湖南省岳阳县2024-2025学年高一数学上学期第一次联考试题含解析

Page15湖南省岳阳县2024-2025学年高一数学上学期第一次联考试题总分：150分时量：120分钟一．单选题（每小题5分，共40分）1.设集合，，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据集合的交运算，干脆求解即可.【详解】依据题意可得.故选：B.2.命题：“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对原命题“改量词，否结论”，即可求得结果.【详解】命题：“”的否定为“”.故选：C.3.已知函数，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析推断即可【详解】解：当时，，当时，或，解得或，所以是成立的充分不必要条件，故选：A4.函数的值域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先证明函数的单调性，然后利用函数的单调性求解即可.【详解】随意取，设，则，由，，则，，，即，故，所以函数在上单调递减.所以当时，，，所以的值域为.故选：B5.若不等式的解集为，则的取值范围是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】探讨是否为0，不为0时，依据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.【详解】①当时，成立②当时，若不等式的解集为，则不等式在恒成立，则，解得：综上，实数的取值范围是故选：D.6.若函数在上的图象为一条连绵不断的曲线，且同时满意，，则（）A.在上有零点 B.在上有零点C.在上无零点 D.在上无零点【答案】B【解析】【分析】依据正数乘以负数为负数以及,可得,再依据零点存在性定理可得.【详解】因为，,所以,即,因为,所以，依据函数零点存在定理可知在上有零点，故选B.【点睛】本题考查了零点存在性定理,属于基础题.7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函数在R上单调递减，即：各段上都单调递减且分界点在左边解析式的函数值大于等于分界点在右边解析式的函数值.【详解】由题意，故选：C.8.已知函数（其中为自然对数的底数），则函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据对数运算，将写成分段函数的形式，数形结合即可求得结果.【详解】由题意，，则.数形结合可知，的图象为选项A中的图象.故选：A.二．多选题（每小题5分，共20分）9.若非零实数a，b满意，则下列不等式肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据给定条件，举反例说明推断选项A，B，D；利用不等式性质推理推断选项C作答.【详解】非零实数a，b满意，取，则，A不正确；取，则，B不正确；因a，b是非零实数，则，而，有，即，C正确；取，则，有，D不正确.故选：C10.下列说法正确的是（）A.的最小值是3B.的最大值是5C.的最小值是2D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】A，C选项构造基本不等式即可，B选项利用基本不等式计算即可，D项变形构造基本不等式即可【详解】选项A，因为所以当且仅当时取等号，故A正确.选项B，因为所以当且仅当时取等号，故B正确.对于C，，当且仅，即时，等号不成立，令，则在上单调递增，所以时取得最小值为，故选项C错误；对于D，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以最大值为，故D正确.故选：ABD.11.若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依据二次函数单调性，以及值域，结合其函数特点，即可简单求得结果.【详解】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，故，又，故要定义域上的值域为，满意题意的选项是：BC.故选：BC.12.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（）A.方程有且仅有三个解 B.方程有且仅有三个解C.方程有且仅有九个解 D.方程有且仅有一个解【答案】AD【解析】【分析】依据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可推断和选择.【详解】对A：令，数形结合可知，或或；令，，，又因为，故，数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确；对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根，故方程有且仅有一个解，故B错误；对C：令，数形结合可知，或或；令，由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解，故方程有且仅有五个解，故C错误；对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解，故方程有且仅有一个解，D正确.故选：AD.三．填空题（每小题5分，共20分）13.不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】依据一元二次不等式的解法干脆求解可得结果.【详解】由得：即不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式求解问题，属于基础题.14.函数的值域是________【答案】【解析】【分析】依据复合函数单调性解决即可.【详解】由题知，令，由二次函数图像性质可知，在上单调递减，在单调递增..所以在上单调递减，在单调递增..所以，所以的值域是.故答案为：15.已知，且，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】将化为后，依据基本不等式可求得结果.【详解】因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方.16.若函数是奇函数，且，则________．【答案】【解析】【分析】依据奇函数的定义，结合已知条件，求得的关系，赋值即可求得结果.【详解】函数是奇函数，即又，令，则.故答案为：.四．解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）17.设集合,.（1）若，求m的范围；（2）若，求m的范围.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）分和两种状况探讨,使得即可;（2）分和两种状况探讨,使得即可.【详解】（1）已知,.当时,有,即,满意.当时,有,即,又,则或,即或，综上可知,m的取值范围为或；（2）∵,∴.当时,有,即,满意题意.当,有,即,且,解得.综上可知,m的取值范围为或.【点睛】本题考查了集合的交集与并集的性质,留意空集是任何一个集合的子集,属于基础题.18.已知函数，.（1）推断函数在上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，【解析】【分析】（1）利用作差法证明函数的单调性；（2）利用奇偶性的定义求解的值.【详解】解：（1）在上单调递减，证明：，且则，，，，，，，在上单调递减；（2）函数的定义域为，若为奇函数，则恒成立，即恒成立，，解得：，存在，使得为奇函数.【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法.19.已知二次函数的最小值为1，且．（1）求的解析式．（2）在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)已知函数是二次函数，求解析式可以采纳待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式：，问题转化为不等式在[－1,1]恒成立求参数的范围，可以用分别参数法.【详解】（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，又的最小值为，故设，又，∴，解得，∴．（2）由于在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，所以在[－1,1]上恒成立，即在上恒成立．令，则在区间[－1,1]上单调递减，∴在区间[－1,1]上的最小值为，∴，即实数的取值范围是【点睛】本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此须要依据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采纳分别参数和构造函数法，在分别参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.假如采纳构造函数法，则须要解决构造函数的性质来求参数的范围.20.漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发觉：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满意如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求函数的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）3千克，最大利润是390元.【解析】【分析】（1）依据题意可以干脆得到利润表达式；（2）依据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.【详解】（1）由已知，∴，∴.（2）由（1）得当时，，∴当时，；当时，，当且仅当时，即时等号成立，∵，∴当时，，即当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方.21.已知函数是定义在R上的奇函数（1）求的解析式（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据，即可求得参数值，再验证即可；（2）分别参数，利用换元法和函数单调性求分别参数所得函数最值，即可求得结果.【小问1详解】由题意，是定义在R上的奇函数，则，经检验，满意题意；故.小问2详解】由得即又，故，则；令，，，由题意，时，恒成立，又都在上单调递增，故在上递增，，故，即实数取值范围为.22.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；（3）设，若存在使得函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；（2）将问题转化为在区间上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；（3）依据函数的单调性求出最值，依据不等式有解分别参数求取值