高中数学第二章平面向量2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件新人教A版必修4

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角必备知识·自主学习1.平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=________.导思(1)已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).如何用a,b的坐标表示a·b?|a|,|b|分别用坐标怎样表示?(2)已知向量a=(x,y),与a共线的向量的坐标条件是什么?与a垂直的向量的坐标条件又是什么?x1x2+y1y2【思考】向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?提示:公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”,在解题时要注意坐标的顺序.2.向量的模与夹角的坐标表示(1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|=_________.两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=__________________.(2)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cosθ==________________.【思考】(1)||的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样吗?为什么?提示:||的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的,实际上||即为A,B两点间的距离.(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积大于0,有cosθ>0,则两向量的夹角为锐角.这种说法对吗?提示:不对,当两向量的数量积大于0即cosθ>0时,θ为锐角或零角.3.向量垂直与共线的条件已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a⊥b⇔__________.(2)a∥b⇔__________.x1x2+y1y2=0x1y2-x2y1=0【思考】向量垂直与共线的条件很相近,你觉得怎样记忆比较好呢?提示:两者比较接近,可以对比记忆,分别简记为:垂直是横横纵纵积相反,共线是纵横交错积相等.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. (

)(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔x1x2-y1y2=0. (

)(3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为180°. (

)(4)若两个向量的数量积小于零,则两个向量的夹角一定为钝角. (

)【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. (

)(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔x1x2-y1y2=0. (

)(3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为180°. (

)(4)若两个向量的数量积小于零,则两个向量的夹角一定为钝角. (

)提示:(1)√.由向量数量积的定义可知正确.(2)×.a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)×.因为当x1y2-x2y1=0时,向量a,b的夹角可能为0°或180°.(4)×.因为两向量的夹角有可能为180°.2.已知a=(1,-1),b=(2,3),则a·b= (

)

A.5 B.4 C.-2 D.-1【解析】选D.a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.3.(教材二次开发:习题改编)已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为________.

【解析】因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为=答案:

关键能力·合作学习类型一数量积的坐标运算(数学抽象、数学运算)【题组训练】1.(2020·宜宾高一检测)已知向量a=(1,m),b=(2,-1),若(a-b)·b=-1,则实数m= (

)

A.2 B. C.- D.-22.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 (

)A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)3.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求a的坐标;(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.3.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求a的坐标;(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.【解析】1.选D.向量a=(1,m),b=(2,-1),则a-b=(-1,m+1),又(a-b)·b=-1,即-1×2-1×(m+1)=-1,解得m=-2.2.选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1<x<3,所以-2<<6.3.(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).(2)因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0·a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).【解题策略】(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【补偿训练】1.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则a·b=____,a·(a-b)=________.

【解析】a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1,a-b=(-4,0),a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=4.答案:1

42.已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c=________.

【解析】设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,答案:

3.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;

的最大值为________.

【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)·(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)·(1,0)=t≤1,故的最大值为1.答案:1

1类型二平面向量的模(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为 (

)

A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.以上均不正确2.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于________.

3.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是________.

【解析】1.选C.=(3,-1),=(-1,-3),=(-4,-2),所以||=,||=,||=,所以||=||,且||2+||2=||2=20,所以△ABC为等腰直角三角形.2.a+b=(x-1,y+2)=(1,3),所以x=2,y=1,所以a=(2,1).所以a-2b=(4,-3),所以|a-2b|==5.答案:53.设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),则由<a,e>=得,a·e=|a|·|e|cos,x=所以y=±x,由b2-4e·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,|a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±x的距离减去半径,为-1.答案:-1【解题策略】向量模的问题的解题策略(1)字母表示的运算:利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|=将向量运算转化为实数运算.(2)坐标表示的运算:若a=(x,y),则|a|=【补偿训练】若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b|的最小值为________.

【解析】因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a-b=(2x-1,3-x)-(1-x,2x-1)=(3x-2,4-3x),所以|a-b|=所以当x=1时,|a-b|取最小值为.答案:

类型三数量积坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)

角度1夹角、垂直的求解与证明

【典例】已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD.(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.【思路导引】(1)要证明AB⊥AD,只需证明=0.(2)对角线所夹锐角即为与的夹角(或其补角).【解析】(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3),所以=1×(-3)+1×3=0,所以⊥,即AB⊥AD.(2)因为⊥,四边形ABCD为矩形,所以,设C点的坐标为(x,y),则由=(1,1),=(x+1,y-4),得所以C点的坐标为(0,5),从而=(-2,4),=(-4,2),且

=8+8=16,设与的夹角为θ,则cosθ=所以矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为.【变式探究】若本例改为:已知点A(-1,3),B(1,1),C(4,4),D(3,5).

