袋中任取两球,全部基本领件为(红,白1),(红,白2),(红,黑1),(红,黑2),(红,黑3),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,黑3),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),共有15个基本领件,而一白一黑的共有6个,故所求概率P=615=25.评析本题主要考查古典概型概率的求解,同时考查了列举法.14.(2011课标文,6,5分)有3个爱好小组,甲、乙两位同学各自参与其中一个小组,每位同学参与各个小组的可能性相同,则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为()A.13B.12C.23答案A甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种状况,甲、乙两人参与同一爱好小组共有3种状况.∴甲、乙两人参与同一爱好小组的概率P=39=13,评析本题主要考查古典概型的概率运算,属简洁题.15.(2011浙江文,8,5分)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.110B.310C.35答案D解法一(干脆法):所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类:两红一白有6种取法,一红两白有3种取法,而从5个球中任取3个球的取法共有10种,所以所求概率为910,故选解法二(间接法):至少有一个白球的对立事务为所取3个球中没有白球,即只有3个红球,共1种取法,故所求概率为1-110=910,16.(2024江苏,6,5分)某爱好小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参与活动,则恰好选中2名女生的概率为.

答案3解析本题考查古典概型.把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10种状况,其中选中2名女生有3种状况,则恰好选中2名女生的概率为310易错警示在运用古典概型的概率公式时,应留意:(1)要推断该概率模型是不是古典概型;(2)分清基本领件总数n与事务A包含的基本领件数m,常用列举法把基本领件一一列举出来,再利用公式P(A)=mn求出事务A发生的概率,列举时尽量按某一依次,做到不重复、不遗漏17.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.

答案1解析全部的基本领件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个.记“logab为整数”为事务A,则事务A包含的基本领件有(2,8),(3,9),共2个.∴P(A)=212=1易错警示对a,b取值时要留意依次.评析本题考查了古典概型.正确列举出基本领件是解题的关键.18.(2014课标Ⅰ文,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.

答案2解析设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b,在书架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中2本数学书相邻的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4种,因此2本数学书相邻的概率P=46=219.(2014课标Ⅱ文,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.

答案1解析甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,其中颜色相同的有3种,所以所求概率为39=120.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.

答案1解析从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种状况.满意条件的有(2,3),(1,6),共2种状况.故P=26=121.(2014浙江文,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.

答案1解析设A为一等奖奖券,B为二等奖奖券,C为无奖奖券,则甲、乙两人抽取的全部可能结果为AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6种.而甲、乙两人都中奖的状况有AB、BA,共2种.故所求概率为26=122.(2013课标Ⅱ文,13,5分)从1,2,3,4,5中随意取出两个不同的数,其和为5的概率是.

