重难点拓展：整式化简求值四种方法-人教版新七年级《数学》暑假自学提升讲义（解析版）

第第页重难点拓展：整式化简求值四种方法题型01化繁为简再求值【典例分析】【例1-1】（23-24七年级上·广西玉林·期末）先化简，再求值：，其中是最大的负整数，的相反数是2．【答案】，4【分析】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】，是最大的负整数，的相反数是2，，，当，时，原式【例1-2】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）完成下列各题(1)已知，，求；(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)；(2)，．【分析】本题考查了整式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则．（1）把，代入，然后去括号合并同类项即可；（2）先去括号合并同类项，再把代入计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：；当时，原式【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·广东清远·期中）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，最后代入字母的值求解即可．【详解】解：原式；当时，原式【变式1-2】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）先化简，再求值．(1)，其中是1的相反数，b是2的倒数；(2)，其中．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，相反数和倒数的定义；（1）去括号，合并同类项得到最简结果，根据相反数和倒数的定义求出，，再代入计算即可；（2）去括号，合并同类项得到最简结果，然后将整体代入计算即可．【详解】（1）解：原式；∵是1的相反数，b是2的倒数，∴，，∴原式；（2）原式；当时，原式【变式1-3】（22-23七年级上·浙江·期末）已知，．(1)化简：；(2)已知，互为倒数，且，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（）按照整式运算法则进行化简即可；（）根据，求出的值，又、互为倒数即可求出的值，代入求解即可；本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：，，；（2）∵，互为倒数，∴，∵，∴，由（）得，∴原式．题型02整体代入求值【典例分析】【例2-1】（22-23七年级上·安徽宿州·期中）小萱同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知代数式，求代数式的值．小萓同学的解法如下：原式，把式子两边同时乘2，得．仿照小萓同学的解题方法，完成下面的问题：(1)如果，那么______；(2)已知，求的值；(3)已知，，求的值．【答案】(1)1；(2)11；(3)【分析】（1）变形后可得，进而求解；（2）合并后整体代入求解即可；（3）将所求式子变形为，再整体代入解答．【详解】（1）因为，所以，即，所以．（2）因为，所以原式．（3）因为，，所以原式．【点睛】本题考查了整式的加减和代数式求值，正确变形、灵活应用整体思想是解题的关键【例2-2】（23-24七年级上·广西南宁·期中）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式．【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若，则______；（2）如果，求的值．【拓展探索】（3）如果，．求的值．【答案】（1）2025；（2）57；（3）10【分析】本题考查求代数式值，将待求的代数式变形，用已知的代数式表示是解题的关键．（1）将已知代数式值代入求解；（2）原式，将已知代数式代入求解；（3）原式，将已知代数式代入求解．【详解】解：（1），；（2）原式，，原式，；（3）原式，．【例2-3】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是______．（2）已知，求的值．拓展探索：（3）已知．求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．（1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可；（2）根据，把整体代入求解即可；（3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可．【详解】解：（1）；故答案为：；（2）∵，∴；（3）∵，∴．【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)把看成一个整体，求合并的结果；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整体法以及已知式子的值求代数式的值：（1）把看成一个整体，根据合并同类项的法则，把式子的的系数直接相加减，即可作答．（2）把看做一个整体，整理得，再代入，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）解：，原式．【变式2-2】（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是________；（2）已知，求的值；拓展探索：（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键．（1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果；（2）原式可化为，把整体代入即可；（3）依据，，，即可得到，，整体代入进行计算即可；本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键．【详解】（1），故答案为：；（2）∵，∴原式，，；（3）∵，，，∴，，∴原式．【变式2-3】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）小颖同学在学习整式的加减时遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是联明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程：原式．整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：【简单应用】（1）已知，则的值为【联系推广】（2）已知，求的值；【拓展提高】（3）已知，，求的值．【答案】（1）2025（2）11（3）7【分析】本题考查代数式求值及整体思想，将原式进行正确的变形是解题的关键．（1）将已知数值代入原式计算即可；（2）将原式整理并变形后代入已知数值计算即可；（3）将原式变形后代入数值计算即可．【详解】解：（1），；（2），；（3），，．题型03整体化简中的“无关”求值【典例分析】【例3-1】（22-23七年级上·安徽合肥·期中）如图，长为，宽为的长方形被分割成7部分，除阴影部分，外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3．(1)求小长方形的长（用含的代数式表示）．(2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，他的判断是否正确，请说明理由．【答案】(1)(2)正确，理由见解析【分析】（1）由图形求得阴影P的长即可得出结论．（2）由图形求得阴影P，Q的长与宽，利用长方形的周长公式列代数式，化简即可得出结论．【详解】（1）因为小长方形的宽为3，所以小长方形的长为．（2）判断正确．理由如下：由图可得阴影图形的长为，宽为，阴影图形的长为9，宽为，阴影图形和阴影图形的周长之和为，所以阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，小明的判断是正确的．【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影P，Q的长与宽是解题的关键【例3-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）已知代数式．(1)求；(2)若，求的值；(3)若的值与x的取值无关，求．【答案】(1)(2)的值为28或或或32(3)【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先去括号，再合并同类项即可．（2）由题意可得的值，代入计算即可．（3）将变形为，即可得，求出的值即可．【详解】（1）解：．（2）∵，，当时，；当时，；当时，；当时，．综上所述，的值为28或或或32．（3），∵的值与的取值无关，∴，解得【变式演练】【变式3-1】（23-24七年级上·广东中山·期中）已知关于的两个多项式，其中为常数．求：(1)；(2)若的值与无关，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据整式的混合运算法则，分别计算出的值，在运用整式的加减运算计算即可；（2）根据整式中的无关型，将对应的系数变为零，由此列式求解即可．【详解】（1）解：，∴，，∴．（2）解：由（1）可知，，∵的值与无关，∴，解得，．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，整式无关型的计算方法，掌握整式的混合运算法则，理解无关型的含义是解题的关键．【变式3-2】（23-24七年级上·重庆巴南·期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为．(1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当，，时阴影部分的面积．(2)记图1中阴影部分周长为，图2阴影部分周长之和为，判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出的值．【答案】(1)；(2)的值与三个小正方形的边长无关，值为0【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，解题的关键是掌握运算法则．（1）用长方形的面积减去3个正方形的面积即可；（2）分别求出m，n的值相减即可．【详解】（1）由题意知：长方形的长为，宽为长方形的面积所以图1中阴影部分的面积当，，时，阴影部分的面积（2）图1中阴影部分的周长图2中阴影部分的周长即的值与三个小正方形的边长无关，值为0【变式3-3】（23-24七年级上·山东菏泽·期末）“囧”：是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情，如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为、，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为、．(1)用含有、的代数式表示图中“囧”的面积；(2)令“囧”的面积为，若代数式的值与、无关，求此时的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查列代数式和整式加减运算，熟练掌握代数式求值的方法，根据题意列出准确的代数式是解题的关键．（1）由题意直接利用正方形面积减去两个三角形面积，以及一个小长方形面积即可得到图中“囧”的面积；（2）根据题意先得出“囧”的面积，进而代入代数式，依据即可求解．【详解】（1）解：根据题意得“囧”的面积：；（2），把代入，得，代数式的值与无关，，题型04利用数形结合求值【典例分析】【例4-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）有理数、、在数轴上的位置如图：(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；②______；③______；(2)化简：．【答案】(1)；；(2)【分析】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值．（1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小．（2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项．【详解】（1）解：由数轴可得：，，且；∴；；；（2）解：

