考点9等腰三角形等边三角形和直角三角形-2022四川中考数学试题分类汇编(原卷版+解析)

考点9：等腰三角形、等边三角形和直角三角形1.(2023绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A.是轴对称图形 B.对称轴的交点是其重心C.是中心对称图形 D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合2.(2023南充）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（）A. B. C. D.3.(2023自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（）A.30° B.40° C.50° D.60°4.(2023广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．5.(2023成都）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．6.(2023广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．7.(2023达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

（1）【初步探究】如图2，当时，则_____；（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．（4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．8.(2023广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．

（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．9.(2023自贡）如图，△是等边三角形，在直线上，．求证：．考点9：等腰三角形、等边三角形和直角三角形1.(2023绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A.是轴对称图形 B.对称轴的交点是其重心C.是中心对称图形 D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合答案:C解析：分析：根据等边三角形的轴对称性，三线合一的性质逐一判断选项，即可．【详解】解：A.等边三角形是轴对称图形，正确，不符合题意，B.等边三角形的对称轴的交点是其重心，正确，不符合题意，C.等边三角形不是中心对称图形，符合题意，D.等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，正确，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形重心，中心对称图形与轴对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．2.(2023南充）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（）A. B. C. D.答案:B解析：分析：根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可．详解】∵，∴，∵由旋转可知，∴，故答案选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．3.(2023自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（）A.30° B.40° C.50° D.60°答案:B解析：分析：这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：，解得：，即这个底角的度数为40°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．4.(2023广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．答案:11或13##13或11解析：分析：根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，当为腰时，周长为：，当为腰时，三角形的周长为，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．5.(2023成都）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．答案:7解析：分析：连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，连接EC，如图，

所以，所以，所以∠BEC=∠CEA=90°，因为，，所以，在中，，所以，因此的长为7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．6.(2023广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．答案:11或13##13或11解析：分析：根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，∴，，当为腰时，周长为：，当为腰时，三角形的周长为，故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．7.(2023达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

（1）【初步探究】如图2，当时，则_____；（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．（4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．答案:（1）（2）（3）仍然成立，理由见解析（4）解析：分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．【小问1详解】等腰直角三角形和等腰直角三角形，，故答案为：

【小问2详解】在与中，又重合，故答案为：

【小问3详解】同（2）可得，过点，作，交于点，

则，，在与中，，，，是等腰直角三角形，，，，，在与中，，，，，即，【小问4详解】过点作，交于点，

，，，，，，，，，，，，，中，，，即．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．8.(2023广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．

（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．答案:（1）135°（2）（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由见解析解析：分析：（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．【小问1详解】解：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，

在优弧上取点G，连接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四边形ADBG是圆内接四边形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案为：135°；小问2详解】①补全图形，如图：

由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，

∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由如下：过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：

∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，∴CE是线段BD的垂直平分线，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD=CE．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和