热点08圆(原卷版+解析)

热点08圆考察方向考察方向中考中，圆主要考察方向为：圆周角定理、垂径定理、切线长定理圆的内接四边形三角形的内切圆、外接圆扇形弧长、面积及圆锥侧面积的计算圆与几何图形、函数的综合运用满分技巧满分技巧圆的性质(I)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(II)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(III)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

【注意】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）与圆有关的角(I)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(II)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

（3）切线的判定、性质

(I)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

(II)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(III)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(IV)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

（4）三角形的外心和内心名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.（5）圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

（6）圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有。基础训练基础训练A卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．5．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（

）A． B． C． D．6．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（

）A． B． C． D．7．(2023·湖南张家界·中考真题）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（

）A． B． C． D．8．(2023·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．(2023·湖南·中考真题）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π10．(2023·湖南长沙·统考中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(

)A．2π B．4π C．12π D．24π11．(2023·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（

）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线12．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，边长为的等边的内切圆的半径为(

)A．1 B． C．2 D．13．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(

)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD二、填空题14．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，点A，B，C在上，，则________度．15．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．16．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．17．（2012·湖南娄底·中考真题）如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=度．18．(2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．19．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是的直径，点、在上，，则______度．20．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．21．(2023·湖南长沙·统考中考真题）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为_______．22．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示）23．(2023·湖南永州·统考中考真题）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________．24．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）25．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是________（结果用含的式子表示）．26．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．（1）若，则的长为______（结果保留）；（2）若，则______．三、解答题27．(2023·湖南·统考中考真题）如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．(1)将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(3)在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．28．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________(2)求点旋转到点的弧长．29．(2023·湖南·统考中考真题）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．30．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，．以AB为直径的与线段BC交于点D，过点D作，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是的切线；(2)若的半径为6，，求CE的长．31．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；(2)若，，求的长．32．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．(1)求的度数；(2)若的半径为3，求圆弧的长．33．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．(1)求证：；(2)连接，若，，求⊙的半径．34．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．35．(2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．(1)求证：直线是⊙的切线；(2)若线段与线段相交于点，连接．①求证：；②若，求⊙的半径的长度．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等2．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（）A．2 B． C． D．43．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（

）A． B． C． D．5．(2023·湖南株洲·中考真题）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（

）A． B．6 C． D．6．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为(

)A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题7．(2023·湖南株洲·统考中考真题）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线与⊙相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，⊙的半径为2丈，则的长度为_________丈．8．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．9．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，为半⊙O的直径，，是半圆上的三等分点，，与半⊙O相切于点，点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）①；②的长为；③；④；⑤为定值．10．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝.11．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F．(1)___________________．(2)若，则___________________．三、解答题12．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于．(1)求证：CD是的切线；(2)若，，求、的长．13．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，(1)求证：；(2)求证：；(3)若的面积，求四边形的面积．14．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有．15．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B作于D，延长交的外接圆于点E，过点A作于F，的延长线交于点G．（1）判断是否平分，并说明理由；（2）求证：①；②．16．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．（1）特例感知：在图①中，若，求的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：①作两条相互垂直的直径、；②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q；③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接；则五边形为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由．（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．17．(2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，是的直径，点、是上不同的两点，直线交线段于点，交过点的直线于点，若，且．（1）求证：直线是的切线；（2）连接、、、，若．①求证：；②过点作，交线段于点，点为线段的中点，若，求线段的长度．18．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．（1）求的值；（2）求的值；（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．19．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．(1)求证：；(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）(3)①记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示．热点08圆考察方向考察方向中考中，圆主要考察方向为：圆周角定理、垂径定理、切线长定理圆的内接四边形三角形的内切圆、外接圆扇形弧长、面积及圆锥侧面积的计算圆与几何图形、函数的综合运用满分技巧满分技巧圆的性质(I)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(II)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(III)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

【注意】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）与圆有关的角(I)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(II)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

（3）切线的判定、性质

(I)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.

(II)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(III)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(IV)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

（4）三角形的外心和内心名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.（5）圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.