．故答案为：【例4-2】（22-23七年级上·广东广州·期中）已知，，三个数在数轴上对应点的位置如图所示：(1)在数轴上标出，，这三个数所对应的点，并将，，，，，这6个数按从小到大的顺序用“＜”连接；(2)根据（1）中结论，化简式子：；(3)若，且表示数的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与互为相反数，求的值．【答案】(1)数轴见解析，；(2)；(3)5【分析】（1）根据相反数的性质在数轴上表示出，，，然后利用数轴比较数的大小；（2）先结合（1）中结论去绝对值，再合并同类项即可；（3）先将原式去括号、合并同类项化简，然后根据已知条件得出，，最后代入求值．【详解】（1）解：如图：从小到大排序为：；（2）解：由（1）知，，，因此；（3）解：，表示数的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与互为相反数，，又，，，．【点睛】本题考查用数轴比较数的大小，整式的加减运算，相反数的定义，化简绝对值等，解题的关键是熟练运用整体代入思想．【例4-3】（23-24七年级上·陕西西安·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是______；表示和2两点之间的距离是______；(2)如果，那么______；(3)已知三点在数轴上所表示的数分别为，且是最小的正整数，满足若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值

【答案】(1)，(2)或(3)不变，的值为【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解；（2）根据到距离为3的点表示的数，即可求解．（3）根据绝对值的非负性求解，即可得到，根据题意得到秒后，点、、对应的数分别为、、，再根据数轴上两点间的距离公式，得出，，即可得到答案．【详解】（1）解：数轴上表示2和7的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是故答案为：，．（2）解：∵，∴或故答案为：或．（3）解：不变，理由如下，是最小的正整数，，，，，，，由题意可知，秒后，点、、对应的数分别为、、，，，，的值不随着时间的变化而改变，其值为2．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点间的距离公式时解题关键．【变式演练】【变式4-1】（22-23七年级上·江西宜春·期中）如下图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（O为原点）(1)0，0，0（用“＜”或“＞”或“＝”号填空）；(2)化简：．【答案】(1)，，；(2)【分析】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值的性质等知识点，（1）直接利用数轴结合的位置进而判断得出答案；（2）利用（1）中的符号，结合绝对值的性质化简得出答案；正确去掉绝对值是解决此题的关键．【详解】（1）由数轴知：，，