3.1 不等式的基本性质（六大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页3．1不等式的基本性质课程标准学习目标1、通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系．掌握不等式的性质；2、会用不等式的性质证明简单的不等式．3、培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力1、逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式；2、数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式；3、直观想象：在几何图形中发现不等式；4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题．知识点01符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③．对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．【即学即练1】（2023·河南·高三校联考开学考试）已知：，则大小关系是．【答案】【解析】由，得，因此，显然，则，所以大小关系是.故答案为：知识点02不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：（2）传递性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，运算性质有：（1）可加法则：（2）可乘法则：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．【即学即练2】（多选题）（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】AB【解析】对于，因为，，所以，故正确；对于，因为，所以，又，所以，故B正确；对于C，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D，当时，满足，但，此时，故D错误，故选：AB知识点03比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【即学即练3】（1）设，，.试比较P与Q的大小.（2）已知，，.求证：；【解析】（1）∵，∴，∴．（2），，，又，.题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”C．某变量x至少为a可表示为“x>a”D．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”【答案】B【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误；对于B，变量y不超过a可表示为，B正确；对于C，变量x至少为a可表示为，C错误；对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B.例2．（2023·全国·高一专题练习）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即.故选：D例3．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.故选：B.变式1．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．变式2．（2023·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．与2的和是非负数，可表示为“”B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”【答案】C【解析】对于A，应表示为“”，对于B，应表示为“”，对于D，应表示为“7℃13℃”，故A，B，D错误．故选：C．【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．题型二：作差法比较两数（式）的大小例4．（2023·全国·高一专题练习）设、为实数，比较两式的值的大小：（用符号或=填入划线部分）．【答案】【解析】因为，时等号成立，所以．故答案为：例5．（2023·广西桂林·高一校考阶段练习）设，则与的大小关系为：（用“”、“”、“”填写）.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：.例6．（2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知为实数，则(填“”、“”、“”或“”).【答案】【解析】由题知，，当且仅当时，取等号.故答案为：.变式3．（2023·青海海南·高一海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）若，则.（填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”）【答案】＞【解析】因为，所以，故答案为：＞．变式4．（2023·天津津南·高一校考阶段练习）若，，则与的大小关系是．【答案】【解析】因为，，所以又因为所以，所以，则.故答案为：.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例7．（多选题）（2023·福建莆田·高三校考开学考试）如果，则下列选项不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】A选项，若，如，则，所以A选项不正确.B选项，若，如，则，所以B选项不正确.C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确.D选项，若，如，此时，所以D选项不正确.故选：ABD例8．（多选题）（2023·高一课时练习）如果，那么下列不等式不正确的是(