答案0.2解析任取两个不同的数的状况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为21023.(2024天津文,15,13分)2024年,我国施行个人所得税专项附加扣除方法,涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采纳分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受状况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出全部可能的抽取结果;(ii)设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事务M发生的概率.员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事务所含的基本领件数、古典概型及其概率计算公式等基本学问.考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力,体现了数学运算素养.满分13分.(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.(ii)由表格知,符合题意的全部可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事务M发生的概率P(M)=1115思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满意题意的基本领件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示在列举基本领件时应找好标准,做到不重不漏.24.(2024北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟变更投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变更.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率削减0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为502000(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为1-3722000(3)增加第五类电影的好评率,削减其次类电影的好评率.25.(2024天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果;②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”,求事务M发生的概率.解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事务所含的基本领件数、古典概型及其概率计算公式等基本学问.考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事务M发生的概率P(M)=521易错警示解决古典概型问题时,需留意以下几点:(1)忽视基本领件的等可能性导致错误;(2)列举基本领件考虑不全面导致错误;(3)在求基本领件总数和所求事务包含的基本领件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.26.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本领件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事务的概率P=315=1(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本领件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事务所包含的基本领件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事务的概率P=29方法总结求古典概型概率的一般步骤:1.求出全部基本领件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;2.求出事务A所包含的基本领件的个数m;3.代入公式P(A)=mn求解27.(2016山东文,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.嘉奖规则如下:①若xy≤3,则嘉奖玩具一个;②若xy≥8,则嘉奖水杯一个;③其余状况嘉奖饮料一瓶.假设转盘质地匀称,四个区域划分匀称.小亮打算参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解析用数对(x,y)表示儿童参与活动先后记录的数,则基本领件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本领件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事务A,则事务A包含的基本领件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为5(2)记“xy≥8”为事务B,“3<xy<8”为事务C,则事务B包含的基本领件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=3事务C包含的基本领件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.易错警示本题出错的缘由有两个:(1)理解不清题意,不能将基本领件列举出来;(2)列举基本领件有遗漏.评析本题主要考查了古典概型,理解题意,不重不漏地列举出基本领件是解题关键.28.(2015天津文,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采纳分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参与竞赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛.(i)用所给编号列出全部可能的结果;(ii)设A为事务“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事务A发生的概率.解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参与双打竞赛的全部可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的全部可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事务A发生的概率P(A)=915=3评析本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事务所含的基本领件数、古典概型及其概率计算公式等基础学问.考查运用概率、统计学问解决简洁实际问题的实力.29.(2015山东文,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参与书法社团和演讲社团的状况,数据如下表:(单位:人)参与书法社团未参与书法社团参与演讲社团85未参与演讲社团230(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参与上述一个社团的概率;(2)在既参与书法社团又参与演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.解析(1)由调查数据可知,既未参与书法社团又未参与演讲社团的有30人,故至少参与上述一个社团的共有45-30=15人,所以从该班随机选1名同学,该同学至少参与上述一个社团的概率为P=1545=1(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本领件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.依据题意,这些基本领件的出现是等可能的.事务“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本领件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=215评析本题考查随机事务的概率及其计算,考查运算求解实力及应用意识.30.(2015四川文,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们依据座位号从小到大的依次先后上车.乘客P1因身体缘由没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:假如自己的座位空着,就只能坐自己的座位;假如自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中随意选择座位.(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451解析(1)余下两种坐法如下表所示:乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则全部可能的坐法可用下表表示为:乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341于是,全部可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事务A,则事务A中的基本领件的个数为4.所以P(A)=48=1答:乘客P5坐到5号座位的概率是12评析本题主要考查随机事务的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率学问与方法分析和解决实际问题的实力,考查推理论证实力、应用意识.31.(2014四川文,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满意a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由题意知,(a,b,c)全部可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满意a+b=c”为事务A,则事务A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)=327=1因此,“抽取的卡片上的数字满意a+b=c”的概率为19(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事务B,则事务B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P(B)=1-327=8因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为89评析本题主要考查随机事务的概率、古典概型等概念及相关计算,考查应用意识.32.(2014天津文,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级状况如下表:一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出全部可能的结果;(2)设M为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事务M发生的概率.解析(1)从6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事务M发生的概率为615=2评析本题主要考查用列举法计算随机事务所含的基本领件数、古典概型及其概率计算公式等基础学问.考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力.考点二古典概型考点三几何概型1.(2016课标Ⅱ文,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少须要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38答案B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满意至少须要等待15秒才出现绿灯,依据几何概型的概率公式知所求事务的概率P=2540=58,评析本题主要考查几何概型,理清题意是解题的关键.2.(2015湖北理,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B∵28254×1534≈169,∴这批米内夹谷约为169石3.(2015陕西理,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-1答案B∵|z|≤1,∴(x-1)2+y2≤1,表示以M(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆的面积为π.易知直线y=x与圆(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)两点,作图如下:∵∠OMA=90°,∴S阴影=π4-12×1×1=π4故所求的概率P=S阴影S☉M=π44.(2015山东文,7,5分)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事务“-1≤log12x+12≤A.34B.23C.13答案A由-1≤log12x+12≤1,得解得0≤x≤32,所以事务“-1≤log12x+12≤1”5.(2015福建文,8,5分)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x<A.16B.14C.38答案B易知点C的坐标为(1,2),点D的坐标为(-2,2),所以矩形ABCD的面积为6,阴影部分的面积为32,故所求概率为16.(2015湖北文,8,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事务“x+y≤12”的概率,p2为事务“xy≤12”的概率,则(A.p1<p2<12B.p2<12<p1C.12<p2<p1D.p1<答案D(x,y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部,其中满意x+y≤12的区域如图(1)中阴影部分所示,所以p1=12×12×121×1=18,满意xy≤12的区域如图(2)中阴影部分所示,所以p2=S1+S27.(2014湖南文,5,5分)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为()A.45B.35C.25答案B区间[-2,3]的长度为5,区间[-2,1]的长度为3,因此P(X≤1)=35,选8.(2014辽宁文,6,5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6答案BP=S半圆S矩形=12×π×9.(2013陕西理,5,5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()A.1-π4B.π2-1C.2-π2答案A依题意知,有信号的区域面积为π4×2=π2,矩形面积为2,故无信号的概率P=2-10.(2013四川理,9,5分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34答案C设通电x秒后第一串彩灯闪亮,y秒后其次串彩灯闪亮.依题意得0≤x≤4,0≤y≤4,∴S=4×4=16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒,即|x-y|≤2,如图可知,符合要