（6）圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有。基础训练基础训练A卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．答案:B分析：根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．【详解】解：∵PA，PB是的切线，∴，，，则，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．2．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（

）A． B． C． D．答案:B分析：直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：，由圆周角定理得：，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．3．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（

）A． B． C． D．答案:C分析：连接BD、AC，由题意易得，然后根据弧长计算公式可求解．【详解】解：连接BD、AC，∵四边形是正方形，且面积为18，∴，∴，∴，∴的长度为；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键．4．(2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（

）A． B． C． D．答案:C分析：根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．【详解】解：是等边三角形，，，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（

）A． B． C． D．答案:C分析：作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，则∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．6．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，点，，是上的三点．若，，则的大小为（

）A． B． C． D．答案:B分析：首先根据圆周角定理求得的度数，根据的度数求即可．【详解】解：∵∴∠BOC=2，∵，，故选：B．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得的度数是解题的关键．7．(2023·湖南张家界·中考真题）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（

）A． B． C． D．答案:C分析：根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8．(2023·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．【详解】如图，是的两条切线，故①正确，故②正确，是的两条切线，取的中点，连接，则所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，M是外接圆的圆心，与题干提供的条件不符，故④错误，综上：正确的说法是个，故选C．【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．9．(2023·湖南·中考真题）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100π B．200π C．100π D．200π答案:C分析：先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．10．(2023·湖南长沙·统考中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(

)A．2π B．4π C．12π D．24π答案:C分析：根据扇形的面积公式S=计算即可．【详解】S=，故选C．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．11．(2023·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（

）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线答案:B分析：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确；无法证明与相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．12．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，边长为的等边的内切圆的半径为(

)A．1 B． C．2 D．答案:A分析：连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【详解】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵为等边三角形，∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即内切圆的半径为1．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．13．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(

)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD答案:D分析：先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，故选D．【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题14．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，点A，B，C在上，，则________度．答案:31分析：根据圆周角定理进行求解即可；【详解】解：由圆周角定理可知：故答案为：31．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．15．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．答案:分析：先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】解：由题意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．16．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____．答案:分析：根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3，OC=2，∴AC=，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．17．（2012·湖南娄底·中考真题）如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=度．答案:24【详解】解：连接OB，∵⊙O的直径CD垂直于AB，∴∴∠BOC=∠AOC=48°，∴∠BDC=∠AOC=×48°=24°18．(2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．答案:分析：圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，，，，为等腰三角形，又点是的中点，根据等腰三角形三线合一，为的角平分线，，故答案是：．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．19．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是的直径，点、在上，，则______度．答案:120分析：利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．【详解】解：∵，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，∴，∴，故答案为：120．【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．20．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．答案:7分析：根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，连接，A、B、C是上的点，，，D为OC的中点，，四边形是菱形，，．故答案为：7．【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．21．(2023·湖南长沙·统考中考真题）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为_______．答案:分析：根据圆锥的侧面积公式求解即可．【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形该圆锥的侧面展开图的面积为故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，熟记公式是解答的关键．22．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示）答案:分析：根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求出答案．【详解】解：根据题意，∵圆锥的母线长，底面圆的直径，∴圆锥的侧面积为：；故答案为：；【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．23．(2023·湖南永州·统考中考真题）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为____________．答案:10分析：根据圆锥的侧面积公式：侧＝．即可求得【详解】侧＝故答案为10【点睛】根本考查了圆锥的侧面积公式：侧＝，理解和牢记公式是解题的关键．24．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留）答案:分析：由，根据圆周角定理得出，根据S阴影=S扇形AOB－可得出结论．【详解】解：∵，∴，∴S阴影=S扇形AOB－，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．25．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是________（结果用含的式子表示）．答案:分析：由题意易得该扇形的弧长为，然后根据扇形面积计算公式可求解．【详解】解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为，∴该扇形的面积为；故答案为．【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．26．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．（1）若，则的长为______（结果保留）；（2）若，则______．答案:

分析：（1）根据圆周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧长公式求解；（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．【详解】解：（1）∵，∴的长；故答案为：；（2）连接，∵是切线，是直径，∴，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．三、解答题27．(2023·湖南·统考中考真题）如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．(1)将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(3)在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．答案:(1)见解析(2)见解析(3)分析：（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（3）利用弧长公式求解即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，(即△A2OB2）即为所求；（3）解：在中，，．【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．28．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________(2)求点旋转到点的弧长．答案:(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）(2)2π分析：（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．【详解】（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）（2）解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，∴点旋转到点的弧长==2π【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．29．(2023·湖南·统考中考真题）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．答案:(1)见解析(2)1分析：（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得【详解】（1）证明：如图所示，连接，为直径，，又点是的中点，，在和中，，，；（2）解：，，，又四边形内接于圆，，又，，又，，，即：，解得：，．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．30．(2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，．以AB为直径的与线段BC交于点D，过点D作，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是的切线；(2)若的半径为6，，求CE的长．答案:(1)见解析(2)3分析：（1）连接AD、OD，根据等腰三角形的性质可证得，根据平行线的判定与性质可证得，然后根据切线的判定即可证得结论；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得CD、CE