(1)求证:四边形ABCD是直角梯形.(2)求∠DAB的余弦值.【解析】(1)=(2,-2),=(1,-1),=(3,3),所以=2,所以∥.又因为=2×3+(-2)×3=0,所以又因为||≠||,所以四边形ABCD为直角梯形.(2)因为=(4,2),=(2,-2),所以又因为=2×4+(-2)×2=4,所以cos∠DAB=角度2利用夹角、垂直求参数(或范围)

【典例】已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,(1)ka-b与a+2b垂直.(2)ka-b与a+b的夹角为120°.【思路导引】(1)分别求出ka-b与a+2b,利用两向量垂直的坐标公式求k;(2)分别求出|ka-b|、|a+b|与(ka-b)·(a+b),结合题中已知夹角,利用夹角公式求k.【解析】因为a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3).a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)因为ka-b与a+2b垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3.即当k=-3时,ka-b与a+2b垂直.(2)因为|ka-b|=,|a+b|=,(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而ka-b与a+b的夹角为120°,所以cos120°=,即化简整理,得k2+2k-2=0,解之得k=-1±.即当k=-1±时,ka-b与a+b的夹角为120°.【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|=计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cosθ=求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cosθ求θ的值.2.非零向量a,b垂直问题的解决办法涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决.【题组训练】1.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.

【解析】因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以所以解得m=2.答案:22.已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得:(1)a与b的夹角为直角.(2)a与b的夹角为钝角.(3)a与b的夹角为锐角.【解析】设a与b的夹角为θ,则a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.(1)因为a与b的夹角为直角,所以a·b=0,所以1+2λ=0,所以λ=-.(2)因为a与b的夹角为钝角,所以cosθ<0且cosθ≠-1,所以a·b<0且a与b不共线反向.由a·b<0得1+2λ<0,故λ<-,由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向,所以λ的取值范围为(3)因为a与b的夹角为锐角,所以cosθ>0,且cosθ≠1,所以a·b>0且a,b不共线同向.由a·b>0,得λ>-,由a与b同向得λ=2,所以λ的取值范围为∪(2,+∞).【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐标平面内的三个点,则⊥⇔(x3-x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.2.向量共线的条件由cosθ=可知,若θ=0°或180°,则cosθ=±1,则有x1x2+y1y2=,利用此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共线.【拓展训练】已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求||与点D的坐标.【解析】设点D的坐标为(x,y),则=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).因为点D在直线BC上,即与共线,所以存在实数λ,使=λ,即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),所以所以x-3=2(y-2),即x-2y+1=0①.又因为AD⊥BC,所以·=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,所以-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0②.由①②可得即D点坐标为(1,1),=(-1,2),所以||=综上,||=,D(1,1).备选类型函数中的向量问题(直观想象、数学运算)【典例】求函数y=3的最大值.【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型,尝试利用|a·b|≤|a||b|求解.【解析】因为所以-2≤x≤5,y=设p=(3,1),q=(),则|p|=,|q|=,p·q≤|p|·|q|=当且仅当p与q平行且方向相同时不等式取等号,即解之得,当x=时,ymax=.【解题策略】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【跟踪训练】在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,点P是△ABC所在平面上的任意一点,则的最小值为 (

)

A.1 B.2 C.-2 D.-1【解析】选C.以点D为坐标原点,DA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),A(0,2).连接PD,设点P的坐标为(x,y),则=(-x,2-y),=(-x,-y),故

=2(x2+y2-2y),2(x2+y2-2y)=2[x2+(y-1)2]-2≥-2,当且仅当x=0,y=1时等号成立.所以的最小值为-2.1.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|等于 (

)

A.4 B.2 C.8 D.8【解析】选D.易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|=课堂检测·素养达标2.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·= (

)

A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.=+=(3,-1),故·=(2,1)·(3,-1)=6-1=5.3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a=(1,),b=(-2,2),则a与b的夹角是 (

)【解析】选C.设a与b的夹角为θ,则cosθ==因为θ∈[0,π],所以θ=.4.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是________.

【解析】因为a与b的夹角为锐角,所以0<<1,即0<<1,解得λ<-或0<λ<或λ>.答案:

5.求证:(x1x2+y1y2)2≤()().【证明】由待证不等式出发,联想向量a,b的数量积a·b=x1x2+y1y2,于是设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且它们的夹角为θ,则:a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|,得:x1x2+y1y2≤·,即(x1x2+y1y2)2≤()().Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.