)A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；对于B中，例如：若，此时，所以B不正确；对于C中，例如：若，此时，所以C不正确；对于D中，例如：若，此时，所以D不正确.故选：BCD.例9．（多选题）（2023·浙江台州·高一校联考期中）已知为实数，若，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A，由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确；对于B，易知，又，若时，；若时，；若时，；所以并不一定成立，即B错误；对于C，由可知，当时，，，所以，即C正确；对于D，当时，由不等式性质易知时，，即D错误；故选：AC变式5．（多选题）（2023·云南昆明·高一校考期中）对于任意实数，，，，以下四个命题中正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则【答案】AB【解析】A选项：因为成立，则，则，故A正确；B选项：若，，由不等式同向可加性，得，故B正确；C选项：令,满足，，但，故C不正确；D选项：令，满足，但，故D不正确.故选：AB.变式6．（多选题）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对A，当时,,故A错误：对B，得，则，故B正确；对C，，此时，故C错误；对D，由,所以,所以两边同除得，选项D正确；故选：BD.变式7．（多选题）（2023·江西九江·高二统考期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，所以正确；由不等式的倒数法则可知，两边同乘以，得，C错误；由，得，D正确，故选：ABD.【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型四：利用不等式的性质证明不等式例10．（2023·高一课时练习）（1）已知，求证：；（2）若.求证：.【解析】（1），，，而，即，.（2），，即，，即.例11．（2023·高一课时练习）已知三个不等式：①；②；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？【解析】由②可知，∴＞0，若③式成立，即，则，∴，故由②③⇒①正确；由①得＞0，不等式两边同乘，得，∴，故由①③⇒②正确；由②得，∴＞0，若①式成立，则，故由①②⇒③正确．综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①.例12．（2023·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果，那么【解析】证明:，即显然，即.变式8．（2023·全国·高一专题练习）阅读材料：（1）若，且，则有（2）若，则有．请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【解析】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，，同理，，由材料（2）得：，所以原不等式成立.变式9．（2023·全国·高一专题练习）（1）比较与的大小．（2）已知，求证：；【解析】（1），所以.（2）因为，所以，所以，所以，即.变式10．（2023·全国·高一专题练习）若，，，求证：.【解析】证明：因为，所以，又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得，所以，所以，因为，，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得.又，所以，所以由不等式的同号可乘性可得.【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有；；．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型五：利用不等式的性质比较大小例13．（2023·浙江台州·高一校联考期中）已知，，判断a，b大小关系.（填“>、=、<”）【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：例14．（2023·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是．已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是.【答案】【解析】因为，所以，即，所以．又因为，所以，所以，所以这四个小球由重到轻的排列顺序是．故答案为：．例15．（2023·江苏·高一专题练习）比大小：．【答案】>【解析】因为，，，所以，即.故答案为：.变式11．（2023·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）如果，那么（填“>”或“”）.【答案】【解析】因为，则，根据不等式的性质可得，.故答案为：.变式12．（2023·上海静安·高一校考期中）已知，，则，，由小到大依次排列是．【答案】【解析】因为，，所以，，，故答案为：．变式13．（2023·高一单元测试）下列不等式中，不成立的是．（填序号）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，若；⑥若，则；⑦若，，则；⑧若，，则．【答案】①③⑥【解析】对于①,若,则,所以①不成立；对于②，由可知，所以成立，故②成立；对于③，如满足，但，所以③不成立；对于④，因为，所以，即，所以④成立；对于⑤，由可得，所以⑤成立；对于⑥，若，则，所以⑥不成立；对于⑦，因为，所以，且，所以，所以⑦成立；对于⑧，因为，所以，所以，所以⑧成立，故答案为:①③⑥.变式14．（2023·高一单元测试）若，，则0．（填“”、“”或“”）【答案】【解析】因为,所以,又因为,所以,故答案为:.变式15．（2023·青海玉树·高一校联考期末）已知，则．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【解析】，因为，所以，，所以，，又因为，，所以.故答案为：.变式16．（2023·北京房山·高一统考期中）若a，b同时满足下列两个条件：①；②．请写出一组a，b的值．【答案】或其他任意合理答案【解析】容易发现，若将①式转化为②式，需使即与异号，显然应使，当时，需使，则，可取；当时，需使，则，可取.综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.故答案为：或其他任意合理答案.变式17．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期中）若，，，则，的大小关系是.【答案】【解析】由,有，，则，故,故答案为：.【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例16．（2023·全国·高一专题练习）若，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意，设，则，解得，因为，可得所以，即的取值范围是.故答案为：.例17．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是．【答案】【解析】，，则，，故由不等式的可加性可知，，故的取值范围是．故答案为：．例18．（2023·江苏·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，且，所以，所以，所以的取值范围是故答案为：变式18．（2023·全国·高一专题练习）已知，求的取值范围．【答案】【解析】设,则解得故，由,故，由,故，所以.故答案为：.变式19．（2023·全国·高一专题练习）若,,则的取值范围是.【答案】【解析】因为,所以,又,所以,所以.故答案为:.变式20．（2023·全国·高一专题练习）已知，，的取值范围是【答案】【解析】设，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范围.故答案为：.变式21．（2023·江西赣州·高一上犹中学校考周测）若α，β满足，则的取值范围是【答案】【解析】因为，所以，，∴，又，∴．故答案为：变式22．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是.【答案】【解析】∵，∴，∵，∴.故答案为：.变式23．（2023·全国·高一专题练习）若，，则的取值范围是.【答案】【解析】令，则，解得，因为，，故.故答案为：变式24．（2023·江苏·高一专题练习）若实数，满足，则的取值范围为．【答案】【解析】由不等式的性质求解即可．，因为实数，满足，所以，即的取值范围为．故答案为：．变式25．（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知，求与的取值范围；（2）已知，试求的取值范围【解析】（1）由于，，，即；又，，的取值范围是，的取值范围是；(2)，，，又，，故.变式26．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）已知，.(1)求的取值范围；(2)求的取值范围；(3)求的取值范围.【解析】（1）因为，，两个不等式相加可得，解得，所以x的取值范围是.（2）因为，，所以，所以所以的取值范围是.（3）设，则所以解得：所以，因为所以①.，因为，所以②，①+②得，所以的取值范围是.【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知，要求的范围，不能分别求出的范围，再求的范围，应把已知的“”“”视为整体，即，所以需分别求出的范围，两范围相加可得的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）已知实数，满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，则，则，∵，∴．又，∴．∴．故选：B．2．（2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考阶段练习）为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（

）A．20 B．22 C．26 D．28【答案】B【解析】设教师人数为，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x、y、z、t∈Z，则，，则，又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得，当时，，此时总人数最少为22.故选:B.3．（2023·河北沧州·高一沧州市一中校考阶段练习）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，故，解得由﹣1＜a+b＜3，可得；由2＜a﹣b＜4，可得；故故选：A4．（2023·河南商丘·高一校考阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B5．（2023·高一单元测试）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.设，所以，解得：，，因为，，所以，因为单调递增，所以.故选：C6．（2023·江苏·高一专题练习）王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生､家长､老师共同组成.已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该钉钉群人数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，､､､，则，，，则，又“教师人数的两倍多于男学生人数，∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选：C.7．（2023·高一单元测试）若实数x，y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是（

）A．(-∞,5] B．(-∞,7] C．[7,+∞) D．[5,+∞)【答案】C【解析】令，由得，，所以.由，故.故选：C.8．（2023·江苏·高一专题练习）已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】令，则，解得，，故，又，故，又，所以.故选：C.二、多选题9．（2023·湖北十堰·高一校考期中）若正数满足，则的值可能为（

）A．10 B．12 C． D．【答案】BCD【解析】由，即，因为，所以，由，又，故，因为，即A错误，B、C、D均符合题意.故选：BCD.10．（2023·全国·高一专题练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（

）A．的取值范围为 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】ABC【解析】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.故选：ABC.11．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】对于A：因为，所以，则，即，故A正确；对于B：又，，所以，即，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD12．（2023·全国·高一假期作业）已知，，则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．ab