8.2 函数与数学模型（六大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页8．2函数与数学模型课程标准学习目标（1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，选择合适的函数模型，运用函数模型解决实际问题，提升直观想象和逻辑推理素养.（2）通过数据分析对应的函数模型，提升逻辑推理素养.（3）将实际问题转化为数学问题，由函数解析式求值和有关函数解析式的计算，提升直观想象和数学运算素养.（1）了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.（2）会根据函数的增长差异选择函数模型．（3）能自建确定性函数模型解决实际问题.（4）了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点01几种常见的函数模型1、一次函数模型：（，为常数，）2、二次函数模型：（为常数，）3、指数函数模型：（为常数，，且）4、对数函数模型：（为常数，，且）5、幂函数模型：（为常数，）6、分段函数模型：【即学即练1】（2023·浙江金华·高一阶段练习）今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确；对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确；对于选项C：当时，，故选项C正确；对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确；故选：C.知识点02解答应用问题的基本思想和步骤1、解应用题的基本思想2、解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．3、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系．其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．【即学即练2】（2023·安徽阜阳·高二校考期中）某化学试剂厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是万元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求的取值范围；(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.【解析】（1）根据题意，有，得，得或，又，得．（2）生产120千克该产品获得的利润为，，记，，则，当且仅当时取得最大值，则获得的最大利润为（万元），题型一：一次函数与二次函数模型的应用例1．（2023·全国·高二专题练习）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本(单位：万元)与处理量(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【解析】（1）当时，设该工厂获利为，则，所以当时，，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损．（2）二氧化碳的平均处理成本，当时，，当且仅当，即时等号成立，故取得最小值为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．例2．（1982·全国·高考真题）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？【解析】设长方形场地的宽为，则长为，它的面积，当宽时，这块长方形场地的面积最大，这时，最大面积为.答：这块场地的长为，宽为时，面积最大，最大为.例3．（2023·河南·高二校联考阶段练习）某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．(1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．【解析】（1）由题意可得，由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为，当且仅当，即时等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元．综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．变式1．（2023·高二课时练习）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本.(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.【解析】（1）当时，，解得.∴即（2）当，时，设，则.令，解得（舍去），，当时，，单调递增；当时，，单调递减.∵，，，的最大值为44226.当时，单调递减，故此时的最大值为.综上所述，当时，有最大值44226.∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件.变式2．（2023·高二课时练习）已知某养猪场的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量为600头，且每养1头猪，成本增加100元，养x头猪的收益函数为，记，分别为养x头猪的成本函数和利润函数．(1)分别求，的表达式；(2)当x取何值时，最大？【解析】（1）由题意得：，，；（2）由（1）知：，，当时，最大.【方法技巧与总结】1、一次函数模型的应用利用一次函数求最值，常转化为求解不等式（或）．解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．2、二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．题型二：分段与分式函数模型的应用例4．（2023·江苏无锡·高一江阴市青阳中学校考阶段练习）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元，依题：当时，当时，，所以；（2）当时，，此时，当时，取得最大值（万元）；当时，，当且仅当，即时，等号成立，即当时，取得最大值15（万元），因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元.例5．（2023·江西南昌·高二校联考期末）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式.(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.【解析】（1）当时，；

当时，.

故（2）当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线所以在上单调递增，

故（万元）；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立.

即当时，（万元）.