即可．【详解】（1）证明：连接AD、OD，记，，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵OD是⊙O的半径，∴直线PE是⊙O的切线．（2）连接AD，∵AB是直径，∴，∴．又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，，∴，在中，∵，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．31．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；(2)若，，求的长．答案:(1)相切，见解析(2)分析：（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【详解】（1）证明：连接．∵为切线，∴，又∵，∴，，且，∴，在与中；∵，∴，∴，∴直线与相切．（2）设半径为；则：，得；在直角三角形中，，，解得【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．32．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．(1)求的度数；(2)若的半径为3，求圆弧的长．答案:(1)(2)分析：（1）证明是等边三角形，得到，从而计算出的度数；（2）计算出圆弧的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案．【详解】（1）如下图，连接AO∵是的切线∴∴∵∴∵∴∴∴∴是等边三角形∴∵∴（2）∵∴圆弧的长为：∴圆弧的长为．【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识．33．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、．(1)求证：；(2)连接，若，，求⊙的半径．答案:(1)证明见解析(2)⊙的半径为3分析：（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明；（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．【详解】（1）证明：在⊙中，∵，∴，又∵,∴．（2）解：∵，由（1）可知，，∵直径，∴，∴在中，，，∴，∴，即⊙的半径为3．【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．34．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．答案:(1)见解析(2)30°(3)2π﹣2分析：（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．【详解】（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．35．(2023·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．(1)求证：直线是⊙的切线；(2)若线段与线段相交于点，连接．①求证：；②若，求⊙的半径的长度．答案:(1)见解析(2)①见解析；②分析：（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求证；（2）①根据∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求证；②根据，可得，即，再由勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明∶∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∴OD⊥OB，∵OD∥BC，∴CB⊥OB，∵OB为半径，∴直线是⊙的切线；（2）解：①∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．即⊙的半径的长为．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题(共0分)1．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等答案:D分析：根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．【详解】解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；C.由上可知，I是△ABC的内心，故选项正确，不符合题意，D.∵I是△ABC的内心，∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．2．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（）A．2 B． C． D．4答案:B分析：根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=．【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，∴AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．3．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．答案:D分析：当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接，过点作，此时点坐标可表示为，∴，，在中，，又∵半径为5，∴，∵，∴，则，∴，∴，∵左右两侧都有相切的可能，∴A点坐标为，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．4．(2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（

）A． B． C． D．答案:A分析：根据题意，设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，分别表示出黑色部分面积和正方形的面积，进而即可求得的比值．【详解】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a∴，圆的面积为∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称∴黑色部分面积为圆面积的一半∴∴，故选：A．5．(2023·湖南株洲·中考真题）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（

）A． B．6 C． D．答案:D分析：求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.【详解】解：由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋转的性质，得A1C=AC=4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面积为=.即线段CA扫过的图形的面积为.故选：D【点睛】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．6．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为(

)A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1答案:B分析：先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．【详解】解：点运动一个用时为秒．如图，作于D，与交于点E．在中，∵，，∴，∴，∴，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选B．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．二、填空题7．(2023·湖南株洲·统考中考真题）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线与⊙相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，⊙的半径为2丈，则的长度为_________丈．答案:分析：如图，先根据正方形的性质得出，再解直角三角形求出AO的长度，则．【详解】解：如图，设⊙与AD边的切点为点C，连接OC，则（丈），，由正方形的性质知，对角线AB平分，∴，∴（丈），∴（丈），∴（丈），故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，解直角三角形等，通过解直角三角形求出AO的长度是解题的关键．8．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．答案:②④⑤分析：①根据线段垂直平分线定理，为的直径，为的弦，即可得出结论；②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论；⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果．【详解】解:①∵DE是的垂直平分线∴为的直径，为的弦．故①不正确．②∵DE是的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正确．③连接OD的长为．故③错误．④∵DE⊥AB，F是的切线∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正确．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分线，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正确．综上所述：正确的有②④⑤．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键9．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，为半⊙O的直径，，是半圆上的三等分点，，与半⊙O相切于点，点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）①；②的长为；③；④；⑤为定值．答案:②⑤分析：①先根据圆的切线的性质可得，再根据半圆上的三等分点可得，然后根据圆周角定理可得，最后假设，根据角的和差、三角形的外角性质可得，这与点为上一动点相矛盾，由此即可得；②根据弧长公式即可得；③先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差即可得；④先根据三角形的外角性质可得，从而可得对应角与不可能相等，由此即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．【详解】如图，连接OP与半⊙O相切于点是半圆上的三等分点是等边三角形由圆周角定理得：假设，则又点为上一动点不是一个定值，与相矛盾即PB与PD不一定相等，结论①错误则的长为，结论②正确是等边三角形，，则结论③错误，即对应角与不可能相等与不相似，则结论④错误在和中，，即又是等边三角形，即为定值，结论⑤正确综上，结论正确的是②⑤故答案为：②⑤．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的题①，先假设结论成立，再推出矛盾点是解题关键．10．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝.答案:①②④分析：连接OM，由切线的性质可得OM⊥PC，继而得OM∥AC，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判断①；通过证明△ACM∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出∠MOP＝60°，利用弧长公式求得的长可判断③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，继而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，进而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的长，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判断④.【详解】连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，∴BD∥AC//OM，∴△PBD∽△PAC，∴，∴PB＝PA，又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，∴PB=OB=AO，又∵BD∥AC//OM，∴PD=DM=CM，∴OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2∴PD==，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确，故答案为①②④.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.11．(2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合）平分，交PM于点E，交PQ于点F．(1)___________________．(2)若，则___________________．答案:

