重难点02 集合中的创新问题（三大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页重难点02集合中的创新问题【题型归纳目录】【方法技巧与总结】1、集合中的创新问题主要体现在（1）集合中的新定义问题；（2）集合中的新运算问题；（3）集合中的新性质问题．对于这类以集合为背景的创新问题是近几年考查的一个热点．此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托．解决集合中的创新问题的着手点：（1）正确理解新定义、新运算、新性质的定义，剥去它们的外表，转化为我们熟悉的集合知识；（2）合理利用集合性质是破解创新性集合问题的关键；（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法进行求解，当不满足要求时，只需通过举反例来说明．2、解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．【经典题型】题型一：创新集合新定义例1．（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合中阴影部分表示的集合为且集合中阴影部分元表示的集合为且，故整个阴影部分表示，故选：D.例2．（2023·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定与为集合U的同一种真分拆．①；②；③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则集合的真分拆的种数是（

）A．4 B．8 C．10 D．15【答案】A【解析】根据真分拆定义，当集合只有一个元素时，有四个元素，此时只能是；当集合有两个元素时，有三个元素，此时包括、、，因为与为集合U的同一种真分拆，故只有四种真分拆.故选：A例3．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考阶段练习）设集合S，T，.S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；下列命题正确的是（

）A．若S有4个元素，则有7个元素 B．若S有4个元素，则有4个元素C．若S有3个元素，则有4个元素 D．若S有3个元素，则有5个元素【答案】A【解析】对于A，B，构造，则，，且，则，共7个元素；对于C，D，令，则，有4个元素；若令，则，有5个元素.故选：A.例4．（2023·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以为又且为互斥集，所以为，要想取得最大值，则要最小，此时，不妨令，则，故选：C例5．（2023·高一单元测试）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（

）A．N B．Z C．Q D．【答案】C【解析】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确；对于集合，，，故不是数域，D选项错误.故选：C例6．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论：①；②；③；④整数、属于同一“类”的充要条件是“”．其中正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①，错误；②，错误；③，对；每个整数除以5后的余数只有，没有其他余数，故原命题成立.④整数、属于同一“类”的充要条件是“”，对；证明④：（充分性），不妨（必要性）即除以5后余数相同，属于同一“类”故选：B例7．（2023·湖南永州·高一校考阶段练习）已知集合,,则集合中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】当时，，则；当时，，则；所以集合，所以元素的个数为5个.故选:D.例8．（2023·江苏南通·高一统考期中）已知集合且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，且.故选：C例9．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（

）A．2 B．6 C．14 D．15【答案】B【解析】因为，，，所以，又集合有3个元素，当时，即时，满足题意，当时，即，（舍去）时，，不符合题意，当时，即时，满足题意，当时，即，（舍去）时，，不符合题意.综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.故选：B例10．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】B【解析】集合，，定义，则，元素个数为5，故集合的所有真子集的个数为故选：B例11．（2023·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次，则对的所有非空子集中元素执行乘再求和，则这些和的总和是．故选：B.例12．（2023·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（

）A．② B．①③ C．②④ D．②③【答案】D【解析】①中由于{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X上的一个拓扑；④中{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故④不是集合X上的一个拓扑；因此集合X上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D．例13．（2023·江苏无锡·高一校考阶段练习）给定数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合，则下列说法正确的是（

）A．集合为闭集合B．集合为闭集合C．正整数集为闭集合D．若集合，为闭集合，则为闭集合【答案】B【解析】对选项A，当集合时，，而，所以集合不为闭集合，故A错误；对选项B，当时，设，，，则，，所以集合是闭集合，故B正确；对选项C，设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合，故C错误；对选项D，设，由B可知，集合，为闭集合，，而，此时不为闭集合，故D错误.故选：B例14．（多选题）（2023·河南·高一校联考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD例15．（多选题）（2023·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（

）A．集合为闭集合；B．集合为闭集合；C．集合为闭集合；D．若集合为闭集合，则为闭集合．【答案】AC【解析】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;对于D：假设,.不妨取,但是,,则不是闭集合.故D错误.故选：AC例16．（多选题）（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A为非空实数集，若，都有，则称A为封闭集．其中正确结论的是（

）A．集合为封闭集B．集合为封闭集C．若集合A1，为封闭集，则为封闭集D．若A为封闭集，则一定有【答案】BD【解析】对于A，集合，当，时，，故不是封闭集，A选项错误；对于B，集合，代表偶数集，因为任何两个偶数的和、差、积仍然是偶数，所以集合是封闭集，B选项正确；对于C，举反例：，，取，，但，所以，虽然集合为封闭集，但不一定是封闭集，C选项错误；对于D，若为封闭集，则取得，D选项正确；故选：BD.例17．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下：①当，奇偶性相同时，；②当，奇偶性不同时，．若集合，则的元素个数为．【答案】【解析】因为，当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素；当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素；当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素；所以的元素共有个.故答案为：题型二：创新集合新运算例18．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）定义且，若，则【答案】【解析】根据集合且的定义可知，当时，可得，；所以故答案为：例19．（2023·江西赣州·高一校联考期中）定义运算：.若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，所以.故选：C.例20．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，或，则，故选：C例21．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）定义且，若，，则等于（

）A．A B．B C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.例22．（2023·全国·高一专题练习）定义集合且，已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为集合且，，所以故选：C例23．（2023·江苏徐州·高一统考期中）已知集合A，B是实数集R的子集，定义，且，若集合A=且，，则（

