高中数学第二章平面向量2-5平面向量应用举例课件新人教A版必修4

2.5平面向量应用举例必备知识·自主学习1.用向量方法解决平面几何问题的“三步法”(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.导思(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题?用向量方法解决平面几何问题的“三步法”是什么?(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题?【思考】(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题?提示:平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.(2)这里的“向量运算”主要指哪些运算?提示:向量的线性运算及数量积运算.2.向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)求夹角问题,用夹角公式:cosθ=(θ为a与b的夹角).(4)计算线段长度,常用模长公式:|AB|=||=【思考】用向量解决几何问题时,需要选择合适的基底,怎样选择合适的基底?提示:所选择基向量的长度和夹角应该是已知条件中的.3.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.【思考】怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题?提示:把其转化为平面向量问题,利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形,则有=0. (

)(2)若∥,则直线AB与CD平行. (

)(3)若∥,则A,B,C三点共线. (

)(4)物理学中的功是一个向量. (

)【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形,则有=0. (

)(2)若∥,则直线AB与CD平行. (

)(3)若∥,则A,B,C三点共线. (

)(4)物理学中的功是一个向量. (

)提示:(1)×.因为△ABC为直角三角形,∠B并不一定是直角,有可能是∠A或∠C为直角.(2)×.向量∥时,直线AB∥CD或AB与CD重合.(3)√.(4)×.功是一个标量,是力F与位移s的数量积.2.(教材二次开发:习题改编)若向量=(2,2),=(-3,-1)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为 (

)

A.(,0) B.(-,0) C. D.-【解析】选C.F1+F2=(2,2)+(-3,-1)=(-1,1),则|F1+F2|=所以|F1+F2|=.3.如图,在平行四边形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则=________.

【解析】因为=(-1,2),所以=(-1,2)·(1,2)=-1+4=3.答案:3关键能力·合作学习类型一平面向量在几何证明中的应用(直观想象、数学建模)【题组训练】1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是 (

)

A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形2.已知点O,P在△ABC所在平面内,且则点O,P依次是△ABC的 (

)A.重心,垂心 B.重心,内心C.外心,垂心 D.外心,内心关键能力·合作学习类型一平面向量在几何证明中的应用(直观想象、数学建模)【题组训练】1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是 (

)

A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形2.已知点O,P在△ABC所在平面内,且则点O,P依次是△ABC的 (

)A.重心,垂心 B.重心,内心C.外心,垂心 D.外心,内心3.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.【解析】1.选B.因为=(8,0),=(8,0),所以=,因为=(4,-3),所以||=5,而||=8,故为邻边不相等的平行四边形.2.选C.由||=||=||,知点O为△ABC的外心;因为所以=0,所以=0,所以,所以CA⊥PB.同理,AP⊥BC,所以点P为△ABC的垂心.3.方法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0,又所以=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE.方法二:建立平面直角坐标系如图,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.①利用共线向量定理证明线段平行或点共线.②利用向量的模证明线段相等.③利用向量的数量积为0证明线段垂直.(2)常用的两个方法.①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.【补偿训练】若=3e,=5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为________.

【解析】由=3e,=5e,得∥,||≠||,又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,|AB|≠|DC|.又||=||,得|AD|=|BC|,所以四边形ABCD为等腰梯形.答案:等腰梯形类型二数量积坐标运算的应用(直观想象、数学运算)【典例】已知在四边形ABCD中AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,求的值.【思路导引】方法一:利用几何关系,选取合适的基向量,利用向量法解决问题.方法二:建系,根据几何关系得出B、D坐标,求出直线BE,AE方程,联立求出点E坐标,再利用数量积公式求出的值.【解析】方法一:向量法因为AE=BE,AD∥BC,∠A=30°,所以在等腰三角形ABE中,∠BEA=120°,又AB=2,所以AE=BE=2,所以方法二:坐标法建立如图所示的平面直角坐标系,∠DAB=30°,AB=2,AD=5,则B(2,0),D因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因为AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直线BE的斜率为,其方程为y=直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.所以E(,-1).【解题策略】1.用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|=2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.【跟踪训练】1.如图,已知△ABC的面积为,|AB|=2,=1,则AC边的长为________.