1

分析：(1)过E作于G，可得，根据圆周角的性质可得，又平分，根据角平分线的性质可得；由，，，且，根据“等角的余角相等”可得，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得，即有；由，，可得，从而可得在中有，将、、代入可得，，既而可求得的值．【详解】(1)如图所示，过E作于G，则，∵MN为半圆的直径，∴，又∵平分，,∴．∵平分，∴，∵，∴,又，∴，又∵，∴，∴,又∵，∴．∵，，∴，∴在中，,又∵,∴，∴将，，代入得，,∴，即．（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴，即，设，则，解得：，或（舍去），∴，故答案为：．【点睛】本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得，，再通过平行线分线段成比例的性质得到，进行等量代换和化简后即可得解．三、解答题12．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于．(1)求证：CD是的切线；(2)若，，求、的长．答案:(1)证明见详解(2)分析：（1）连接OD，由可以推出，从而证明即可；（2）作交BC于点M，根据勾股定理求出BC的长，然后再根据平行得到即可求解．（1）证明：连接OD，如图所示：OD为经过圆心的半径CD是的切线．（2）如图所示：作交BC于点M，，令，在，解得：【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键．13．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，(1)求证：；(2)求证：；(3)若的面积，求四边形的面积．答案:(1)详见解析(2)详见解析(3)18分析：（1）根据圆切线的性质即可求解；（2）根据圆的性质证，即可证明；（3）由得，进而得，所以，由即可求解；（1）证明∵是的直径，是的切线，∴，，∴，∴．（2）证明∵，∴，∵，，∴，∵是直径，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．14．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，是的直径，点E是上一动点，且不与A，B两点重合，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点D．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）如图2，原有条件不变，连接，延长至点M，的平分线交的延长线于点P，的平分线交的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有．答案:（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解分析：（1）连接OC，先证明∠EAC=∠OCA，可得CO∥AE，进而即可求证；（2）连接BC，可证，进而即可得到结论；（3）由三角形外角的性质可得∠QBM-∠QAM=∠Q，∠CBM-∠CAM=∠ACB，结合角平分线的定义，可得∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，进而即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵的平分线交于点C，∴∠EAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴CO∥AE，∵，∴CO⊥CD，∴是的切线；（2）连接BC，∵是的直径，∴∠ACB=90°，∵，∴∠D=90°，即：∠ACB=∠D，∵∠DAC=∠CAB，∴，∴，即：，∵AB=2AO，∴；（3）证明：∵∠QBM是的一个外角，∴∠QBM-∠QAM=∠Q，同理：∠CBM-∠CAM=∠ACB，∵的平分线交的平分线于点Q，∴∠CBM=2∠QBM，∠CAM=2∠QAM，∴∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，∵∠ACB和∠AEB都是直径所对的圆周角，∴∠ACB=∠AEB=90°，∴，即：无论点E如何运动，总有．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，三角形外角的性质，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，切线的判定定理，是解题的关键．15．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B作于D，延长交的外接圆于点E，过点A作于F，的延长线交于点G．（1）判断是否平分，并说明理由；（2）求证：①；②．答案:（1）平分，理由见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析．分析：（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角