）A．[—1，1] B．[—1，1） C．[0，1] D．[0，1）【答案】B【解析】当时，递减，所以，当时，递减，所以，综上知或，的对称轴为轴，当时，，，所以，所以.故选：B例24．（2023·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（

）A．3 B．4 C．12 D．16【答案】C【解析】因为定义，且，，所以，中元素的个数是12，故选：C.例25．（2023·高一单元测试）对于集合，定义，，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】集合，，则，，由定义可得：且，且，所以，选项ABD错误，选项C正确.故选：C．例26．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以或所以或，或所以或，，代入验证，故.故选：D.题型三：创新集合新性质例27．（2023·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（

）A．37 B．39 C．48 D．57【答案】A【解析】因为集合，又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素，所以集合中没有重复元素，因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素，所以在的特征数构成中，必有和，不妨设，要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即，则，此时有最大值为，即；要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即，则，此时有最小值为，即，综上：，显然，选项A不满足，故A正确；选项BCD都满足，故BCD错误.故选：A.例28．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合，集合，则C的子集的个数为（

）A．3 B．8 C．7 D．16【答案】B【解析】由题意得，所以集合的子集的个数为.故选：B.例29．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】第一次操作剩下：；第二次操作剩下：；第三次操作剩下：；即从左到右第四个区间为.故选：C.例30．（2023·高一校考单元测试）已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：①对于任意，若，则；②对于任意，若，则.若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】令且，，如下表行列分别表示，集合可能元素如下：则，若，不妨令，下表行列分别表示，由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；若，则，下表行列分别表示，由，而，且，要使中元素不超过4个，只需，此时，显然，即，则，即且，故，所以，即，而，故，共7个元素.故选：C例31．（2023·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知集合，，，．若，则集合A中元素个数的最大值为（

）A．1347 B．1348 C．1349 D．1350【答案】C【解析】设满足题意，其中，则，，，，，，中最小的元素为1，最大的元素为，，，，实际上当时满足题意，证明如下：设，则,由题知，即，故的最小值为674，于是时，中的元素最多，即时满足题意，终上所述，集合中元素的个数的最大值为1349故选：C.例32．（2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（

）A．4 B．3 C．2 D．9【答案】C【解析】由已知，又，所以或，又中显然是一个解，即，因此，所以，所以有两个相等的实根且不为0，，，经检验符合题意，，所以．故选：C．例33．（多选题）（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：①②③，若且，则④，若且，则就称集合为集合的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（

）A．设，则满足是集合的一个“偏序关系”的集合共有3个B．设，则集合是集合的一个“偏序关系”C．设，则含有四个元素且是集合的“偏序关系”的集合共有6个D．是实数集的一个“偏序关系”【答案】ACD【解析】A项，共3个，故正确；B项，不能同时出现和，故错误；C项，首先必须含有，则剩余拿一个即可，共6个，故正确；项，满足①，②，，则，则，故，满足③，，则，则，则，故，满足④，故正确；故选：ACD例34．（多选题）（2023·湖北·高一校联考阶段练习）若一个集合中含有n个元素，则称该集合为“n元集合”．已知集合为“5元集合”，则a的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】令函数，，所以集合，函数的图象过定点，在同一直角坐标系中作出，的大致图象，如图所示．因为，所以由，得，且集合恰有5个元素，所以，观察函数图象，要使成立，应满足即又，所以．而，故与满足.故选：BC例35．（多选题）（2023·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（

）A． B．C． D．若，则整数，属同一类【答案】ACD【解析】A选项，，故，A正确；B选项，，故，B错误；C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故，C正确；D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同，故整数，属同一类，D正确.故选：ACD例36．（多选题）（2023·贵州铜仁·高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，因为，，所以，故D正确.故选：例37．（2023·高一课时练习）非空集合关于运算满足：（1）对任意的，，都有；（2）存在，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法；③{平面向量}，为平面向量的加法；④{二次三项式}，为多项式的加法．其中关于运算为“融洽集”的是．（写出所有“融洽集”的序号）【答案】①③【解析】对于①，{非负整数}，为整数的加法；当，都为非负整数时，，通过加法运算还是非负整数，满足条件（1），且存在一整数有，满足条件（2），所以①为“融洽集”；对于②，{偶数}，为整数的乘法，由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2），故不满足“融洽集”的定义；对于③，{平面向量}，为平面向量的加法，若，为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件（1），且存在零向量通过向量加法，满足条件（2），所以③为“融洽集”；对于④，{二次三项式}，为多项式的加法，由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如与的和为，不满足条件（1），故不满足“融洽集”的定义；故答案为：①③例38．（2023·江苏·高一专题练习）若集合至少含有两个元素（实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“成功集合”，已知集合，则的子集中共有个“成功集合”．【答案】49【解析】设集合的子集中有个成功集合，则，．对于时，可将满足要求的子集分为两类：一类是含有的子集，去掉后剩下小于的单元素子集或满足要求的子集，前者有个，后者有个；另一类是不含的子集，即满足要求的子集，有个．于是，．从而根据递推关系得：，，，，，．故答案为：例39．（2023·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为【答案】3【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确，（2）若数域有非零元素，则，从而，故（2）正确；（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：3例40．（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={4n+k︱n∈Z}，k=0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1]；②2025∈[1]；③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3]；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是.【答案】①④【解析】因为2025被4除所得余数为1，所以①正确；因为，所以，所以②不正确；因为a∈[1]，b∈[2]，设，，则，且，所以，所以③不正确；因为a∈[1]，b∈[3]，设，，则，且，所以，所以④正确.故答案为：①④例41．（2023·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）向量集合，对于任意、，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现