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文档简介
第第页4.1指数课程标准学习目标1、理解n次方根、n次根式的概念.2、能正确运用根式运算性质化简、求值.3、体会分类讨论思想、符号化思想的作用.1、数学抽象:根式的概念,分数指数幂的概念的掌握2、逻辑推理:根式概念与方根概念二者之间的关系3、数字运算:掌握有理数指数幂的运算性质,并能运用性质进行计算和化简4、直观想象:让学生感受由特殊到一般的数学思想方法5、数学建模:通过对实际问题的探究过程,感受应用数学解決问题的方法,理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用.知识点01整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则(1);(2);(3);(4).【即学即练1】(2023·全国·高一专题练习)【答案】3.【解析】.知识点02根式的概念和运算法则1、次方根的定义:若,则称为的次方根.为奇数时,正数的奇次方根有一个,是正数,记为;负数的奇次方根有一个,是负数,记为;露的奇次方根为零,记为.为偶数时,正数的偶次方根有两个,记为;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为.2、两个等式(1)当且时,;(2)知识点诠释:①要注意上述等式在形式上的联系与区别;②计算根式的结果关键取决于根指数的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成的形式,这样能避免出现错误.【即学即练2】(2023·河北石家庄·高一校考阶段练习)若,则.【答案】【解析】因为,所以.故答案为:知识点03分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论,我们约定,,,且为既约分数,分数指数幂可如下定义:【即学即练3】(2023·江苏·高一专题练习)化简的值为.【答案】【解析】原式=
.故答案为:.知识点04有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质(1)(2)(3)当,为无理数时,是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.知识点诠释:(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;(2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如;(3)幂指数不能随便约分.如.2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:,,,,的运用,能够简化运算.【即学即练4】(2023·江苏·高一专题练习)(1)已知,求的值;(2)已知,,求的值.【解析】(1).(2)∵,,∴原式.题型一:由根式的意义求范围例1.(2023·全国·高一专题练习)若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】因,则有,即,解得,所以实数的取值范围是.故选:D例2.(2023·江苏·高一专题练习)若有意义,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由负分数指数幂的意义可知,,所以,即,因此的取值范围是.故选:C.例3.(2023·全国·高一专题练习)若有意义,则的取值范围是(
)A., B.,,C.,, D.,,【答案】B【解析】由题意可知,且.故选:B变式1.(2023·河北石家庄·高一石家庄市第九中学校考期中)若有意义,则x的取值范围是(
)A.x≥2 B.x≤3C.2≤x≤3 D.x∈R【答案】C【解析】由题意知,所以2≤x≤3.故选:C.变式2.(2023·高一课时练习)若有意义,则x的取值范围是(
)A.且 B. C. D.【答案】A【解析】直接根据开偶次方根,被开方数大于等于0,0的0次幂无意义.要使原式有意义,则解得且.故选:A.【方法技巧与总结】使根式有意义题型二:利用根式的性质化简或求值例4.(2023·高一校考课时练习)当有意义时,化简的结果是(
)A.2x-5 B.-2x-1C.-1 D.5-2x【答案】C【解析】因为有意义,可得,即,又由故选:C.例5.(2023·高一课时练习)计算下列各式.(1)=;(2)=;(3)=.【答案】【解析】(1).(2).(3).故答案为:(1);(2);(3)例6.(2023·江苏·高一专题练习)使得等式成立的实数a的值为.【答案】8【解析】由题意可得,,所以,故.设,则.解得,或(舍),或(舍)所以所以故答案为:8变式3.(2023·高一课时练习)已知,化简.【答案】【解析】由已知,即,即,所以,故答案为:变式4.(2023·高一课时练习)=.【答案】-6【解析】解析:=-6,=|-4|=4-,=-4,所以原式=-6+4-+-4=-6.故答案为:-6【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用.当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外或由外向里,用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简.题型三:有限制条件的根式的化简例7.(2022·上海·高一专题练习)求使等式成立的实数a的取值范围.【解析】,要使|成立,需解得a∈[-3,3].例8.(2022·全国·高一专题练习)已知,化简:______.【答案】【解析】,因为,,所以,所以.故答案为:.例9.(2022·全国·高一专题练习)把代数式中的移到根号内,那么这个代数式等于(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,即,,.故选:A.变式5.(2022·全国·高一专题练习)若满足关系+=+,则的值为_______________.【答案】21【解析】由题意得:,则,∴x+y=19,∴+=0,则3x+5y−2−m=0①,2x+3y−m=0②,①−②得:x+2y−2=0,∵x=19-y,∴y=−17,∴x=36,∴,∴m=21.故答案为:21.变式6.(2022·全国·高一课前预习)求下列各式的值;(1);(2).【解析】(1)=.(2)原式=因为,所以,当,即时,当,即时,,所以.【方法技巧与总结】对于多重根式的化简,一般是设法将被开方数化成完全次方,再解答,或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时,将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四:根式与指数幂的互化例10.(2023·高一课时练习)若a>0,b>0,则化简的结果为.【答案】1【解析】=1.故答案为:1.例11.(2023·高一课时练习)的值为.【答案】【解析】原式=-+=-+=.故答案为:例12.(2023·湖南益阳·高一统考期末)计算:.【答案】【解析】由题知.故答案为:变式7.(2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习)化简:.【答案】【解析】.故答案为:.变式8.(2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中)将化成有理数指数幂的形式为.【答案】【解析】.故答案为:.变式9.(2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中)把化成有理数指数幂的形式为.【答案】【解析】,.故答案为:变式10.(2023·全国·高一专题练习)已知,化简:=.(用分数指数幂表示)【答案】/【解析】.故答案为:变式11.(2023·江苏·高一专题练习)用分数指数幂表示下列各式:(1)=;
