4.1 指数（六大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页4．1指数课程标准学习目标1、理解n次方根、n次根式的概念．2、能正确运用根式运算性质化简、求值．3、体会分类讨论思想、符号化思想的作用．1、数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握2、逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系3、数字运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简4、直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法5、数学建模：通过对实际问题的探究过程，感受应用数学解決问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用．知识点01整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）【答案】3．【解析】．知识点02根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．【即学即练2】（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）若，则.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：知识点03分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：【即学即练3】（2023·江苏·高一专题练习）化简的值为.【答案】【解析】原式=

.故答案为:.知识点04有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．【解析】（1）．（2）∵，，∴原式．题型一：由根式的意义求范围例1．（2023·全国·高一专题练习）若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因，则有，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D例2．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，因此的取值范围是．故选：C.例3．（2023·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（

）A．， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】由题意可知，且．故选：B变式1．（2023·河北石家庄·高一石家庄市第九中学校考期中）若有意义，则x的取值范围是（

）A．x≥2 B．x≤3C．2≤x≤3 D．x∈R【答案】C【解析】由题意知，所以2≤x≤3.故选：C．变式2．（2023·高一课时练习）若有意义，则x的取值范围是（

）A．且 B． C． D．【答案】A【解析】直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.要使原式有意义，则解得且.故选：A.【方法技巧与总结】使根式有意义题型二：利用根式的性质化简或求值例4．（2023·高一校考课时练习）当有意义时，化简的结果是（

）A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x【答案】C【解析】因为有意义，可得，即，又由故选：C.例5．（2023·高一课时练习）计算下列各式．（1）＝；（2）＝；（3）＝.【答案】【解析】（1）.（2）.（3）.故答案为：（1）；（2）；（3）例6．（2023·江苏·高一专题练习）使得等式成立的实数a的值为．【答案】8【解析】由题意可得，，所以，故.设，则.解得，或（舍），或（舍）所以所以故答案为：8变式3．（2023·高一课时练习）已知，化简．【答案】【解析】由已知，即，即，所以，故答案为：变式4．（2023·高一课时练习）＝．【答案】-6【解析】解析：＝－6，＝|－4|＝4－，＝－4，所以原式＝－6＋4－＋－4＝－6.故答案为：－6【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．题型三：有限制条件的根式的化简例7．（2022·上海·高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.【解析】，要使|成立，需解得a∈[-3，3]．例8．（2022·全国·高一专题练习）已知，化简：______．【答案】【解析】，因为，，所以，所以．故答案为：.例9．（2022·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，，.故选：A.变式5．（2022·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．【答案】21【解析】由题意得：，则，∴x＋y＝19，∴＋＝0，则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案为：21．变式6．（2022·全国·高一课前预习）求下列各式的值；(1)；(2)．【解析】(1)=．(2)原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四：根式与指数幂的互化例10．（2023·高一课时练习）若a>0，b>0，则化简的结果为.【答案】1【解析】=1.故答案为：1.例11．（2023·高一课时练习）的值为．【答案】【解析】原式＝－＋＝－＋＝.故答案为：例12．（2023·湖南益阳·高一统考期末）计算：.【答案】【解析】由题知.故答案为:变式7．（2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）化简：．【答案】【解析】.故答案为：.变式8．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）将化成有理数指数幂的形式为.【答案】【解析】.故答案为：.变式9．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）把化成有理数指数幂的形式为.【答案】【解析】，.故答案为：变式10．（2023·全国·高一专题练习）已知，化简：=．（用分数指数幂表示）【答案】/【解析】.故答案为：变式11．（2023·江苏·高一专题练习）用分数指数幂表示下列各式：(1)＝;

(2)＝；(3)＝;

(4)＝；(5)＝.【答案】/【解析】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.变式12．（2023·高一单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的式子的序号有.【答案】①②⑤【解析】①，结论①正确；②，结论②正确；根据定义，分数指数幂的底数为正数，结论③错误；④，结论④错误；⑤，结论⑤正确。故答案为：①②⑤【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值例13．（2023·高一课时练习）化简.【解析】，原式.例14．（2023·新疆和田·高一期中）化简或求值．（1）；（2）．【解析】（1）原式（2）原式例15．（2023·广东深圳·高一翠园中学校考期中）（1）计算：；（2）化简：．【解析】（1）；（2）.变式13．（2023·广西桂林·高一校考期中）（1）计算：；（2）化简【解析】(1)原式.(2)原式.变式14．（2023·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）求值：.【解析】变式15．（2023·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）化简求值:(1);(2).【解析】（1）解:原式为（2）解:原式为变式16．（2023·江苏·高一假期作业）计算：．【解析】原式=.变式17．（2023·高一课时练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）（4）.变式18．（2023·高一课时练习）完成下列式子的化简：(1)；(2)．【解析】(1)原式．(2)原式．变式19．（2023·江苏·高一专题练习）化简或求值：(1)；(2)；(3)；(4)（且）.【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．题型六：整体代换法求分数指数幂例16．（2023·高一课时练习）已知，求的值．【解析】因为，则，可得，则，可得，且，所以.例17．（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.例18．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）计算：(1)；(2)已知，，求的值.【解析】（1）（2），，，，.变式20．（2023·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考期中）计算下列各式(1)；(2)已知，求下列各式的值：①；②．【解析】（1）原式；（2）①∵，∴，又由得，∴，所以；②（法一），（法二），而，∴，又由得，∴，所以.变式21．（2023·高一课时练习）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【解析】（1），则．（2），且,．变式22．（2023·高一课时练习）若，求的值．【解析】因为，则有，所以的值23.变式23．（2023·江苏·高一专题练习）已知，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【解析】（1）将两边平方，得，所以．（2）将两边平方，得，所以．（3）因为，所以．变式24．（2023·高一课时练习）化简，求值：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值．【解析】（1）依题意，可知，则，所以．（2）因为，两边平方后得所以（3），两边平方可得，所以．．所以=变式25．（2023·高一课时练习）已知，，计算：(1)；(2).【解析】(1)将两边平方，得，即，∴，即，∴.(2)将两边平方，得，∴，∴.变式26．（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）∵，∴，∴．（2），∵，∴．（3）∵，∴．∵，∴，∴．∴变式27．（2023·高一单元测试）对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．【解析】∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴.同理，可得．.∴，，即，又＝＋＋，a，b，c为正整数，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．一、单选题1．已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，，，，..又，，，.故选：D2．化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，，所以.故选：C3．已知，下列各式中正确的个数是（

）①；②；③；④；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①,正确；②，正确；③因为可知，，，所以，故错误；④，正确.故选：C4．下列各式中成立的是A． B．C． D．【答案】D【解析】A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C，x＝y＝1时不成立错误．D中正确；故选：D．5．已知，，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】D【解析】.故选:D.6．已知，则的值是A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，，由于，故，则原式.故选B.7．若，则等式成立的条件是A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】，，．由，得.故选C.8．()A． B．1－C．3－3 D．3－3【答案】A【解析】由于，，，故原式.本题选择A选项.二、多选题9．已知，则下列选项中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，；，；故A正确，B错误；；，，故C正确，D错误．故选：AC．10．已知实数a满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】,，，故选项A正确;，，故选项B错误;,，故选项C正确;,且，，，故选项D正确.故选：ACD11．若，则下列四个式子中有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确；取，则，所以无意义，B错误；因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确；若，则，所以无意义，D错误.故选：AC12．下列说法正确的是（）A．16的4次方根是2B．的运算结果是±2C．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义D．当n为大