因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.例6．（2023·全国·高三专题练习）已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知(1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式：(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.【解析】（1）由题得利润等于收入减去成本.当时，；当时，.（2）当时，时，；当时，，当且仅当，即时，，时，的最大值为6104万元，即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.变式3．（2023·江苏宿迁·高二统考期中）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意当时，；当时，．所以.（2）当时，，此时，当时，取得最大值10；当时，，此时，当且仅当，即时，取得最大值16．因为，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万元．变式4．（2023·广东·高二统考期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.(1)当时，求函数关于的函数表达式；(2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【解析】（1）依题意，当时，；当时，是关于x的一次函数，假设，则，解得，所以.（2）当时，；当时，，当时，取得最大值.因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.变式5．（2023·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）当时，；当时，，所以；（2）当时，，所以；当时，，当且仅当，即时等号成立.故，所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.变式6．（2023·四川成都·高一四川省成都市玉林中学校考期中）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式．设年产量为台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？【解析】（1）当，时，；当，时，．所以；（2）①当，时，，所以当时，y取得最大值，最大值为1200万；②当，时，，当且仅当，即时，y取得最大值1320，所以，所以当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元．【方法技巧与总结】1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．3、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．题型三：指数、对数、幂函数模型的应用例7．（2023·高二课时练习）某城市2007年底人口为500万，人均住房面积为，到2017年底该市的人均住房面积翻了一番．假定该市人口的年平均增长率为1％，求这10年中该市每年新增住房的平均面积（精确到）．【解析】2007年住房总面积为：万平方米，2017年该市的人口为：万，2017年住房总面积为：万平方米，则10年中该市每年新增住房的平均面积：万平方米.例8．（2023·河南·高二临颍县第一高级中学校联考阶段练习）研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在t时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，k为常数．(1)若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求k的值；(2)设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素X的放射性水平趋于“绝零”的最小整数t．（参考数据：）【解析】（1）由题可知，，．因为，所以，所以即．（2）由（1）可知，，由，得，即．因为，所以，所以所求的最小整数．例9．（2023·安徽黄山·高一统考期末）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为.(1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据:，，）【解析】（1）由已知可得.（2）设在材料更新和技术改进前总质比为，且，，若要使火箭的最大速度至少增加，所以，即，，所以，解得，因为，所以，所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为.【方法技巧与总结】1、涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式．2、在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．题型四：拟合函数模型的应用问题例10．（2023·四川成都·高一校联考期末）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，由题意可得：，解得：，所以该模型的解析式为：，（2）由（1）知：，由题意知：，也即，则有，∴，∴，∴至少需要4秒．例11．（2023·广东中山·高一统考期中）某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【解析】（1）由题意设投入万元，稳健型产品的年收益，风险型产品的年收益，由图知，函数和的图象分别过点和，代入解析式可得，所以（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，则，令，则，当，即时，，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.例12．（2023·山西太原·高一校考阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．（1）求森林面积的年增长率；（2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年）（参考数据：，）【解析】（1）设年增长率为，则，，，.（2）设至少需要植树年，则，，即，，，故至少需要植树造林年.变式7．（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：时间月1234浮萍的面积35917现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.【解析】（1）应选择函数模型②.依题意，得，解得，所以关于的函数解析式为.（2）.理由：依题意，得，，，所以，，，所以，所以，所以.变式8．（2023·四川绵阳·高二期末）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．(1)分别求出两个函数模型的解析式；(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：）【解析】（1）若选择模型，则，解得，，故函数模型为，若选择模型，则，解得，，故函数模型为．（2）把代入可得，，把代入可得，，∵，∴选择函数模型更合适，

令，可得，两边取对数可得，，∴，故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m2．变式9．（2023·广东河源·高一阶段练习）某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y和投资x的单位均为万元）(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②怎样分配这18万元投资才能使该企业获得最大利润？最大利润为多少万元？【解析】（1）设A产品的利润关于投资x的函数解析式为，B产品的利润关于投资x的函数解析式为，由题意可得：过点，过点，则，解得，故A产品的利润关于投资x的函数解析式为，B产品的利润关于投资x的函数解析式为.（2）设B产品投资万元，则A产品投资万元，由（1）可得：获得总利润.①令，则获得总利润万元；②令，则，可得，开口向下，对称轴，当时，取到最大值，故A产品投资万元，B产品投资万元，才能使该企业获得最大利润.变式10．（2023·江西赣州·高三校联考阶段练习）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.上市时间/天2632市场价/元1486073(1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.【解析】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.分别把，代入，得解得，，∴，.此时该函数的图象恰经过点，∴，.（2）由（1）知，当且仅当，即时，有最小值，且.故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.变式11．（2023·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135(1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【解析】（1）该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型②：，由函数图象对称性可知，又由表格可知，，代入，得，解得，，所以日销售量与时间的变化的关系式为，.（2）因为第1天的日销售收入为244元，则，解得，则，由（1），知，由，当，时，，当且仅当时，即时等号成立，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值139.5元．变式12．（2023·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考期中）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价（元）与时间（元）的函数关系近似满足（为正实数）．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：第天10202530个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.(1)求的值；(2)给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；(3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入（元）的最小值．【解析】（1）由题意得：第10天该商品的日销售收入为，解得：，（2）由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，∵，，，∴，解得：，∴，；（3）由（2）可知：，所以当时，由对勾函数知在上递减，在上递增，所以当时，取最小值，，当时，在上递减，所以当时，取最小值，，综上：所以当时，取最小值，.【方法技巧与总结】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型例13．（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，即，，，对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；对于B中，函数，当时，和0.4相差较大；对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；对于D中，函数，当时，，当时，，当时，和0.76相差0.04，综合可得，选用函数关系较为近似．故选：D.例14．（2023·安徽宿州·高一校联考期末）有一组实验数据如下现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于选项A：当时，，与相差较多，当时，，与相差较多，故选项A不正确；对于选项B：当时，，与相差较多，当时，，与相差较多，故选项B不正确；对于选项C：当时，，当时，，故选项C正确；对于选项D：当时，，与相差较多，当时，，与相差较多，故选项D不正确；故选：C.例15．（2023·河南许昌·高三阶段练习）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B、C两个选项，当时，不符合A选项．故选：D.变式13．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）一组关于的观测数据通过的转换数据对应关系如表所示：1234513.14.97.18.8则y与t近似满足这些数据的函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意求得和的对应数据，113.14.97.18.8对A，当时，和相差较远，故排除A，对C，当时，和相差较远，故排除C，对D，当时，，和7.1相差较远，故排除D，对B，各个数据代入基本符合，故选：B变式14．（2023·福建泉州·高二统考期末）对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（

