专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（五大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页专题2.2充分条件、必要条件、充要条件课程标准学习目标1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2、会求(判定)某些简单命题的条件关系.3、会判断、证明充要条件.4、通过学习，弄清对条件的判断应该归结为．1、数学抽象:理解充分条件、必要条件、充要条件的意义2、逻辑推理:对命题真假的判断3、数学运算:通过命题之间的逻辑关系求参数的范围。知识点01充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．【即学即练1】（2023·湖北黄冈·高一校联考期中）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，解得，因为，所以是“”的充分不必要条件.故选：A．知识点02充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若，，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．【即学即练2】（2023·上海徐汇·高一统考期末）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】设，因为是的充分条件，所以集合是集合的子集，所以.故答案为：知识点03充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题．【即学即练3】（2023·江苏苏州·高一苏州市第五中学校校考阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，，则，，，故方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，令，当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点，则，解得；当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数，有两个负零点，则，无解；故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是；方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2023·江苏徐州·高一统考期末）若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若是的必要不充分条件，则，，是的充分不必要条件，则，则有，，则是的充分不必要条件，故选：A．例2．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，因为是的的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，因为，，，所以，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.例3．（2023·全国·高一假期作业）设：或；：或，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意可得，，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要条件.故选：A变式1．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）设为两个非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，都有可得A是B的子集，推不出A是B的真子集；反之，A是B的真子集，则必有，都有，故“，都有”是“A是B的真子集”的必要不充分条件，故选：B变式2．（2023·高一课前预习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由可得，由可得，所以“”是“”的充要条件.故选：C.【方法技巧与总结】判断充分条件、必要条件的注意点（1）明确条件与结论．（2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题．（3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q．充分条件、必要条件的两种判断方法（1）定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．（2）命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．题型二：根据充分条件求参数取值范围例4．（2023·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由，解得，记，由，解得，记，∵“”是“”的充分非必要条件，∴真包含于，即，解得.故答案为：例5．（2023·湖北武汉·高一期中）已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．设，若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，所以集合是集合的真子集.所以．故答案为：.例6．（2023·上海青浦·高一统考开学考试）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，又集合，集合，所以.故答案为：变式3．（2023·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】由，解得，即，记；由，解得，即，记，因为是的充分不必要条件，所以，即，解得，所以a的取值范围是.故答案为：.变式4．（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为.【答案】[0，3]【解析】由得，∵的充分不必要条件是∴，解得，经检验或3均满足条件，故答案为：.变式5．（2023·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为，且是的充分条件，即推得出，所以.故答案为：变式6．（2023·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解析】设，，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A是B的真子集，则或，解得．∴m的取值范围是．变式7．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.(1)当时，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，集合，因为，所以.所以，（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集，而不为空集，所以，因此.【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型三：根据必要条件求参数取值范围例7．（2023·高一课时练习）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以实数m的取值范围为．例8．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.例9．（2023·高一课时练习）已知或，为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】由题意知，或，为非空集合)，因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，可得或，解得或，所以实数的取值范围是.变式8．（2023·四川凉山·高一统考期末）已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【解析】（1）当时，，所以（2）若选择条件①，由且得：，当时，，即；当时，，即或，即或，所以或，综上所述：的取值范围为：或．若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：，即，所以．变式9．（2023·全国·高一专题练习）设，已知集合，．(1)当时，求实数的范围；(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．【解析】（1）由题可得，则；（2）由题可得是的真子集，当，则；当，，则（等号不同时成立），解得综上：.变式10．（2023·陕西安康·高一校联考期末）已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合．【解析】条件p：{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}＝A，条件q：{x|mx＋1＝0}＝B，因为p是q的必要条件，所以B⊆A.所以或{－3}或{2}．当m＝0时，满足题意．当m≠0时，若B＝{－3}，则－3m＋1＝0，解得m＝.若B＝{2}，则2m＋1＝0，解得m＝－.综上可得，m的取值集合是.【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型四：根据充要条件求参数取值范围例10．（2023·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为.【答案】【解析】解不等式得，因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，所以，.故答案为：.例11．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．【答案】3【解析】由得，故，因为“”是“”的充要条件，所以，解得，所以实数m的取值是3.故答案为：3.例12．（2023·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；(1)用列举法表示集合；(2)若是的充要条件，求实数的值.【解析】（1）集合，即；（2）由已知，，若是的充要条件，则，，.变式11．（2023·甘肃临夏·高一校考阶段练习）已知条件集合，条件非空集合．(1)若是的必要条件，求实数的取值范围．(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．(3)否存在实数，使是的充要条件．【解析】（1）因为是的必要条件，所以，又，，所以，解得，即实数的取值范围是；（2）若是的必要条件，则⇒，所以，又或，或，所以，解得，故实数的取值范围；（3）若是的充要条件，则，所以，方程组无解，故不存在实数，使是的充要条件．变式12．（2023·高一课时练习）已知，，求的充要条件.【解析】的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得.上述方程有两个负根的充要条件是且，即，∴.于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是.故的充要条件为.变式13．（2023·高一单元测试）已知（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.【解析】，．