【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设点C的坐标为(x,y),因为|AB|=2,所以B点坐标是(2,0),所以=(2,0),=(x-2,y).因为=1,所以2(x-2)=1,所以x=.又S△ABC=,所以·y=.所以y=,所以C点坐标为,从而,所以故AC边的长为.答案:2.设点O是△ABC的外心,|AB|=13,|AC|=12,则=________.

【解析】设{}为平面内一组基底.如图所示,O为△ABC的外心,设M为BC的中点,连接OM,AM,OA,则易知OM⊥BC.又所以(其中)×(122-132)=-.答案:-3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为________.

【解析】方法一:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AC边的中点,BC=4,AC=6.则CD=2,CE=3,所以||==6×3+0+0+2×4=26.设的夹角为θ,则cosθ=故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为.方法二:如图(2)所示,建立直角坐标系,点C为原点,两直角边所在直线为坐标轴.D,E分别为BC,AC的中点,所以A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),则=(2,-6),=(4,-3),所以=2×4+(-6)×(-3)=26,设的夹角为θ,则cosθ=故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为.答案:

【拓展延伸】1.直线的方向向量:直线上的向量以及与它平行的向量都称为直线的方向向量.2.直线的法向量:如果向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.【注意】(1)已知直线l的方向向量,可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程.(2)已知直线的法向量,可以由向量垂直的条件写出直线方程.对应直线Ax+By+C=0,它的方向向量为v=(-B,A),它的法向量为n=(A,B).【拓展训练】过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为 (

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A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a,即(x-2)×2+(y-3)×1=0,即2x+y-7=0.【补偿训练】经过点P(-2,0)且平行于a=(0,3)的直线方程为________.

【解析】设M(x,y)为直线上任一点,则∥a,所以3(x+2)=0,所以x=-2答案:x=-2类型三平面向量在物理中的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 (

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A.40N B.10NC.20N D.10N2.在风速为75()km/h的西风中,飞机以150km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.3.已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g取10m/s2)【思路导引】先把物理量转化为向量,再用向量法求解,最后再转化为物理量.【解析】1.选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=10N.当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,因此,|F合|=|F1|=10N.2.设ω=风速,νa=有风时飞机的航行速度,νb=无风时飞机的航行速度,νb=νa-ω.如图所示.设||=|νa|,||=|ω|,||=|νb|,作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥AD于E,则∠BAD=45°.设||=150,则||=75(),所以从而||=150,∠CAD=30°,所以|νb|=150km/h,方向为北偏西60°.3.如图所示,设木块的位移为s,重力为G,则WF=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×=500(J),|G|=8×10=80(N).将力F分解,它在竖直方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30°=50×=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N),因此Wf=f·s=|f||s|·cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别为500J和-22J.【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示.(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决.(3)结果还原为物理问题.【跟踪训练】两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求F1,F2分别对该质点做的功.【解析】设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s.由题意知,=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),F1=(1,1),F2=(4,-5).F1做的功W1=F1·s=F1·=(1,1)·(-13,-15)=-28(J).F2做的功W2=F2·s=F2·=(4,-5)·(-13,-15)=23(J).1.已知△ABC,·<0,则△ABC的形状为 (

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A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选A.由已知得,∠A为钝角,故为钝角三角形.课堂检测·素养达标2.(教材二次开发:习题改编)已知三个力f1=(-1,-2),f2=(0,3),f3=(4,5)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4= (

)A.(-3,6) B.(3,-6) C.(-3,-6) D.(3,6)【解析】选C.由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)=(-3,-6).3.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是 (

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【解析】选B.BC中点为所以||=.4.(2020·上饶高一检测)一个重50N的物体从倾斜角为30°,斜面上1m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是________.

【解析】W=G·s=|G|·|s|·cosθ=50×1×cos60°=25J.答案:25J5.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,求α与β的夹角θ的取值范围.【解析】如图,向量α与β在单位圆O内,由于|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,故β的终点在如图所示的线段AB上(α∥,且圆心O到AB的距离为),因此夹角θ的取值范围为.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候