）12335.9912.01A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，这3组数据可近似为，，；得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足，对于选项，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是．故选：．变式15．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，时，，，时，，，，因此，综上，．故选：D．题型六：指对幂函数的增长差异例16．（2023·全国·高一课时练习）甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论：①当时，乙总走在最前面；②当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；③如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③【解析】已知甲、乙、丙三个物体的路程关于时间的函数关系式，分别为，，，可知它们相对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数，当时，，当时，，可知当时，乙不总是走在最前面，故①不正确；根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象，当时，，则甲、乙、丙三个物体的路程相等，由图象可知当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；故②正确；由于指数函数的增长速度先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，所以如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲，故③正确.故答案为：②③.例17．（2023·全国·高一专题练习）函数与函数在区间上增长速度较快的一个是__________.【答案】【解析】，比较与的增长速度只需比较与增长速度即可，由图象可知：的增长速度快于，函数与函数在区间上增长速度较快的是.故答案为：.例18．（2023·湖南·高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.①；②；③；④【答案】①【解析】由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，更为有前途的生意，故答案为：①.变式16．（2023·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内分别作出下列各组函数的草图，比较它们在范围内增长的快慢．(1)和；(2)和；(3)和；(4)和．【答案】(1)图象见解析，增长较快；(2)图象见解析，增长较快；(3)图象见解析，增长较快；(4)图象见解析，增长较快；【分析】根据基本初等函数的图象特征，画出函数图象，结合函数图象判断即可；(1)函数图形如下图所示：由图可知在范围内增长得较快；(2)函数图形如下图所示：由图可知在范围内增长得较快；(3)函数图象如下所示：由图可知在范围内增长得较快；(4)函数图形如下所示：由图可知在范围内增长得较快；变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y＝f(x)是函数y＝的反函数．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：①；②成立的自变量x的取值范围．【解析】(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f(x)＝2x.(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4，24＝42＝16，①因为，所以2<x<4，解集为(2，4)；②因为，所以0<x<2或x>4，解集为(0，2)∪(4，＋∞)．变式18．（2023·江苏·高一课时练习）利用计算器，分别计算当，2，3，…，10时，函数，及的值，并分析判断：当x无限增大时，这3个函数中哪个函数的增长更快些.【解析】当，2，3，…，10时，函数，及的值如下表：12012414381.58496250194162165322.321928095256642.5849625013671282.80735492249825636495123.169925001811010243.321928095100从表格可知，当x无限增大时，这3个函数中指数函数的增长更快些．一、单选题1．（2023·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（

）A．5小时后 B．7小时后C．9小时后 D．11小时后【答案】B【解析】设小时后减少到，则，则，即，则，则，则注射时间需小于小时.故选：B．2．（2023·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用表示经过的单位时间数，用表示病毒感染人数，得到的观测数据如下：123456…（人数）…6…36…216…若与的关系有两个函数模型可供选择：①；②.若经过个单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（

）（参考数据：，，，）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若选，将和代入得，解得，所以，代入有，不合题意．若选，将和代入得，解得，所以．代入有，符合题意．依题意可得，即，则，又，，所以，∵，∴的最小值为.故选：C3．（2023·浙江宁波·高一校联考期中）某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（

）A．6小时 B．7小时 C．9小时 D．5小时【答案】B【解析】因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以，所以，即，所以，解得，所以所以第36天检测过程平均耗时小时，故选：B.4．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，（