（1）要使是的充要条件，则，即此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得，要使，则有解得，所以，综上可得，当实数时，是的必要条件．变式14．（2023·全国·高一专题练习）已知命题，命题.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）集合，集合.因为是的充分条件，所以，∴集合可以分为或两种情况来讨论：当时，满足题意，此时，解得：；当时，要使成立，需满足，综上所得，实数的取值范围.（2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么，则必有，解得，综合得无解.故不存在实数，使得，即不存在实数，使得是的充要条件.【方法技巧与总结】（1）化简p、q两命题，（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，（3）利用集合间的关系建立不等关系，（4）求解参数范围．题型五：充要条件的证明例13．（2023·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.【解析】充分性：∵，∴方程的判别式，且，∴方程有两个同号且不相等的实根．必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，则有，解得.综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.例14．（2023·高一课时练习）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是.【解析】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以.先证充分性:因为，且，所以.再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知，对于任意，均有成立的充要条件是.例15．（2023·高一课时练习）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．【解析】必要性：设方程与的公共根为，则，，两式相加得（舍去），将代入，得，整理得.所以.充分性：当时，，于是等价于，所以，该方程有两根，.同样等价于，所以，该方程亦有两根，.显然，两方程有公共根.故方程与有公共根的充要条件是.变式15．（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.【解析】充分性：若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；必要性：由于等式对任意实数恒成立，分别将，，代入可得，解得，必要性成立，故等式对任意实数恒成立的充要条件是.变式16．（2023·浙江温州·高一校考阶段练习）设.(1)求证：成立的充要条件是.(2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）.【解析】（1）证明：先证充分性：，讨论：i当，继续讨论：①时，，，所以；②时，，，所以；③时，所以；当时，有成立ii当，即或①当时，②当时，，，再证必要性：，两边平方有：，，综上：成立的充要条件是.（2）因为，所以成立的充要条件.变式17．（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.【解析】先证明充分性：若，则成立．所以“”是“”成立的充分条件；再证明必要性：若，则，即，，，，，即成立．所以“”是“”成立的必要条件.综上：成立的充要条件是．变式18．（2023·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合，．(1)若“，”为假命题，求的取值范围；(2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或．【解析】（1）由已知，集合，所以集合．因为“，”为假命题，所以．当时，，解得；当时，要使，则，，且，，即，解得或或或．综上，实数m的取值范围为．（2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集．当，或时，，方程有解，集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证；必要性：若至少有2个子集，则或．若至少有2个子集，则至少有1个元素，方程有解，，解得或，必要性得证．综上，至少有2个子集的充要条件是或．【方法技巧与总结】（1）证明充分性；（2）证明必要性．一、单选题1．（2023·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，由x＞|y|可得；当时，由x＞|y|可得；故充分性满足；当时，由可得；当时，由，x＞0，不可得，如，但，故必要性不满足；所以“x＞|y|”是“x＞y”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·云南·高一统考期末）已知、，且，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】C【解析】取，，则，但，即“”“”；取，，则，但，即“”“”.所以，“”是“”成立的既不充分也不必要条件，C对.故选：C.3．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（

）个①若是偶数,则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；对于④，若，则，故④符合题意.故选：D.4．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的充分不必要条件；正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的充分不必要条件，所以，，因为是的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，所以是的充要条件；命题①正确，因为，，，所以，若，则，，，故，与矛盾，所以，所以是的充分不必要条件，命题②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.5．（2023·云南楚雄·高一校考阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为为真命题，所以或，对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，故选：A6．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要条件为：，对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件；对于B，由，得，是“”成立的充要条件；对于C，是“”成立的必要不充分条件；对于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要条件.故选：C.7．（2023·江西宜春·高一江西省樟树中学校考阶段练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】命题“”为真命题，可化为“”恒成立，即只需，所以命题“”为真命题的一个充要条件是，而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选项可知A符合题意.故选:A.8．（2023·浙江·高一校联考期中）设x为任一实数，[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】充分性：当，时，但，，充分性不成立.必要性：设，令，则，，由此可得，即，必要性成立.故”是“的必要不充分条件.故选:C二、多选题9．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）下列命题中，真命题的是（

）A．若且则至少有一个大于 B．C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得【答案】ABD【解析】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确；对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确；对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误；对于D，当，此时，所以至少有一个实数，使得，故D正确.故选：ABD.10．（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为集合或，当时，，解得，此时，当时，，解得，若，则，解得，又，则，则的充要条件为，所以的必要不充分条件可能是，，故选：AB．11．（2023·安徽芜湖·高一统考期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由题意，不等式，，解得，故不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是，或.故选：CD.12．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期中）命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件可以是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【解析】令，因为一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1，所以，所以，解得，所以命题“一元二次方程的一个实根大于1，另一个实根小于1”为真命题的一个充分不必要条件为的一个真子集即可，所以AC符合条件，故选：AC.三、填空题13．（2023·高一课时练习）如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则（1）若是的充分不必要条件，则；（2）若是的必要不充分条件，则；（3）若是的充分必要条件，则；（4）若是的既不充分又不必要条件，则.【答案】且.【解析】（1）根据充分不必要条件与集合间的包含关系，可得；（2）根据必要不充分条件与集合间的包含关系，可得；（3）根据充分必要条件与集合间的包含关系，可得；（4）根据既不充分也不必要条件与集合间的关系，可得且.14．（2023·高一单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的条件．【答案】充分必要【解析】若，则，则，故成立，若，则，所以，所以“”是“”的充要条件，故答案为：充分必要15．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.【答案】【解析】若“或”是“”的必要不充分条件，则是或的真子集，或，解得：或，故答案为：．16．（2023·浙江衢州·高一校考期中）已知命题关于的方程有实根，若为真命题的充分不必要条件为，则的取值范围是.【答案】【解析】由方程有实数根可得，即，为真命题，即为假命题，所以，根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得，即实数的取值范围为.故答案为：四、解答题17．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题