(2)=;(3)=;
(4)=;(5)=.【答案】/【解析】(1);(2)=;(3)=;(4);(5)故答案为:(1);(2);(3);(4);(5).变式12.(2023·高一单元测试)下列各式:①;②;③;④;⑤.其中正确的式子的序号有.【答案】①②⑤【解析】①,结论①正确;②,结论②正确;根据定义,分数指数幂的底数为正数,结论③错误;④,结论④错误;⑤,结论⑤正确。故答案为:①②⑤【方法技巧与总结】(1)运算顺序(能否应用公式);(2)指数为负先化正;(3)根式化为分数指数幂.题型五:利用分数指数幂的运算性质化简求值例13.(2023·高一课时练习)化简.【解析】,原式.例14.(2023·新疆和田·高一期中)化简或求值.(1);(2).【解析】(1)原式(2)原式例15.(2023·广东深圳·高一翠园中学校考期中)(1)计算:;(2)化简:.【解析】(1);(2).变式13.(2023·广西桂林·高一校考期中)(1)计算:;(2)化简【解析】(1)原式.(2)原式.变式14.(2023·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习)求值:.【解析】变式15.(2023·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中)化简求值:(1);(2).【解析】(1)解:原式为(2)解:原式为变式16.(2023·江苏·高一假期作业)计算:.【解析】原式=.变式17.(2023·高一课时练习)求下列各式的值:(1);(2);(3);(4).【解析】(1);(2);(3)(4).变式18.(2023·高一课时练习)完成下列式子的化简:(1);(2).【解析】(1)原式.(2)原式.变式19.(2023·江苏·高一专题练习)化简或求值:(1);(2);(3);(4)(且).【解析】(1)原式=.(2)=21.(3).(4).【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质;(2)被开方数分母为1,且不含非正整数指数幂;(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.题型六:整体代换法求分数指数幂例16.(2023·高一课时练习)已知,求的值.【解析】因为,则,可得,则,可得,且,所以.例17.(2023·高一课时练习)已知,求下列各式的值:(1);(2).【解析】(1)因为,所以.(2)因为,所以.例18.(2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中)计算:(1);(2)已知,,求的值.【解析】(1)(2),,,,.变式20.(2023·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考期中)计算下列各式(1);(2)已知,求下列各式的值:①;②.【解析】(1)原式;(2)①∵,∴,又由得,∴,所以;②(法一),(法二),而,∴,又由得,∴,所以.变式21.(2023·高一课时练习)(1)若,求的值;(2)已知,求的值.【解析】(1),则.(2),且,.变式22.(2023·高一课时练习)若,求的值.【解析】因为,则有,所以的值23.变式23.(2023·江苏·高一专题练习)已知,求下列各式的值.(1);(2);(3).【解析】(1)将两边平方,得,所以.(2)将两边平方,得,所以.(3)因为,所以.变式24.(2023·高一课时练习)化简,求值:(1)已知,求的值;(2)已知,求的值;(3)已知,求值.【解析】(1)依题意,可知,则,所以.(2)因为,两边平方后得所以(3),两边平方可得,所以..所以=变式25.(2023·高一课时练习)已知,,计算:(1);(2).【解析】(1)将两边平方,得,即,∴,即,∴.(2)将两边平方,得,∴,∴.变式26.(2023·高一课时练习)已知,求下列各式的值:(1);(2);(3).【解析】(1)∵,∴,∴.(2),∵,∴.(3)∵,∴.∵,∴,∴.∴变式27.(2023·高一单元测试)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值.【解析】∵ax=70ω,且x,ω为非零实数,∴.同理,可得..∴,,即,又=++,a,b,c为正整数,∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7.【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值.对幂值的计算,一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂,再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.一、单选题1.已知实数满足,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】设,,,,,..又,,,.故选:D2.化简(其中,)的结果是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因,,所以.故选:C3.已知,下列各式中正确的个数是(
)①;②;③;④;A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】①,正确;②,正确;③因为可知,,,所以,故错误;④,正确.故选:C4.下列各式中成立的是A. B.C. D.【答案】D【解析】A中应为;B中等式左侧为正数,右侧为负数;C,x=y=1时不成立错误.D中正确;故选:D.5.已知,,则的值为(
)A.3 B.4 C. D.5【答案】D【解析】.故选:D.6.已知,则的值是A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知,,由于,故,则原式.故选B.7.若,则等式成立的条件是A., B.,C., D.,【答案】C【解析】,,.由,得.故选C.8.()A. B.1-C.3-3 D.3-3【答案】A【解析】由于,,,故原式.本题选择A选项.二、多选题9.已知,则下列选项中正确的有(
)A. B. C. D.【答案】AC【解析】,;,;故A正确,B错误;;,,故C正确,D错误.故选:AC.10.已知实数a满足,下列选项中正确的是(
)A. B.C. D.【答案】ACD【解析】,,,故选项A正确;,,故选项B错误;,,故选项C正确;,且,,,故选项D正确.故选:ACD11.若,则下列四个式子中有意义的是(
)A. B. C. D.【答案】AC【解析】因为,所以为偶数,,所以有意义,A正确;取,则,所以无意义,B错误;因为的根指数为奇数,所以有意义,C正确;若,则,所以无意义,D错误.故选:AC12.下列说法正确的是()A.16的4次方根是2B.的运算结果是±2C.当n为大于1的奇数时,对任意都有意义D.当n为大
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