）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，即，即，两边同取自然对数得，，所以，故选：B.5．（2023·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（

）A．16小时 B．11小时 C．9小时 D．7小时【答案】C【解析】因为第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，所以，因为第16天检测过程平均耗时为16小时，所以，得，因为第64天检测过程平均耗时为8小时，所以，解得，所以，所以当时，，故选：C6．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（

）A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年【答案】C【解析】设2020后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，则，即，解得，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026．故选：C．7．（2023·福建泉州·高一校考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分元超过但不超过的部分元超过的部分元若某户居民本月交纳的水费为元，则此户居民本月用水量为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设居民每月用水量为立方米，水费为元，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，因为，此户居民本月用水量超过但不超过，当时，有，解得，即此户居民本月用水量为，故选：A．8．（2023·高一单元测试）今有一组实验数据如下表所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（

）1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01A． B．C． D．【答案】C【解析】综上，最近似.故选：C.二、多选题9．（2023·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（

）A．且B．在10℃的保鲜时间是60小时C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时【答案】AB【解析】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，易得是减函数，结合复合函数的单调性可知，又，可知，所以正确；又，即，故，，则，故正确；若，则，结合，不等式化为，即，又，所以，故错误；当时，，故错误；故选：10．（2023·辽宁辽阳·高一统考期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】BC【解析】依题意，则，由知：，且，由知：在上恒成立，因为在上递增，所以，即，综上，，.故选：BC11．（2023·贵州·高一校联考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．函数与的图象关于轴对称.B．函数与的图象关于对称.C．，当时，恒有.D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上.【答案】BCD【解析】对于A项，显然函数与的定义域均为，图象不会关于轴对称，其图象关于轴对称，故A错误；对于B项，函数与互为反函数，故图象关于对称，故B正确；对于C项，易知，由指数函数的增长速度可知，当时，恒有，即C正确；对于D项，由于函数连续，又，，由零点存在性定理可知函数零点落在区间上，即D正确.故选：BCD.12．（2023·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（

）A．的取值范围为B．设，则与的关系是C．的面积与的关系是D．当的面积最大时，矩形的面积为【答案】BCD【解析】如图所示：因为矩形的周长为，所以，解得，故A错误；由题意得，，所以，则，又，则，化简得，故B正确；，故C正确；令，由对勾函数的性质得，当时，取得最小值，此时取得最大值，，故D正确；故选：BCD三、填空题13．（2023·北京大兴·高一校考期中）某商贸公司售卖某种水果，经过市场调研可知：未来20天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量y（单位：箱）与时间t之间的函数关系式为.在未来这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性，要求捐赠之后每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大，则m的取值范围是.【答案】【解析】记捐赠后的利润为，由题意，，化简得，，记，则其开口向下，且对称轴为，由该公司每天都能盈利，且获得的利润随时间t的增大而增大，所以，解得且.所以m的取值范围是故答案为：.14．（2023·全国·高一阶段练习）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：m2）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是．①浮萍的面积每月的增长率为；②浮萍每月增加的面积都相等；③第4个月时，浮萍面积不超过80m2；④若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是，则．

【答案】①④【解析】将点的坐标代入函数的解析式，解得，于是解析式是对于①，浮萍的每月增长率为：，则浮萍每月的增长率为，故①正确，对于②，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，故②错误，对于③，第4个月时，浮萍的面积为，故③错误，对于④，由题意可得，，，，于是所以，故④正确，故答案为：①④．15．（2023·高一课时练习）有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771).【答案】2026【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2020年开始增加的年份的数量，由题意可得，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过万吨，所以，所以，两边取对数可得，所以，即，解得，又，故的最小值为，所以从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨．故答案为：202616．（2023·高一课时练习）某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进份报纸，才能使每月所获利润最大.【答案】400【解析】设每天从报社买进份报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共份，每月退回报社报纸共份.依题意得，.即，化简得，其中，因为此一次函数的，所以该函数为增函数，再由知，当时，y取得最大值，此时(元).所以每天买进400份报纸可使每月所获利润最大，最大利润为1440元.故答案为：400.四、解答题17．（2023·四川内江·高一四川省内江市第二中学校考期中）2023年10月18日，内江高新区举行乡村振兴产业推介会暨项目集中签约仪式，现场签约农业产业项目14个，涵盖种苗繁育、粮油加工、中药材种植、特色水产